2027届高三物理一轮复习教案：第十一章　微点突破9　用“动态圆”思想分析临界问题（含解析）

这是一份2027届高三物理一轮复习教案：第十一章　微点突破9　用“动态圆”思想分析临界问题（含解析）
考点一 平移圆
例1 (多选)(2025·河南新乡市期末)如图所示的直角三角形区域ABC内存在垂直纸面向里的匀强磁场(含边界)，∠B=90°、∠C=30°，AB=L，在BC边的某部分区域内有一线状粒子发射源，发射源能在纸面内垂直BC边向磁场区域发射一系列比荷均为k、速率相等的粒子，最终粒子均从AB边离开磁场。粒子在磁场中运动的最短时间为t0，且该粒子刚好垂直AB边离开磁场；粒子在磁场中运动的最长时间为53t0，且轨迹与AC边相切。忽略粒子的重力以及粒子间的相互作用，下列说法正确的是( )
A.粒子带负电
B.磁感应强度大小为π2kt0
C.粒子射入磁场的速率为3πL(4−3)t0
D.发射源的长度为3L4+3
答案 BD
解析 粒子均从AB边离开磁场，故粒子要向左偏转，根据左手定则，粒子带正电，A错误；依题意，粒子在磁场中运动的最短时间为t0，且该粒子刚好垂直AB边离开磁场，则t0=14T，由qvB=mv2R，T=2πRv，k=qm，解得B=π2kt0，B正确；依题意，粒子在磁场中运动的最长时间为53t0，且轨迹与AC边相切，如图甲所示，有Rsin 30°+Rcs30°=L，
得R=23L4+3，综上可得v=3πL(4+3)t0，C错误；设发射源的长度为x，如图乙所示，设发射源的长度为x，可知R+x=R+Rcs 30°，代入R得x=3L4+3，D正确。
考点二 旋转圆
例2 (2025·安徽卷·7)如图，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为qBdm。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则( )
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B.薄板的上表面接收到粒子的区域长度为3d
C.薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为πm6qB
答案 C
解析 根据洛伦兹力提供向心力有qvB=mv2R，可得R=mvqB=d，故A错误；当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1，根据几何关系可知s上min=d；当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2，根据几何关系可知，s上max=3d，故上表面接收到粒子的区域长度为s上=(3-1)d，故B错误；当粒子沿y轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子离y轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离y轴距离为d，故下表面接收到粒子的区域长度为d，故C正确；由图可知，粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，有tmin=60°360°×2πmqB=πm3qB，故D错误。
考点三 放缩圆
例3 如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab=l，Oa=0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°角的方向以不同的速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 37°=0.6，cs 37°=0.8。
(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围。
答案 (1)143πm90qB (2)qBl4mtD>tEB.tB>tC=tE>tD
C.tB>tC>tE=tDD.tB=tE>tC>tD
答案 B
解析 粒子通过B、C、D、E各点的轨迹如图，
由几何关系可知，从A到B，粒子运动轨迹对应的圆心角为180°；由几何关系可知，从A到C和A到E，弦切角小于90°且相等，则粒子运动轨迹对应的圆心角小于180°且相等；从A到D，弦切角最小，粒子运动轨迹对应的圆心角最小；带电粒子垂直进入匀强磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qBv=mv2R，则v=qBRm，运动周期T=2πRv=2πmqB，周期与速度无关，粒子都是从A点沿纸面向上射入磁场，运动轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长，所以tB>tC=tE>tD，故选B。
4.(多选)(2025·甘肃卷·10)2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置(BEST)在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为qm，a粒子的速度大小为va=qBR0m，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是( )
A.外圆半径等于2R0
B.a粒子返回A点所用的最短时间为(3π+2)mqB
C.b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为22+2
D.c粒子的速度大小为22va
答案 BD
解析 由题意，作出a粒子运动轨迹如图(a)所示，a粒子恰好到达磁场外边界后返回，a粒子运动的圆周正好与磁场外边界相切，然后沿内圆径向做匀速直线运动，再做匀速圆周运动恰好回到A点，根据a粒子的速度大小为va=qBR0m，可得Ra=R0，设外圆半径等于R'，由几何关系得∠AO'B=90°，则R'=R0+2R0，A错误；a粒子做匀速圆周运动的周期T=2πR0va=2πmqB，在磁场中运动的时间t1=540°360°·T=3πmqB，匀速直线运动的时间t2=2R0va=2mqB，故a粒子返回A点所用的最短时间为tmin=t1+t2=(3π+2)mqB，B正确；由题意，作出b、c粒子运动轨迹图，分别如图(b)、(c)所示
因为b、c粒子返回A点都是运动一个圆周，根据b、c带正电且比荷均为qm，所以两粒子做圆周运动周期相同，故所用的最短时间之比为1∶1，C错误；由几何关系得2Rc=R'-R0=2R0，洛伦兹力提供向心力有qvcB=mvc2Rc，联立解得vc=22va，D正确。
5.(2025·四川巴中市模拟)如图所示，C、D、E为以O为圆心、半径为R的圆周上的点，∠COD=π2，A为CD的中点，在OCEDO内充满垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出，边界处有磁场)，磁感应强度大小为B。一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率v0=qBR2m从AC部分垂直于AC射向磁场区域，忽略粒子间的相互作用以及粒子的重力，只考虑粒子在一次进出磁场中的运动。下列说法正确的是( )
A.粒子在磁场中运动的轨道半径为R
B.从CO射出磁场的粒子运动时间不同
C.粒子在磁场中运动的最长时间为3πm2qB
D.粒子可能从圆弧边界射出
答案 C
解析 如图所示，由洛伦兹力提供向心力有qv0B=mv02r，代入数据可得r=R2，故A错误；粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则有T=2πrv0=2πmqB，由图可知，部分粒子从OC边射入磁场，又从OC边射出磁场，由对称性可知，粒子偏转的圆心角为90°，时间为t1=T4=πm2qB，故B错误；沿AO入射的粒子，与磁场圆在最低点内切，圆心角为270°，粒子在磁场中运动的最长时间为t3=3T4=3πm2qB，故C正确；从图中可知，粒子不会从圆弧边界射出，故D错误。
适用条件
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R=mv0qB，如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定方法
将半径为R=mv0qB的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
适用条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R=mv0qB，如图所示
轨迹圆圆
心共圆
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R=mv0qB的圆上
界定方法
将一半径为R=mv0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
适用条件
粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆
心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上
界定方法
以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法