四川成都实验外国语2023-2024学年高一下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份四川成都实验外国语2023-2024学年高一下学期期中考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．等于（ ）
A．1B．C．D．
2．已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则z的虚部为（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
4．已知函数，则“是偶函数”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知向量，为单位向量，且与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．函数的单调区间是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在中，为边的中点，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，且，则（ ）
A．B．4C．D．5
二、多选题（本大题共4小题）
9．下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若，为单位向量，则
C．若,，则
D．对于两个非零向量，，若，则
10．已知曲线，，则下列结论正确的是（ ）
A．把上所有的点向右平移个单位长度，再把所有图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到曲线
B．把上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到曲线
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，，，则只有一解
C．若，则
D．若为锐角三角形，则
12．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
三、填空题（本大题共4小题）
13．设i为虚数单位，计算 ．
14．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则 .
15．已知，，，则 ．
16．如图，在扇形OAB中，半径，圆心角，F是扇形弧上的动点，矩形CDEF内接于扇形，设，则矩形CDEF的面积的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知．
(1)求的值．
(2)求的值；
18．已知平面向量．
(1)若，求；
(2)若，求向量与的夹角．
19．某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东，B点北偏西，这时位于B点南偏西且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时．

(1)求B点到D点的距离BD；
(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．
20．函数（，，）的一段图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
21．已知平面向量，，．
(1)设函数，求的对称轴方程；
(2)设函数，求的最大值．
22．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，已知S为的面积且满足．
(1)若为锐角三角形，求的取值范围；
(2)法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．若P是内一点，过P作AB，BC，AC垂线，垂足分别为D，E，F，借助于三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立．求的最小值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】.
故选C.
2．【答案】B
【详解】向量，，
所以与向量同向的单位向量为.
故选B.
3．【答案】A
【详解】复数z满足，
∴，
∴z的虚部为-2.
故选A.
4．【答案】B
【详解】是偶函数等价于，解得，
在这里令，得，所以“是偶函数”是“”的必要而不充分条件.
故选B.
5．【答案】D
【详解】因为向量，为单位向量，且与的夹角为，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为，
故选D.
6．【答案】A
【详解】由，解得，
所以函数的单调区间是.
故选A.
7．【答案】D
【详解】为的中点，，
．
故选D.
8．【答案】B
【详解】由正弦定理边角互化，可知，，且,
则，，则，
则，①
由余弦定理，②
由①②得，，即.
故选B.
9．【答案】AD
【详解】对于A：根据相反向量，知，故A正确；
对于B：由，为单位向量，即，而，方向不一定相同. 故B错误；
对于C：规定零向量与任意向量共线，
即当时，则，且均成立，
而，为任意向量，它们不一定共线，故C错误；
对于D：由得，，
则，整理得，
又已知，是两个非零向量，故. 故D正确.
故选AD.
10．【答案】BD
【详解】先平移变换后伸缩变换：先把上所有点向左平移个单位长度得到，又因为，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到曲线，故B正确.
先伸缩变换后平移变换：因为，所以先将上各点的横坐标伸长为原来的3倍，得到，又因为： ，则再把所得图象上所有点向左平移个单位长度，即可得到，故D正确.
【方法总结】三角函数图象变换主要包括平移变换、周期变换、振幅变换．
平移变换（左右）：将图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到（）；
周期变换：若，则将上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到；若，则将上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到；
振幅变换：若，则将上各点的纵坐标缩小为原来的（横坐标不变），得到；若，则将上各点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变），得到.
11．【答案】ACD
【详解】对于A：由正弦定理可知，，即，因为为三角形内角，
则，为等腰三角形，故A正确；
对于B：,而，所以有两解，故B错误；
对于C：根据正弦定理边角互化，变形为，
即，又，
所以，，所以，，则，故C正确；
对于D：若为锐角三角形，则，，则，
所以，即，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】ABD
【详解】对于A：因为，所以，
取的中点，则，所以，
故，，三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线，
所以为的重心，故A正确；

对于B：若为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，故B正确；
对于C：若，，为的外心，则，
设的外接圆半径为，故，，
，
故，，，
所以，故C错误；

对于D：若为的垂心，，
则，
如图，，，，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
，则，故D正确；
故选ABD.

【关键点拨】向量与三角形四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.
13．【答案】
【详解】
14．【答案】5
【详解】因为，，，
又由余弦定理有：，
即且，解得：.
15．【答案】
【详解】因为，，所以，
，，则，
所以，
.
16．【答案】
【详解】连结，设，
则，，，
，
矩形的面积，
，
，
.
因为，则，
当，即时，面积取得最大值.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式；
（2）原式．
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
即，
即，
即，
所以，
所以；
（2）由题意可得，
又因，所以，
解得，
所以，
所以，
即，
又因为，
所以.
19．【答案】(1)50海里
(2)小时
【详解】（1）由题意知：，，，
所以，
在中，由正弦定理可得：即，
所以(海里)；
（2）在中，，，，
由余弦定理可得：
，
所以海里，所以需要的时间为(小时).
20．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由图象知，，，，
将图象上的点代入中，得，
结合图象可知，，则，，
又，所以，故．
（2）因为，所以，
所以当，即时，取最大值3．
又不等式在上恒成立，.
21．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题意知，
,
由，，得，，
即的对称轴为，；
（2）由题意知，
,
设，则，
由，所以，
得，
又函数是一条开口向下、对称轴为的抛物线，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以．
【方法总结】对于同时含有形如和的函数，可设，则，对函数进行化简，进而求解.
22．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，即，．
，
，，，，
，
为锐角三角形，，，，，
设，则，时，.
（2）．
又，，，，
．
由三维分式型柯西不等式有．
当且仅当即时等号成立．
由余弦定理得，
即，则．
令，则．
解得，当且仅当时等号成立．
．则．
令，则在上单调递减，
当即时，y有最大值， T的最小值为．
【关键点拨】第二问利用题目条件，结合三角形面积的计算，将T构造出符合三维分式型柯西不等式左边的形式，利用余弦定理将化简，构造相关函数，注意自变量的取值范围，根据条件三角形两边之和大于第三边，以及基本不等式得到取值范围，再通过二次函数的单调区间，得到的最小值.