2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高二（下）期中数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的倾斜角为 ．
2．点到直线上的距离为 ．
3．圆的半径为 ．
4．双曲线的实轴长为 ．
5．已知直线与圆相交于，两点，则 ．
6．已知抛物线，则抛物线的准线方程为 ．
7．设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是 ．
8．已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则点到轴的距离为 ．
9．已知点是椭圆上的动点，则的取值范围是 ．
10．设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，则该双曲线渐近线的夹角为 ．
11．已知为双曲线的左焦点，是双曲线右支上一点，线段与以该双曲线实轴为直径的圆相切于线段的中点，则该双曲线的离心率为 ．
12．已知实数，，，满足，，，则的最大值为
二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂照，选对得相应满分，否则一律得分）
13．设常数，已知直线，直线，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
14．过点作圆的切线，则的方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．
15．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆．此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ）
A．B．C．D．
16．已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．
下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题D．①②都是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤））
17．已知△的三个顶点分别是，，，为中点．
（1）求中线和线段分别所在的直线方程；
（2）求△的面积．
18．已知圆的方程为．
（1）求实数的取值范围；
（2）若圆与直线交于，两点，且，求的值．
19．如图，已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于，两点．
（1）设，求线段中点到轴的距离；
（2）若直线的倾斜角为，求△面积．
20．（17分）已知双曲线，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合．
（1）求双曲线的焦距和离心率；
（2）当为中点时，△的面积为7，求直线的斜率；
（3）设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程．
21．（18分）已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若点不在轴上，求△的周长；
（2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过，求的方程；
（3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，在轴上方是否存在点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，要求在答题纸相应翘序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分）
1．直线的倾斜角为 ．
解：因为直线，
所以，设直线的倾斜角为，
因为，所以，
又，，所以．
故答案为：．
2．点到直线上的距离为 ．
解：由题意，直线可化为，
所以点到直线上的距离．
故答案为：．
3．圆的半径为 ．
解：圆，化为标准方程为，
所以圆的半径为．
故答案为：．
4．双曲线的实轴长为 ．
解：因为双曲线方程为，
所以，，即，，
则双曲线的实轴长为．
故答案为：．
5．已知直线与圆相交于，两点，则 ．
解：根据题意可知，圆的标准方程，
其圆心坐标为，半径为2．
圆心到直线的距离
则．
故答案为：．
6．已知抛物线，则抛物线的准线方程为 ．
解：抛物线，
则，焦点为轴负半轴，
故抛物线的准线方程为：．
故答案为：．
7．设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是 ．
解：因为直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，
所以直线的斜率，在轴上的截距，
因为直线，
所以，
则且，
解得，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
8．已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则点到轴的距离为 ．
解：抛物线，
，准线方程为，
设，，由抛物线定义可知，
，，
点到轴的距离为．
故答案为：．
9．已知点是椭圆上的动点，则的取值范围是 ， ．
解：设，
联立，消去、整理得：，
令△，
解得：，
，
，
故答案为：，．
10．设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，则该双曲线渐近线的夹角为 ．
解：、分别为双曲线的左、右焦点，在双曲线右支上存在点，
满足，如图：
由题意得，即，设斜率为正的渐近线的倾斜角为，则，，所以该双曲线渐近线的夹角为
故答案为：．
11．已知为双曲线的左焦点，是双曲线右支上一点，线段与以该双曲线实轴为直径的圆相切于线段的中点，则该双曲线的离心率为 ．
解：设为双曲线的右焦点，记切点为，则，
可知是的中点，则，
，则，，
故，
故答案为：．
12．已知实数，，，满足，，，则的最大值为 5
解：设，，，，，则，，
因为，，可知，两点在以为圆心，半径为的圆上，
又，且，
即，可得，则，
可知三角形为等边三角形，则，
设线段的中点为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，
过点，，分别作直线的垂线，垂足分别为，，，
则，
因为点到直线的距离，
则，当且仅当点在线段上时，等号成立，
可得，即所求最大值为5．
故答案为：5．
二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂照，选对得相应满分，否则一律得分）
13．设常数，已知直线，直线，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
解：当时，直线，直线，
两直线斜率相同，截距不同，故平行，所以是直线的充分条件；
当时，则，得，解得或，
时，，，即，
两直线重合，不满足平行，故舍去，
因此，直线的必要条件．
综上，“”是“直线与直线平行”的充要条件．
故选：．
14．过点作圆的切线，则的方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．
解：当切线的斜率不存在时，方程为，满足题意；
当切线的斜率存在时，故可设切线的方程为，即，圆心到直线的距离，
，
切线的方程为或．
故选：．
15．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆．此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ）
A．B．C．D．
解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意可知，椭圆的长半轴长，短半轴长，
所以椭圆方程为：，
令得，，故水面的宽度为：，
故选：．
16．已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．
下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题D．①②都是假命题
解：因为圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，
使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”，
所以依据新定义分别判断两命题如下：
判断命题①：
已知过椭圆上任意一点作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于，两点，连接．
根据直线与圆的位置关系，当与圆相切时，满足给定条件．
当与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近，直到与圆相切；
同理，当与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近直至相切．
所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得与圆相切，故①正确；
判断命题②：
当在双曲线顶点时，过作圆的切线，交双曲线于另外两点，．
由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段，
其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的．
这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，
使得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤））
17．已知△的三个顶点分别是，，，为中点．
（1）求中线和线段分别所在的直线方程；
（2）求△的面积．
解：（1）因为，，为中点，
所以，
因为，
所以由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：；
因为，
所以由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：；
（2）由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为：．
由两点间的距离公式可得，两点间距离：
．
所以△的面积．
18．已知圆的方程为．
（1）求实数的取值范围；
（2）若圆与直线交于，两点，且，求的值．
解：（1）已知圆的方程为．
可化为，
因为此方程表示圆，所以，即，
故实数的取值范围是；
（2）若圆与直线交于，两点，
由（1）可得圆心，半径，
如图，过点作于点，则，
圆心到直线 的距离为，
由图可得：即，
解得：，
即的值为6．
19．如图，已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于，两点．
（1）设，求线段中点到轴的距离；
（2）若直线的倾斜角为，求△面积．
解：（1）因为过焦点的直线交抛物线于，两点，且，
设，，，，
则由抛物线的性质可得，
又由题，
所以，
所以线段中点的横坐标即为线段中点到轴的距离为．
（2）由直线的倾斜角为，
则直线斜率为1，焦点为，
所以直线的方程：，
将直线与抛物线联立，
整理可得，
所以，，
所以，
原点到直线的距离，
所以．
20．（17分）已知双曲线，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合．
（1）求双曲线的焦距和离心率；
（2）当为中点时，△的面积为7，求直线的斜率；
（3）设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程．
解：（1），，，
所以焦距，离心率；
（2）设直线的方程为，，即，
与联立得，
判别式△；
设，，，，
则，，可得，
此时，
△面积，
解得（舍或；
（3）证明：点，，，共线，
可得，同理，，
由为中点，可得，
即，
韦达定理代入，可得，
即，所以，在定直线上．
21．（18分）已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若点不在轴上，求△的周长；
（2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过，求的方程；
（3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，在轴上方是否存在点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为椭圆的方程为，
所以．
当不在轴上，
由椭圆定义得，
则；
（2）易知直线斜率不为0，
设直线的方程为，，，，，
联立，消去并整理得，
此时△，
由韦达定理得．
因为以为直径的圆经过，
所以，
又，
此时，
所以，
即，
解得，
则或；
（3）设，，，，
易知直线斜率不为0，且也经过，
设直线的方程为，
由（2）得，
由椭圆对称性得，与关于轴对称，
即，，
所以，，
因为，
所以，
整理得，
解得，
又，
所以，
因为，，
所以，
则，．
所以，．
故存在满足题意．