2026-2027学年上学期人教版九年级数学上册 第二十六章 二次函数单元测试卷4

这是一份2026-2027学年上学期人教版九年级数学上册 第二十六章 二次函数单元测试卷4，共88页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．若是二次函数，则（ ）
A．B．C．D．
函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣2（x+1）2+2D．y＝﹣2（x+1）2﹣2
3．二次函数，用配方法化为的形式是（ ）
A．B．
C．D．
4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上B．对称轴是直线
C．抛物线的顶点坐标是D．当时，y随x的增大而增大
如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）

A．B．C．且D．或
6. 已知，，在二次函数的图象上，
则，，的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
7. 如图，某校九年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮，球出手时离地面高，
与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时，到达最大高度，篮圈距地面．
设篮球运行的轨迹为抛物线，如图所示建立平面直角坐标系．关于嘉嘉、淇淇的说法，
下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：抛物线部分的函数表达式为．
淇淇：此球能投中．

嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错
二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数
在同一直角坐标系内的图象大致为（ ）

A．B．C．D．
9. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．
设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．

有下列结论：
①x的取值范围为；
②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为；
③矩形菜园的面积的最大值为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．如图，二次函数的图象与x轴相交于点，，其中．
给出下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小；
④关于x的一元二次方程的另一个根是，⑤b的取值范围是．
其中正确的结论是（ ）

A．①③B．②③④C．②④⑤D．②③④⑤
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为 ．
12．如图，若被击打的小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的关系为h＝35t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用时间为 s．

如图1是小峡水电站黄河公路大桥，它的一个桥拱可以近似看作抛物线，
一个桥拱在水面的跨度约为40米，若按如图2所示方式建立平面直角坐标系，
则桥拱所在抛物线可以表示为，则此时桥拱最高点P离水面的高度是 米．

14．已知抛物线 经过 和 两点， 则图象的顶点坐标为 ．
15．如图，将抛物线沿y轴向上平移一段距离后，得到一条新的抛物线，
其中点，平移后的对应点分别为，．
若曲线段扫过部分（阴影部分）的面积为9，则新的抛物线对应的函数解析式为 ．

投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，
用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，
如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，
投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，
已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，
若小西投壶恰好投中，则的长为 m．

三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.
（1）求该函数的关系式；
（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.

18．已知二次函数的图象顶点为，且经过点．
(1) 求该二次函数的表达式．
(2) 求二次函数图象与x轴的交点坐标．
跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，
到地面的距离和均为米，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，
绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
设此抛物线的解析式为．

求该抛物线的解析式；
如果小华站在之间，且离点的距离为米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，
请你算出小华的身高．
如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．
点在抛物线上，且与点关于对称轴对称．

(1)求该抛物线的函数关系式和对称轴；
(2)求的面积．
三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的，
如图所示，线段所在的直线表示水平的水面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，
以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知正常水位时，
中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，
小孔顶点距离水面的高度．

求中间大孔抛物线的函数表达式；
若雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没，求出此时大孔的水面宽度的值．
某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．
如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）．
设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
23．综合与实践
问题情境：
“道路千万条，安全第一条”．如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，
这段距离称为刹车距离．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，
于是他们走进汽车研发中心考察．

数据采集：
汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，
对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象．
发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系．
问题解决：
①求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②汽车司机踩下刹车后，多长时间汽车完全停下？
若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，
经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距；
若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，
问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由
24．在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，）．
(1) 若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标．
(2) 若，函数图象与轴有两个交点，，且，求证：．
(3) 若函数图象经过点，当时，；当时，，求的值．
答案解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．若是二次函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的一般形式、一元二次方程的解法，即，即未知数的最高次幂是次，且二次项系数不为零．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴指数部分，且系数，
解方程
移项得，
因式分解得，
∴或
又∵，即，
∴．
故选：C．
函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣2（x+1）2+2D．y＝﹣2（x+1）2﹣2
【答案】B
【分析】根据二次函数图像的平移方法“左加右减，上加下减”直接进行求解即可．
【详解】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．
故选：B．
3．二次函数，用配方法化为的形式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的关系式，
利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，再匹配对应选项即可．
【详解】解：∵，
∴正确选项为A．
故选：A．
4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上B．对称轴是直线
C．抛物线的顶点坐标是D．当时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【详解】解：∵，且，
∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意，
对称轴是直线，故选项B不符合题意；
顶点坐标是，故选项C符合题意；
当时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意．
故选：C．
如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）

A．B．C．且D．或
【答案】D
【分析】本题考查利用图象法求解一元二次不等式，找到二次函数图象与x轴的交点横坐标即可求解，“数形结合”是解题关键．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且抛物线与x轴交于，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为，
∴不等式的解集是或
故选：D．
6. 已知，，在二次函数的图象上，
则，，的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为，再根据抛物线的增减性以及对称性可得，，的大小关系．
【详解】二次函数，
对称轴为，
，
时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
，，在二次函数的图象上，且，，
．
故选D．
7. 如图，某校九年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮，球出手时离地面高，
与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时，到达最大高度，篮圈距地面．
设篮球运行的轨迹为抛物线，如图所示建立平面直角坐标系．关于嘉嘉、淇淇的说法，
下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：抛物线部分的函数表达式为．
淇淇：此球能投中．

嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是根据已知条件确定抛物线的解析式，再代入篮圈中心的横坐标验证其纵坐标是否符合．
先根据顶点式设出抛物线解析式，代入球出手点坐标求出解析式，验证嘉嘉的说法；再将篮圈中心的横坐标代入解析式，求出对应纵坐标，与篮圈高度比较，验证淇淇的说法．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为
∵球出手时离地面高，此时，
∴，，解得．
∴抛物线的解析式为，故嘉嘉的说法正确．
当时，，
∵篮圈距地面，
∴此球能投中，故淇淇的说法正确．
故选：C．
二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数
在同一直角坐标系内的图象大致为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，根据二次函数的图象得出，，，，从而得出，即可判断一次函数图象所经过的象限，由当时，，即可判断反比例函数的图象所经过的象限，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，抛物线对称轴在轴右侧，交轴于负半轴，与轴有个交点，
，，，，
，
，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，
在抛物线中，当时，，
反比例函数经过第一、三象限，
故选：A．
9.如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．
有下列结论：
①x的取值范围为；
②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为；
③矩形菜园的面积的最大值为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的面积，构造二次函数求最值．根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可．
【详解】解：∵，则，依题意，得：
，
∵
∴，
解得，故①错误；
当时，
即，
解得：，，
当时，不在范围中，舍去，
当时，成立．故②错误；
，
∴当时，S有最大值为．故③正确，
故选：B．
10．如图，二次函数的图象与x轴相交于点，，其中．
给出下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小；
④关于x的一元二次方程的另一个根是，⑤b的取值范围是．
其中正确的结论是（ ）

A．①③B．②③④C．②④⑤D．②③④⑤
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断⑤是否正确．
【详解】解：由图可得：，对称轴，
，
，①错误；
由图得，图象经过点，将代入可得，
，②正确；
该函数图象与轴的另一个交点为，且，
对称轴，
该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，
当时，随着的增大而减小，
③正确；
，，
关于的一元二次方程的根为，
，
，，
④正确；
，即，
解得，
即，
，
，
⑤正确．
综上，②③④⑤正确，共个．
故选：D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为 ．
【答案】0或2
【分析】根据图象过点，点坐标满足解析式的思想，列式解方程即可．
本题考查了图象与点的关系，解方程，熟练掌握关系，灵活解方程是解题的关键．
【详解】解：二次函数，点在该函数的图象上，
∴，
解得，
故答案为：0或2．
12．如图，若被击打的小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的关系为h＝35t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用时间为 s．

【答案】7
【分析】根据关系式，令h＝0，求得t的值可得飞行的时间．
【详解】解：依题意，令h＝0得0＝35t﹣5t2，即t（35﹣5t）＝0，
解得：t＝0（舍去）或t＝7，
即小球从飞出到落地所用的时间为7s．
故答案为：7．
如图1是小峡水电站黄河公路大桥，它的一个桥拱可以近似看作抛物线，
一个桥拱在水面的跨度约为40米，若按如图2所示方式建立平面直角坐标系，
则桥拱所在抛物线可以表示为，则此时桥拱最高点P离水面的高度是 米．

【答案】
【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度约为40米，则，且桥拱所在抛物线可以表示为，代入计算即可求解k的值，根据顶点坐标，即可求出此时桥拱最高点P离水面的高度．
【详解】解：桥拱所在抛物线可以表示为，桥拱在水面的跨度约为40米，则，
∴，
解得，，
∴，
即此时桥拱最高点P离水面的高度是米，
故答案为：．
14．已知抛物线 经过 和 两点， 则图象的顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象具有对称性和二次函数的对称轴，可以求得b的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数图象的顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线 经过 和 两点，
∴，
解得：，
∴，
∴该函数图象的顶点坐标为，
故答案为：．
15．如图，将抛物线沿y轴向上平移一段距离后，得到一条新的抛物线，
其中点，平移后的对应点分别为，．
若曲线段扫过部分（阴影部分）的面积为9，则新的抛物线对应的函数解析式为 ．

【答案】
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，解题的关键是曲线段扫过的面积，则，即可求解．
【详解】解：曲线段扫过的面积，
则，
故抛物线向上平移3个单位，则，即，
故答案为：．

投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，
用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，
如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，
投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，
已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，
若小西投壶恰好投中，则的长为 m．

【答案】0.3
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键，根据顶点坐标设抛物线为顶点式，再将点A的坐标代入可得关系式，将代入关系式得出答案即可．
【详解】解：由题意可知点A的坐标为，抛物线顶点坐标为．
设y与x之间的函数表达式为，
将点代入，得，
解得，
∴y与x之间的函数表达式为，
当时，，
即的长为，
故答案为：0.3．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.
（1）求该函数的关系式；
（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.

【答案】（1）
（2）A（3，0），B（-1，0）.
【分析】（1）由抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），可设抛物线的函数关系式为y=a（x-1）2-4，再将C（0，-3）代入求解即可；
（2）将y=0代入（1）中所求解析式，得到x2-2x-3=0，解方程求出x的值，进而得到抛物线与x轴的交点A，B的坐标．
【详解】（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，
∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，
又∵抛物线过点C(0，-3)，
∴-3=a(0−1)2−4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，
即y=x2−2x−3；
（2）令y=0，得：x2，
解得，.
所以坐标为A（3，0），B（-1，0）.
18．已知二次函数的图象顶点为，且经过点．
(1) 求该二次函数的表达式．
(2) 求二次函数图象与x轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题、求函数解析式、二次函数的性质等知识点，把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程问题是解题的关键．
（1）设顶点式为，然后把已知点的坐标代入求出a即可；
（2）通过解方程可得抛物线与x轴的交点横坐标，进而求得二次函数图象与x轴的交点坐标．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入得，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：当时，，解得，．
抛物线与x轴的交点坐标为，
跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，
到地面的距离和均为米，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，
绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
设此抛物线的解析式为．

求该抛物线的解析式；
如果小华站在之间，且离点的距离为米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，
请你算出小华的身高．
【答案】 ；小华的身高是米
【分析】（1）已知抛物线解析式，求其中的待定系数，选定抛物线上两点E（1，1.4），B（6，0.9）坐标代入即可；
（2）小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，即OF＝3，求当x＝3时的函数值．
【详解】由题意得点，，
代入得，
解得，
故所求的抛物线的解析式是；
把代入，
得，
故小华的身高是米.
如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．
点在抛物线上，且与点关于对称轴对称．

(1)求该抛物线的函数关系式和对称轴；
(2)求的面积．
【答案】(1)函数表达式为，抛物线的对称轴为
(2)
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的对称轴，熟练掌握待定系数法和二次函数对称轴的求解是解答本题的关键．
（1）将，代入，即可求得二次函数的解析式，再利用即可求出对称轴；
（2）由抛物线的轴对称性，先求出点的坐标，再求得三角形的底边和高，即可求出面积．
【详解】（1）抛物线过点，，
将，代入，得，
解得，
则该抛物线的函数表达式为，
，
即抛物线的对称轴为；
（2）点与点关于对称轴对称，点，
点的坐标为，
，且轴．
．
三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的，
如图所示，线段所在的直线表示水平的水面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，
以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知正常水位时，
中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，
小孔顶点距离水面的高度．

求中间大孔抛物线的函数表达式；
若雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没，求出此时大孔的水面宽度的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）读懂题意，先得再设中间大孔抛物线的函数表达式为，运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答．
（2）读懂题意，把代入，得，
解得，所以，即可作答．
【详解】（1）解：∵中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，
∴
设中间大孔抛物线的函数表达式为，
把分别代入，
得，
解得，
∴中间大孔抛物线的函数表达式为，
（2）解：∵小孔顶点距离水面的高度．雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没，
∴把代入，
得，
解得，
∴．
即此时大孔的水面宽度的值为．
某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．
如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）．
设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
【答案】（1）y=－10x2＋100x＋2000，0＜x≤12（2）每件商品的售价定为5元时，
每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元
【详解】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（60－50＋x）元，
总销量为：（200-10x）件，
商品利润为：y=（60－50＋x）（200－10x）=－10x2＋100x＋2000．
∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，∴0＜x≤12．
（2）∵y=－10x2＋100x＋2000=－10（x－5）2+2250，
∴当x=5时，最大月利润y=2250．
答：每件商品的售价定为5元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元．
23．综合与实践
问题情境：
“道路千万条，安全第一条”．如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，
这段距离称为刹车距离．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，
于是他们走进汽车研发中心考察．

数据采集：
汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，
对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象．
发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系．
问题解决：
①求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②汽车司机踩下刹车后，多长时间汽车完全停下？
若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，
经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距；
若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，
问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由
【答案】(1)①；②汽车司机踩下刹车后，时汽车完全停下
(2)当汽车刹车过程中，经过汽车超过测速仪且与测速仪相距
(3)会，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质、解一元二次方程等知识，读懂题意，灵活运用二次函数图象与性质求解是解决问题的关键．
（1）①利用待定系数法列方程组求解即可得到答案；②由①中得到的二次函数表达式，由二次函数图象与性质即可得到答案；
（2）由题意得到，结合（1）中求得的二次函数表达式，令，解一元二次方程即可得到答案；
（3）由（1）中得到的汽车在时刹车距离达到最大值，才能完全停下，比较提总距离即可得到答案．
【详解】（1）解：①设二次函数的解析式为，
代入，得
解得，
二次函数的解析式为；
②，
，
抛物线开口向下，有最大值，为，
故汽车在时刹车距离达到最大值，完全停下．
答：汽车司机踩下刹车后，时汽车完全停下；
（2）解：当汽车超过测速仪，且与测速仪相距时，
即汽车开始刹车后行驶的距离，
当时，，
即，
解得，（不符合题意，舍去），
答：当汽车刹车过程中，经过汽车超过测速仪且与测速仪相距；
（3）解：会，
理由如下：
由（1）可知，当时，有最大值75，
即汽车刹车过程中最多行驶，
，
该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车．
24．在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，）．
(1) 若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标．
(2) 若，函数图象与轴有两个交点，，且，求证：．
(3) 若函数图象经过点，当时，；当时，，求的值．
【答案】(1)函数图象的顶点坐标为；
(2)
证明：若，则二次函数，
∴抛物线开口向下，
∵函数图象与轴有两个交点，，且，
∴当时，，
∴，
∴；
(3)的值为．
【分析】（）当时，二次函数，然后利用待定系数法即可求解；
（）若，则二次函数，则抛物线开口向下，然后根据当时，即可求证；
（）当时，；当时，，则可判断抛物线开口向上，即，然后分若对称轴在直线左侧时，即，若对称轴在直线右侧时两种情况分析，结合图象即可求解；
本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴二次函数，
∵函数图象经过点和，
∴，解得：，
∴二次函数，
∴函数图象的顶点坐标为；
（2）略
（3）解：∵当时，；当时，，
∴抛物线开口向上，
∴，
如图，若对称轴在直线左侧时，即，
∵当时，；当时，，
∴当，取最小值，
∵，
∴此时不符合题意；
如图，若对称轴在直线右侧时，
∴当时，，当，取最小值，
∵函数图象经过点，
∴，，
∴，即，，
∴，
∴的值为．