四川省广安市加德学校（领航班）2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份四川省广安市加德学校（领航班）2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷，共4页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知i是虚数单位，复数z=21−i，则z的虚部为（ ）
A．−1B．1C．−iD．i
2．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面．下列命题正确的是（ ）
A．若a⊥α，b⊥α，则a⊥b
B．若a//α，a//β，α∩β=b，则a//b
C．若a⊥α，a⊥β，则α⊥β
D．若α⊥β，a//α，则a⊥β
3．现有A,B两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球a、b，再将两个箱子的球混合后取出一个小球c，事件M：“小球a为红色”，事件N：“小球b为白色”，事件P：“小球c为红色”，则下列说法正确的是（ ）
A．M发生的概率为13B．M与N互斥
C．M与N相互独立D．P发生的概率为12
4．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（ ）
A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
B．甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数
C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差
5．内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔.它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工.三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神.内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点C与D与塔底B在同一水平面，并测得CD=202米，∠BCD=15∘,∠BDC=120∘，在点C处测得塔顶A的仰角为60∘，则塔高AB=（ ）
A．106米B．103米C．203米D．60米
6．甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（ ）
A．0.36B．0.352C．0.288D．0.648
7．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若AF=xAB+49AD，则x=（ ）
A．45B．23C．79D．58
8．在△ABC中，P为边AB上一点，CP=1，∠ACP=30∘，∠BCP=45∘，AP=λBP，∠CPB=θ.当△ABC面积最小时，tanθ=（ ）
A．3+1B．3−12C．26D．212
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．i为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（ ）
A．8−6ii=10
B．6−8ii=−8−6i
C．若复数z满足z2∈R，则z∈R
D．若复数z满足z−i=1，则z−1的最小值为2−1
10．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a=2，AB⋅AC=23S，下列选项正确的是（ ）
A．A=π3
B．若b=3，则△ABC有两解
C．若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是(23,4)
D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为4(2+3)
11．如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点（包括边界），且B1F//平面A1BE，则下列说法正确的有（ ）
A．动点F轨迹的长度为2
B．三棱锥B1−D1EF体积的最小值为13
C．B1F与A1B不可能垂直
D．当三棱锥B1−D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为252π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．数据4，5，5，5，6，8，9，10的60%分位数为 .
13．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π−π3×3=π．在底面为矩形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD=2PA，PC与底面ABCD所成的角为π6，在四棱锥P−ABCD中，顶点B的曲率为 ．
14．如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n（n=2，3，…，9）的不同路线条数记为rn，从1移动到9的事件中，经过数字n（n=2，3，…，8）的事件概率记为pn，则r5= ；p5= .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知向量a=1,1,b=22．
（1）若a∥b，求b的坐标；
（2）若5a−2b⊥a+b，求a与b的夹角．
16．2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷．为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）求频率分布直方图中a的值．若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；
（2）用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
（3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为23，乙复赛获优秀等级的概率为34，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．
17．如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD=1，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD.
（1）求证：AB//平面PCE；
（2）求证：平面PAB⊥平面PBD；
（3）若二面角P−CD−A的大小为45°，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值.
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(2a−c)csB=bcsC．
（1）求角B的大小；
（2）若BD=2DC，且CD=1,AD=7，求△ABC的面积；
（3）如图，过点A作BC的平行线AP，且BC=712AP，在四边形ABCP中，AB=2,AP=3，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且BE=λBC,CF=λCP，求AE⋅AF的最小值．
19．在平面四边形ABCD中，AD⊥AC，且AD=AC.
（1）△ABC中，设角A,B,C的对边分别为a,b,c，若tanB=3tanA.
①当a=4时，求ccsB的值；
②当b=4时，求ac的最大值.
（2）若AB=2BC=4，且∠ABC=π3，将△ABC沿AC翻折成△PAC，使得平面PAC⊥平面ACD，在四面体PACD中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为P1；任取两个面，记它们互相垂直的概率为P2；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为P3，试比较P1、P2、P3的大小.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：z=21−i=2(1+i)1−i1+i=2(1+i)2=1+i，则z的虚部为1.
故答案为：B.
【分析】先根据复数代数形式的乘除运算化简复数z，再根据复数的概念求解即可.
2．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若a⊥α，b⊥α，则a//b，即垂直于同一个平面的直线平行，故A错误；
B、若a//α，设a⊂γ，γ∩α=m，m⊄β，则a//m，
又a//β，则m//β，
因为α∩β=b，m⊂α，则m//b，所以a//b，故B正确；
C、若a⊥α，a⊥β，则α//β，即垂直于同一直线的两个平面平行，故C错误；
D、若α⊥β，a//α，则a//β，a⊂β或a∩β，故D错误．
故答案为：B．
【分析】由垂直于同一个平面的直线平行即可判断A；利用线面平行的性质定理、平行关系的转化即可判断B；根据垂直于同一直线的两个平面平行即可判断C；由α⊥β，a//α，可得a//β，a⊂β或a∩β即可判断D.
3．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：对于A，P(M)=12，A错误；
对于B，事件M与N可以同时发生，它们不互斥，B错误；
对于C，P(N)=12，P(MN)=3×36×6=14=P(M)⋅P(N)，M与N相互独立，C正确；
对于D，若先取出同色小球，都为白球时，混合后有4个白球6个红球，取出红球概率35；
若取出的都为红球，混合后有4个红球6个白球，取出红球概率为25，
若先取出异色小球，混合后有5个白球5个红球，取出红球概率为12，D错误.
故答案为：C
【分析】根据古典概型及互斥、独立事件的定义逐项判断即可.
4．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、由图甲的极差约为30，乙的极差大于30，故A正确；
B、对甲成绩排序，又6×14=32，则第2个成绩为甲成绩的第25百分位数，由图估计值为90；
对乙成绩排序，又6×34=92，则第5个成绩为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90，
则甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，故B错误；
C、由图可知，甲的成绩在90分上下浮动，乙的成绩有3次低于60分，则甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数，故C正确；
D、由图甲的成绩更加稳定，乙的成绩波动性较强，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，故D正确.
故答案为：B.
【分析】求极差即可判断A；根据百分位数概念分别求第25、第75百分位数，比较大小即可判断B；由图确定甲乙平均数的大小关系即可判断C；根据数据的波动性结合方差概念即可判断D.
5．【答案】D
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：因为∠BCD=15∘,∠BDC=120∘，所以∠CBD=180∘−120∘−15∘=45∘，
又因为CD=202米，所以在三角形BCD中，由正弦定理得20222=BC32，解得BC=203米，
在直角三角形中，AB=BCtan60∘=60米.
故答案为：D.
【分析】利用正弦定理结合解直角三角形即可.
6．【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，则获胜的概率为0.6×0.6=0.36
二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为C210.6×0.4×0.6=0.288，
而这两种情况是互斥的，所以甲最终获胜的概率为0.36+0.288=0.648，
故答案为：D
【分析】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，然后根据独立的互斥事件概率公式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题可知AE→=23AC→=23AB→+AD→，
∵点F在BE上，则存在实数λ，使得AF→=λAB→+1−λAE→ ，
∴AF→=23+13λAB→+23−23λAD→ ，
∴23−23λ=49，λ=13，
∴x=23+13×13=79.
故答案为：C
【分析】由平面向量基本定理可知存在实数λ，使得AF→=λAB→+1−λAE→ ，进而可得λ=13，再代入求x即可.
8．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意知CP=1，∠ACP=30∘，∠BCP=45∘，AP=λBP，∠CPB=θ.
可得S△BCP=12BC⋅CP⋅sin45∘=24BC，S△ACP=12AC⋅CP⋅sin30∘=14AC，
所以S△ABC=24BC+14AC，
在△ACP中，由正弦定理得，ACsin180°−θ=CPsinθ−30°，CP=1，
即AC=2sinθ3sinθ−csθ，
在△BCP中，由正弦定理得，BCsinθ=CPsin135°−θ，即BC=2sinθcsθ+sinθ，
因此S△ABC=12sinθcsθ+sinθ+sinθ3sinθ−csθ=1211tanθ+1+13−1tanθ，
设1tanθ=m，可得S△ABC=121m+1+13−m=3+12⋅1(m+1)(3−m)，
由二次函数性质可知，令f(m)=(m+1)(3−m)=−m2+3−1m+3，
当m=3−12时，f(m)取最大值−43−3−12−4=2+32，最大值为正，
即当m=3−12，S△ABC取到最小值，此时tanθ=1m=23−1=3+1.
故答案为：A
【分析】利用正弦定理可得AC=2sinθ3sinθ−csθ，BC=2sinθcsθ+sinθ，再求得S△ABC=1211tanθ+1+13−1tanθ，再设1tanθ=m求最值即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A选项，8−6ii=6+8i=36+64=10，A正确；
B选项，6−8ii=6−8i−ii⋅−i=−8−6i，B正确；
C选项，若复数z=i，满足z2=−1∈R，但z∉R，C错误；
D选项，若复数z满足z−i=1，
则复数z的集合为复平面内，到点M0,1的距离等于1的圆，
z−1表示圆上的点到点N1,0的距离，z−1的最小值为MN−1，
显然圆心M0,1到N1,0的距离为2，则z−1的最小值为2−1，D正确.
故答案为：ABD
【分析】对于A，利用复数的乘法公式并计算模长即可；对于B，根据复数除法公式求解即可；对于C，举例判断即可；对于D，根据复数的几何意义求解.
10．【答案】B,C
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：选项A：因为AB⋅AC=23S，
所以cbcsA=23S=23×12bcsinA，化简可得tanA=33，
因为A∈(0,π)，所以解得A=π6，故A错误；
选项B：若b=3，且A=π6，则bsinA=12b