2025-2026学年上海市静安区民立中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市静安区民立中学高一（上）期末数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题.，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，，，3，，，则 ．
2．关于的不等式的解集为 ．
3．函数的定义域为 ．
4．若，则 ．
5．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为 ．
6．化简： ．（化成，，的形式）
7．已知角的终边经过点，，则 ．
8．若，，且，则的最大值是 ．
9．不等式的解集是 ．
10．若函数在区间，上是严格递减函数，则实数的取值范围为 ．
11．满足的锐角组成的集合是 ．
12．已知函数，若存在区间，，使得函数在，上的值域为，，则实数的取值范围为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．以下对数式中，与指数式等价的是（ ）
A．B．C．D．
14．已知，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
15．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃烧质量千克，火箭（除燃料外）的质量千克，它们之间的函数关系是，当燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭的最大速度可达到？
A．B．C．D．
16．已知函数，、、，且，，，则的值（ ）
A．一定等于零B．一定大于零C．一定小于零D．正负都有可能
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．已知集合和集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18．已知，，，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）是第几象限的角．
19．已知函数为偶函数，其中．
（1）求的值；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．
20．（17分）已知．
（1）若过，求的解集；
（2）存在，使得，求的取值范围．
21．（17分）定义：如果函数在定义域内给定区间，上存在实数，满足，那么称函数是区间，上的“平均值数”， 是它的一个均值点．
（1）判断函数是否是区间，上的“平均值函数”，并说明理由；
（2）若函数是区间，上的“平均值函数”，求实数的取值范围；
（3）设函数是区间，上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的数对．
参考答案
一、填空题（满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知，，，3，，，则 5 ．
解：因为，，，3，，，，，
所以且，
又，3，，所以．
故答案为：5．
2．关于的不等式的解集为 ．
解：原不等式等价于，
即，
即的解集为，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
3．函数的定义域为 且 ．
解：函数，
，
解得且，
的定义域为且．
故答案为：且．
4．若，则 ．
解：由，
可得：．
故答案为：．
5．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为 ．
解：由题意，扇形的圆心角为，半径为，
可得扇形的面积为．
故答案为：．
6．化简： ．（化成，，的形式）
解：由辅助角公式可得，．
故答案为：．
7．已知角的终边经过点，，则 ．
解：由题意，可得，
可得．
故答案为：．
8．若，，且，则的最大值是 2 ．
解：，，
，当且仅当时取等号，即，时取等号
所以的最大值为2．
故答案为：2．
9．不等式的解集是 ．
解：设，其定义域为，
和在均为增函数，
则在为增函数，且（1），
，即（1），，
不等式的解集是．
故答案为：．
10．若函数在区间，上是严格递减函数，则实数的取值范围为 ．
解：由题意可得二次函数的对称轴为，开口向上，
又在，上是严格递减函数，
所以，解得．
故答案为：．
11．满足的锐角组成的集合是 ．
解：因为，所以，
得，
因为为锐角，则，
故锐角组成的集合是．
故答案为：．
12．已知函数，若存在区间，，使得函数在，上的值域为，，则实数的取值范围为 ．
解：由函数，显然该函数在，上单调递增，
由函数在，上的值域为，，则，
等价于存在两个不相等且大于等于的实数根，
且在，上恒成立，则，
解得．
故答案为：．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．以下对数式中，与指数式等价的是（ ）
A．B．C．D．
解：把指数式化为对数式得：，
所以与指数式等价的对数式为：．
故选：．
14．已知，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
解：对于，令，，而，错误；
对于，令，，满足，而，错误；
对于，由，得，正确；
对于，令，满足，而，错误．
故选：．
15．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃烧质量千克，火箭（除燃料外）的质量千克，它们之间的函数关系是，当燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭的最大速度可达到？
A．B．C．D．
解：，要使火箭的最大速度可达到，
，解得．
故选：．
16．已知函数，、、，且，，，则的值（ ）
A．一定等于零B．一定大于零C．一定小于零D．正负都有可能
解：函数的定义域为，且，所以为奇函数．
易得在上单调递增．
由可得，由单调性可得，
同理有，，
故，即；
故的值一定大于零．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．已知集合和集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，解得，此时满足；
当时，，即，
因为，所以或，得，
故实数的取值范围是，；
（2）因为是的充分不必要条件，所以．
则，解得，
所以实数的取值范围是，．
18．已知，，，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）是第几象限的角．
解：（1）由已知，，，
所以；
（2）由（1），；
（3）由（1）（2）可知，，，
所以是第三象限的角．
19．已知函数为偶函数，其中．
（1）求的值；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）由题可得，
即，亦即，
因为，所以，约分可得，即，解得．
（2）由（1）得，
又，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，
又对恒成立，所以，
所以实数的取值范围是，．
20．（17分）已知．
（1）若过，求的解集；
（2）存在，使得，求的取值范围．
解：（1）函数的图像过点，则，
解可得，则，其定义域为，
若，即，则，解可得，
即不等式的解集为；
（2）根据题意，由（1）的结论，，其定义域为，
方程，即，
变形可得，
则有，即，
令，，则有，
若存在实数，使得，则方程在时有解，
而，必有，
又由且，则有，
则的取值范围为．
21．（17分）定义：如果函数在定义域内给定区间，上存在实数，满足，那么称函数是区间，上的“平均值数”， 是它的一个均值点．
（1）判断函数是否是区间，上的“平均值函数”，并说明理由；
（2）若函数是区间，上的“平均值函数”，求实数的取值范围；
（3）设函数是区间，上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的数对．
解：（1）函数是区间，上的“平均值函数”，
理由：由方程，可得，
结合“平均值函数”的定义，可得为“平均值函数”，0是它的一个均值点；
（2）函数是区间，上的“平均值函数”，
可得在，有解，
化为，
当时，上式为不成立，即，，
可得，可令，且，，
则，由在，递增，可得，
即；
（3）函数是区间，上的“平均值函数”，
可得在，有解，
由1是函数的一个均值点，可得，
即有整数解，可得，；，，
所有满足条件的数对为，．