2025-2026学年甘肃省兰州市新区片区联考高二（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年甘肃省兰州市新区片区联考高二（下）期末数学试卷，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知f（x）=x4，若，则x0=（ ）
A. 1B. C. D.
2.设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列为
则p=（ ）
A. B. C. D.
3.设随机变量X服从二项分布B（6，），则P（X=3）等于（ ）
A. B. C. D.
4.设两个正态分布和的密度函数图像如图所示.则有（ ）
A. μ1＜μ2，σ1＜σ2B. μ1＜μ2，σ1＞σ2
C. μ1＞μ2，σ1＜σ2D. μ1＞μ2，σ1＞σ2
5.已知随机变量，则=（ ）
A. B. C. 4D. 7
6.已知向量=（1，x2，2），=（0，1，2），=（1，0，0），若，，共面，则x等于（ ）
A. -1B. 1C. 1或-1D. 1或0
7.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ）
A. 两人都中靶的概率为0.12B. 两人都不中靶的概率为0.42
C. 恰有一人中靶的概率为0.46D. 至少一人中靶的概率为0.74
8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段A1B，B1D1上的点，且A1M=2MB，B1N=2ND1，若A1B1=A1D1=AA1=1，∠B1A1D1=90°，∠A1AB=∠A1AD=60°，则下列说法中正确的是（ ）
A. 与的夹角为45°
B.
C. 线段A1C的长度为1
D. 直线A1C与BB1所成的角为60°
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在空间直角坐标系Oxyz中，点O（0，0，0），A（2，1，-1），B（-3，-4，-5），下列结论正确的有（ ）
A.
B. 向量与的夹角的余弦值为
C. 点A关于z轴的对称点坐标为（-2，-1，-1）
D. 直线AB的一个方向向量
10.某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从这批产品中任意抽取4个，则其中恰好有1个二等品的概率为（ ）
A. B. C. D.
11.下列说法中正确的是（ ）
A. 回归直线恒过样本中心点，且至少过一个样本点
B. 用决定系数R2刻画回归效果时，R2越接近1，说明模型的拟合效果越好
C. 将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大
D. 基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知X服从参数为0.6的两点分布，则P（X=0）= .
13.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N～（2，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，则ξ在（2，4）内取值的概率为______．
14.已知函数在定义域上是增函数，则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X.
（1）求随机变量X的分布列；
（2）求随机变量X的数学期望和方差.
16.(本小题15分)
某城市统计该地区人口流动情况，随机抽取了100人了解他们端午节是否回老家，得到如下不完整的2×2列联表：
（1）完成以上2×2列联表；
（2）根据小概率值α=0.001的χ2独立性检验，能否认为回老家过节与年龄有关？
参考公式：，n=a+b+c+d.
参考数据：
17.(本小题15分)
在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为X（单位：cm,以下同），且X∼N（20，0.0001）.
（1）分别写出E（X），D（X）的值；
（2）若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在[19.97，20.03]内的铜棒根数；
（3）若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在[19.98，20.03]内的概率.
参考数据：若X∼N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973.
18.(本小题17分)
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别为A1D1，C1B1中点，CG=3GC1.
（1）求证：GF⊥平面FBE；
（2）求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值；
（3）求三棱锥D-FBE的体积.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ax-lnx-1，a∈R.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若不等式f（x）≥a（-x2+x-1）恒成立，求实数a的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】BCD
10.【答案】AD
11.【答案】BD
12.【答案】0.4
13.【答案】0.4
14.【答案】（-∞，2]
15.【答案】分布列见解析．
，．
16.【答案】见解析； 根据小概率值α=0.001的χ2独立性检验，可以认为回老家过节与年龄有关．
17.【答案】E（X）=20，D（X）=0.0001；
9973；
0.9759．
18.【答案】法一、在正方形BCC1B1中，
由条件易知，∴∠C1FG=∠B1BF，
则，
故，即FG⊥BF，
在正方体中，易知D1C1⊥平面BCC1B1，且EF∥D1C1，
∴EF⊥平面BCC1B1，
又FG⊂平面BCC1B1，∴EF⊥FG，
∵EF∩BF=F，EF、BF⊂平面BEF，∴GF⊥平面BEF；法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系，
则B（4，4，0），E（2，0，4），F（2，4，4），G（0，4，3），
∴，
设是平面BEF的一个法向量，
则，令a=2，则b=0，c=1，∴，
易知，则也是平面BEF的一个法向量，∴GF⊥平面BEF
19.【答案】解：（1）因为f（x）=ax-lnx-1，
所以，
当a≤0时，，函数f（x）在（0，∞）单调递减，
当a＞0时，当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（0，∞）单调递减，
当a＞0时，函数f（x）在（0，）上单调递减，函数f（x）在（）上单调递增；
（2）若不等式f（x）=ax-lnx-1≥a（-x2+x-1）恒成立，
则有ax2-lnx+a-1≥0恒成立，
设g（x）=ax2-lnx+a-1，则，
当a≤0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，∞）上单调递减，
又g（e）=ae2+a-2＜0，不合题意，
当a＞0时，当时，，所以函数g（x）单调递减，
当时，，所以函数g（x）单调递增，
所以，
由g（x）=ax2-lnx+a-1≥0恒成立，则g（x）min≥0成立，
即成立
令，则
所以函数h（a）在（0，∞）上单调递增，
又，，
所以当时，成立．
综上所述，实数a的取值范围为． ξ
5
8
9
P
回老家
不回老家
总计
60周岁及以下
5
60
60周岁以上
25
总计
100
P（χ2≥k0）
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828