2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高二（上）期中数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．“若直线平面，直线在平面上，则直线直线”是 命题（填“真”或“假” ．
2．若球的表面积为，则该球的半径为 ．
3．已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 ．
4．已知，，，则 ．
5．如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为 ．
6．如图，在三棱锥中，平面，，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有 个．
7．如图为正六棱柱．其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有 条．
8．如图，点、分别是直角三角形的边、上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为 ．
9．用一平面去截球所得的截面面积为，已知球心到该截面的距离为，则该球的体积是 ．
10．已知为线段上的点，且，若，到平面距离分别为1和3，则到的距离为 ．
11．已知是大小为的二面角内一点，到，的距离分别为3和4，则点到棱的距离为 ．
12．如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点．给出下列四个结论：
①存在点，存在点，满足平面；
②任意点，存在点，满足平面；
③任意点，存在点，满足；
④任意点，存在点，满足．
其中所有正确结论的序号是 ．
二、单选题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）
13．两条异面直线所成角的范围是（ ）
A．B．C．D．
14．设，是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件
15．如图，已知、、、、、分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
16．某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：．24 降雨量的等级划分如下：
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为，高为的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的的雨水高度是 如图所示），则这降雨量的等级是（ ）
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
三、解答题
17．如图，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：
（1），，，四点共面；
（2）平面平面．
18．如图所示圆锥中，为底面的直径．，分别为母线与的中点，点是底面圆周上一点，若，，圆锥的高为．
（1）求圆锥的表面积；
（2）求证：与是异面直线，并求其所成角的大小．
19．如图，已知正方体．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求直线与平面所成的角的大小．
20．（18分）如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为和，高．
（1）求正四棱台的侧面与底面所成二面角的大小；
（2）现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比．
21．（18分）如图，是圆柱的直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．
（1）求圆柱的侧面积和体积；
（2）求三棱锥体积的最大值；
（3）若，是的中点，点在线段上，求的最小值．
参考答案
一、填空题
1．假．
2．．
3．1．
4．或．
5．3．
6．4．
7．5．
8．．
9．．
10．或．
11．．
12．①③．
二、选择题
13．．
14．．
15．．
16．．
三、解答题
18．解：（1）因为圆锥中，为底面的直径，
，分别为母线与的中点，，圆锥的高为，
所以，所以底面圆的半径为，所以母线长为，
所以圆锥的表面积；
（2）证明：如图，连接，，取中点，连接，，，
则易知平行且等于的一半，
又平面，平面，且，
所以根据异面直线的判定定理可得与是异面直线；
由，可得与所成角为或其补角，
因为，所以可得三角形为等边三角形，
所以，，，，
所以，
所以，
所以与所成角为．
19．解：（1）证明：由题意，在正方体中，
，平面，平面，
平面；
（2）证明：平面，平面，
，在正方形中，，
又，且平面，平面，
平面．
（3）设正方体棱长为2，，连接，
由（2）得，平面，
所以，即所求直线与平面所成的角．
在中，，，
则，即，
故所求直线与平面所成的角的大小为．
20．解：（1）设正方形，的中心分别为，，连接，
则平面，
分别取，的中点，，连接，，，
则，．
又，分别为等腰梯形底边，的中点，所以，
由，可得四边形是一个直角梯形，
，又，
所以为侧面与底面所成二面角的平面角，
因为正四棱台上、下底面的边长分别为和，高．
则，
所以．
所以侧面与底面所成二面角的大小为；
（2）设圆台上底面圆半径，下底面圆半径，高，
则圆台的体积为．
又正四棱台的体积，
所以削去部分的体积，
所以削去部分与正四棱台的体积之比为．
21．解：（1）圆柱的侧面积
圆柱的体积．
（2）三棱锥的高，底面三角形中，，点到的最大值等于底面圆的半径1，
三棱锥体积的最大值等于．
（3）将绕着旋转到使其共面，且在的反向延长线上．
，，，，
由余弦定理得：，
的最小值等于．
等级
降雨量（精确到
小雨
中雨
大雨
暴雨
等级
降雨量（精确到
小雨
中雨
大雨
暴雨