四川成都实验外国语学校高2025-2026学年高一下学期期中测试数学

这是一份四川成都实验外国语学校高2025-2026学年高一下学期期中测试数学，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．cs36°cs6°+sin36°sin6°=（ ）
A．−32B．32C．−12D．12
2．已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，若a=23,b=22,A=60∘，则角B=（ ）
A．45∘或135∘B．135∘C．60∘D．45∘
3．如图，正方形AMND和正方形BMNC有公共边，与向量AN相等的向量为（ ）
A．DMB．MCC．NBD．AD
4．已知sinα=−35，则cs2α=（ ）
A．−2425B．−725C．725D．2425
5．已知a=3,2，b=−2,k，若a⊥b，则k=（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．如图，A、B两点在河的两岸，为了测量A、B之间的距离，测量者在A的同侧选定一点C，测出A、C之间的距离是100m，∠BAC=105°，∠ACB=45°，则A、B两点之间的距离为（ ）m．
A．50B．502C．100D．1002
7．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c⋅csC=a⋅csA，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
8．已知函数fx=2csωx+π6（ω>0），若fx在区间0,π内有且仅有3个零点和3条对称轴，则ω的取值范围是（ ）
A．176,103B．176,236C．176,103D．73,103
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）
9．下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）（多选）
A．e1=(−1,2),e2=(5,7)B．e1=(3,5),e2=(6,10)
C．e1=(2,−3),e2=(3,2)D．e1=(1,0),e2=(0,0)
10．已知函数f(x)=cs2x−π3，则下列说法正确的是（ ）
A．f(x)的最小正周期是π
B．f(x)的图象关于x=−π3对称
C．f(x)在区间0,π6上单调递增
D．由函数y=cs2x图象向右平移π3个单位可得到函数f(x)的图象
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A=60°，D为BC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．sinB+sinC≥1B．当a=4，b=3时，△ABC仅有一解
C．当a2=bc时，△ABC为等边三角形D．当a=2时，AD的最大值为3
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在△ABC中，A=60°，a=13，则b+csinB+sinC= ．
13．如图，三个相同的正方形相接，则α+β= ．
14．已知平面向量a,b,c，满足a=b=2，a⋅b=−2，且c−a−b=1，若c=xa+yb（x,y∈R），则x+y的最大值是 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15．已知a与b是平面内的两个向量，a=2，b=1，a与b的夹角为π4.
（1）求a⋅b；
（2）求a+2b
16．已知函数fx=2sinxcsx−23cs2x+3.
（1）求fx的最小正周期；
（2）求fx在区间−π4,π4上的最大值和最小值.
17．在锐角三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且bcsC+ccsB=2acsA.
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，求b+c的取值范围；
18．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：
sinαsinβ=12csα−β−csα+β,
csαcsβ=12csα−β+csα+β,
sinαcsβ=12sinα+β+sinα−β,
csαsinβ=12sinα+β−sinα−β.
（1）证明：csαcsβ=12csα+β+csα−β
（2）应用上面的公式解决下列问题：
（i）已知csα+βcsα−β=12，求cs2α−sin2β的值；
（ii）若α+β+γ=π，求csα+2csβcsγ+2csαcsβcsγ的最大值.
19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acsC+3asinC=b+c．
（1）求角A的大小；
（2）当a=23时，
（ⅰ）设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点G，求GB⋅GC的最大值；
（ⅱ）求csBsinCAB+csCsinBAC值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：cs36°cs6°+sin36°sin6°=cs36°−6°=cs30°=32.
故答案为：B
【分析】逆用余弦差角公式进行计算即可．
2．【答案】D
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，a=23,b=22,A=60∘，
由正弦定理得sinB=bsinAa=22×sin60∘23=22，
由a>b，得A>B，所以B=45∘.
故答案为：B.
【分析】利用正弦定理解三角形即可.
3．【答案】B
【知识点】相等向量
【解析】【解答】解：由题可知，AM∥NC，且AM=NC，
∴四边形AMCN为平行四边形，
则与向量AN相等的向量为MC．
故答案为：B
【分析】根据相等向量的概念求解.
4．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由sinα=−35，得cs2α=1−2sin2α=1−2×−352=1−1825=725．
故答案为：C.
【分析】由余弦二倍角公式cs2α=1−2sin2α进行计算即可.
5．【答案】D
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：∵a→⊥b→,∴a→·b→=3×(−2)+2k=−6+2k=0，解得k=3.
故答案为：D.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：因为∠BAC=105°，∠ACB=45°，
所以∠ABC=30°，又AC=100m，
由正弦定理得，ABsin∠ACB=ACsin∠ABC⇒AB=sin∠ACB×ACsin∠ABC=sin45°×100sin30°=1002m．
故答案为：D
【分析】根据题意可得∠ABC=30°，再利用正弦定理计算AB即可.
7．【答案】D
【知识点】余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为c⋅csC=a⋅csA，故c×a2+b2−c22ab=a×c2+b2−a22cb，
整理得c2a2+b2−c2=a2c2+b2−a2，
即b2c2−b2a2+a4−c4=0，故b2−a2−c2c2−a2=0，
故c=a或b2=c2+a2，故三角形为等腰或直角三角形.
故答案为：D
【分析】根据余弦定理边角互换得c×a2+b2−c22ab=a×c2+b2−a22cb，然后进行化简计算可得c=a或b2=c2+a2即可判断.
8．【答案】A
【知识点】函数y=Acs（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数fx=2csωx+π6(ω>0)，
当x∈0,π时，令t=ωx+π6，则t∈π6,ωπ+π6，
若f(x)在0,π有且仅有3个零点和3条对称轴，
则y=2cst在t∈π6,ωπ+π6有且仅有3个零点和3条对称轴，
即3π