2025--2026学年广东深圳市新安中学（集团）燕川中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

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第Ⅰ卷（共58分）
一、单选题
1. 下列求导结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 在展开式中，的系数为（ ）
A. 405B. 270C. 150D. 90
3. 已知为函数的导函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 某学校从周一至周五中选择天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择方案有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
5. 已知函数的极小值点是，则
A. 或B. 或C. D.
6. 国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国外媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A. 306B. 198C. 268D. 378
7. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 设实数，e为自然对数的底数，若，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（ ）
A. 任意站成一排，有120种排法
B. 学生不相邻，有24种排法
C. 教师相邻，有48种排法
D. 教师不站在两边，有72种排法
10. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）
A. 是函数的极值点
B. 是函数的极值点
C. 在区间上单调递增
D. 是函数的极值点
11. 下面四个结论中正确的有（ ）
A. 展开式中各项的二项式系数之和为
B. 用个和个可以组成个不同的七位数
C. 的展开式中不存在有理项
D. 方程有组正整数解
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题
12. 的展开式的常数项为______．
13. 用＂市＂、＂二＂、＂中＂、＂学＂、＂顶＂、＂呱＂、＂呱＂这七个字可以组成多少种不同的七字短语________.（不考虑短语的含义）
14. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足时，．若不等式在上恒成立，则a的取值范围是__________,
四、解答题
15. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线平行于直线，求实数的值；
（2）讨论函数的单调区间．
16. 有标号为1，2，3，4，5的五个不同的小球，标号为，，的三个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内.
（1）共有多少种不同的放法？
（2）若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？
（3）若标号为1，2的两个小球必须放号盒子，每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？
（注意：请写出式子再写计算结果）
17. 已知函数在时取得极值．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）若有两个零点，求的值．
18. 在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，
（1）求的值；
（2）若第项是有理项，求的取值集合；
（3）求系数最大的项.
19. 设函数．
（1）试求函数的极值；
（2）若函数在上存在单调减区间，求实数的取值范围；
（3）若在上恒成立，求实数的取值范围．
数学
满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（共58分）
一、单选题
1. 下列求导结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
解答过程：对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误．
2. 在展开式中，的系数为（ ）
A. 405B. 270C. 150D. 90
答案：D
解析：
思路：根据二项展开式的通项即可求得结果.
解答过程：易知展开式中含的项为，
所以的系数为.
故选：D
3. 已知为函数的导函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先对函数求导，再代入求值即可．
解答过程：由，得，
所以，解得.
4. 某学校从周一至周五中选择天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择方案有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
答案：C
解析：
思路：直接用间接法计算可得结果.
解答过程：因为从天中选天，共有种．而周一和周二同时被选的选法，共有种．
因此，满足条件的方案为种．
5. 已知函数的极小值点是，则
A. 或B. 或C. D.
答案：D
解析：
解答过程：分析：求函数导数，由极值点处导数为0，解得的值，结合函数单调性检验极小值点即可.
详解：由函数，求导得.
根据题意得：，解得或.
当时，，
在单调递增，单调递减.
所以为极大值点，不满足题意.
当时，，
在单调递减，单调递增.
所以为极小值点，满足.
所以.
故选D.
点睛：本题主要考查导数的几何意义以及利用导数判断函数的单调性与函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.
6. 国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国外媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A. 306B. 198C. 268D. 378
答案：A
解析：
思路：利用分类思想进行选取和排列即可求解.
解答过程：第一类：国内媒体团2个，国外媒体团1个，此时不同的选法和提问方式共有：种；
第二类：国内媒体团1个，国外媒体团2个，此时不同的选法和提问方式共有：种；
综上，共有306种
故选:A．
7. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用当时，判断，通过函数在是减函数判断.
解答过程：当时，设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
也就是说当时，，
用代替，可得，即，
所以，即．
又知，所以，所以．
故选：A
8. 设实数，e为自然对数的底数，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：可对原不等式进行变形，再将转换成，构造函数，研究其函数的单调性，并根据和的大小关系，利用单调性进行求解即可.
解答过程：
由，可得，
两边同除得：，
可设函数，，
当时，，故单调递增，当时，，故单调递减，图像如上图所示，因为，，
故由可得，所以，整理得得.
故选：C.
方法提示：指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成lnex然后构造函数；另一种是将x变成elnx然后构造函数.
二、多选题
9. 3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（ ）
A. 任意站成一排，有120种排法
B. 学生不相邻，有24种排法
C. 教师相邻，有48种排法
D. 教师不站在两边，有72种排法
答案：AC
解析：
思路：根据全排列可求得A，根据不相邻问题用插空法可求得B，根据相邻问题用捆绑法可求得C，根据特殊位置优先排可求得D.
解答过程：对于A，任意站成一排，是全排列，所以有种排法，故A正确；
对于B，学生不相邻，所以先排老师，然后插空，即种排法，故B错误；
对于C，教师相邻用捆绑，即种排法，故C正确；
对于D，教师不站两边，先将两边排上学生，剩下的人全排列，即种排法，故D错误；
故选：AC.
10. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）
A. 是函数的极值点
B. 是函数的极值点
C. 在区间上单调递增
D. 是函数的极值点
答案：BD
解析：
思路：由导函数图象的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可.
解答过程：由图可得，当，，单调递减，当，，单调递增，
可知是函数的极值点，故A正确，不是函数的极值点，故B错误，
当，，故在区间上单调递增，故C正确，不是函数的极值点，故D错误.
11. 下面四个结论中正确的有（ ）
A. 展开式中各项的二项式系数之和为
B. 用个和个可以组成个不同的七位数
C. 的展开式中不存在有理项
D. 方程有组正整数解
答案：AD
解析：
思路：结合二项式系数的性质即可判断A选项；结合组合数即可判断B选项；结合二项式的展开式的通项公式为即可判断C选项；将方程正整数解的组数转化为瓶相同的矿泉水分给个人，每人至少分得瓶，共有多少种不同的分法？采用隔板法即可判断D选项．
解答过程：展开式中各项的二项式系数之和为，故A正确．
由于最高位不能为0，所以最高位只能为1，因此只需要在除最高位外的另外6个位置中选择2个位置放1即可，所以用个和个可以组成个不同的七位数，故B错误．
因为，
展开式的通项公式为，当时，是常数项，
所以展开式中的第项为常数项，故C错误．
方程正整数解的组数等价于问题：瓶相同的矿泉水分给个人，每人至少分得瓶，共有多少种不同的分法？
所以此问题可以用隔板法解决，将瓶相同的矿泉水排成一排，中间有个空，
选取两个空插入两块隔板，则不同分法数为，故D正确．
故选：AD.
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题
12. 的展开式的常数项为______．
答案：16
解析：
思路：直接利用二项展开式的通项公式即可求解．
解答过程：，
因为的展开式的通项为，
所以令，即，则的常数项为1，
令，即，则的常数项为15，
所以的展开式的常数项为．
13. 用＂市＂、＂二＂、＂中＂、＂学＂、＂顶＂、＂呱＂、＂呱＂这七个字可以组成多少种不同的七字短语________.（不考虑短语的含义）
答案：
解析：
思路：根据含重复元素的排列公式进行求解即可.
解答过程：先将七个字进行排列，有种不同的排列，
因为七个字中有两个＂呱＂相同，所以均重复计算了一次，
因此这七个字可以组成不同的七字短语共有个.
故
14. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足时，．若不等式在上恒成立，则a的取值范围是__________,
答案：
解析：
思路：构造，得到其奇偶性和单调性，对不等式变形得到，从而得到，平方后由一次函数的性质得到不等式组，求出a的取值范围.
解答过程：令，则，故为R上的偶函数，
当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
等价于，
即在上恒成立．
所以，平方后化简得到．
由一次函数性质可得，
解得，即，
故a的取值范围是．
故答案为.
方法提示：利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：
比如：若，则构造，若，则构造，
若，则构造，若，则构造.
四、解答题
15. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线平行于直线，求实数的值；
（2）讨论函数的单调区间．
答案：（1）
（2）当时，在递增;当时，在单调递减，在单调递增.
解析：
思路：（1）根据导数的几何意义可列出的关系式，计算即可；
（2）对函数求导，讨论，两种情况得单调性；
（1），定义域为
所以，
因为直线的斜率为，
所以，所以.
（2），定义域为，
若，则在恒成立，故在递增;
若，令得，令得，
故在单调递减，在单调递增;
综上所述：当时，在递增，
当时，在单调递减，在单调递增.
16. 有标号为1，2，3，4，5的五个不同的小球，标号为，，的三个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内.
（1）共有多少种不同的放法？
（2）若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？
（3）若标号为1，2的两个小球必须放号盒子，每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？
（注意：请写出式子再写计算结果）
答案：（1）243；
（2）150； （3）12.
解析：
思路：（1）利用分步乘法计数原理列式计算即得.
（2）把5个小球按分组，再放入3个不同盒子即可.
（3）按号盒子放3个球和放2个球分类，再求出每类的放法数即可.
（1）依题意，每个球有3种放法，所以不同放法种数是.
（2）将5个球分成3组，有种方法，再将分成的3组放到3个不同盒子，有种放法，
所以每个盒子不空的不同放法种数是.
（3）号盒子放3个球，且每个盒子不空，共有种放法；
号盒子放2个球，且每个盒子不空，将另3个球分成2组，放入余下两个盒子，共有种放法，
所以所求不同放法种数是.
17. 已知函数在时取得极值．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）若有两个零点，求的值．
答案：（1）递增区间是，递减区间是；
（2） （3）或
解析：
思路：（1）先求导，由可求出的值，进而确定导数，由导数正负即可得解.
（2）由（1）可知函数单调性，根据单调性求出最低的端点值和极小值进行比较即可得解.
（3）将函数零问题转化成图像交点问题结合函数单调性和极值情况即可求解.
（1）由题得，且定义域为.
由函数在时取得极值，得，解得，
此时，显然是的变号零点，即是极值点，
因此，
所以当或时，，当时，，
所以函数的递增区间是，递减区间是.
（2）由（1）知，函数，
且在上单调递增，在上单调递减，
又
所以函数在区间上的最小值是.
（3）因为，
由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，
所以有极小值为，极大值为，
由有两个零点得直线与函数的图像有两个交点，
故或，所以或.
18. 在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，
（1）求的值；
（2）若第项是有理项，求的取值集合；
（3）求系数最大的项.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由展开式中只有第五项的二项式系数最大求解即可.
（2）根据二项展开式的通项，由为整数求解即可.
（3）利用二项式定理求出通项，设第项的系数的绝对值最大求解即可.
（1）因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，所以，展开式共有9项，所以
（2）第项为
若项为有理项，则为整数，则，，，，
所以第，，，，项为有理项，所以的取值集合为
（3）因为第项的系数为，所以第项的系数绝对值为，
设第项的系数的绝对值最大，则，整理得，解得
又因为第6项的系数，第7项的系数，
所以，第7项的系数最大，.
19. 设函数．
（1）试求函数的极值；
（2）若函数在上存在单调减区间，求实数的取值范围；
（3）若在上恒成立，求实数的取值范围．
答案：（1）极小值，无极大值
（2） （3）
解析：
思路：（1）求得，令，求得，得出函数的单调性，进而求得函数的极值；
（2）由函数，求得，结合，分和，两种情况讨论，得出函数的单调区间，即可求解；
（3）根据题意，转化为在上恒成立，设，求得，再令，得到，得出在上单调递增，根据零点存在定理知，存在唯一，使得，得出得到单调性，得到，再由，结合对数的运算性质，即可求解.
（1）解：由函数，可得，
令，可得，
当故当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）解：因为函数，
所以函数，
可得，
由，可得，且在上单调递增，故有，
①当时，可得，函数在上单调递增，故不存在单调减区间；
②当时，存在且满足，
当，有，函数在上递减，
当，有，函数在上递增，
所以当时，函数在存在单调减区间.
（3）解：由在上恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立
设，可得，
记，则，
所以在上单调递增，
因为，
根据零点存在定理知，存在唯一，有，即，
且在上有；在上有；
由，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
对于两边取对数得，
因为函数在上单调递增，则有，即，
所以，即．
所以，即的范围是.