湖南省岳阳市岳阳县第一中学2027届高二下学期7月期末测试数学试题及答案

这是一份湖南省岳阳市岳阳县第一中学2027届高二下学期7月期末测试数学试题及答案，共14页。
【详解】已知(z-i)(1+i)=-2, 由题意得
所以z=-1-2i.
故选：B.
2.B
【分析】将展开式中所有包含x⁴ 的项，再相加，得到x⁴ 的系数
【详解】(x+2) 的通项为2*Cξx⁵-*, 所以(x²-x-1)(x+ 2) 的展开式中含x⁴ 的项为x²·2³c³x ²,-x·2 ²C²x³ 和 -1×2Cx⁴, 因为2³C³-2²c²-2CS=30, 所以x⁴ 的系数为30,选择B
【点睛】求二项式展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求，解出k, 得到系数 3.B
【分析】根据正方体的对称性得到内切球的球心为正方体的中心，然后求体积即可.
【详解】正方体ABCD-A₁B₁C₁D 的内切球的球心为0,由对称性可知O 为正方体的中心，球半径为1,
即球的体积为
故选：B.
4.C
【解析】利用向量坐标的线性运算以及向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】a+b=(3,-3),ka-b=(2k-1,-k+2),
因为(a+b)⊥(kā-b), 所以3×(2k-1)+(-3)(-k+2)=0, 得k=1.
故选：C
5.A
【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合勾股定理列出方程求出离心率. 【详解】如图，设双曲线E 的左焦点为F',|AF|=m, 连接AF',CF′, BF′, 则|FC|= 3m,| AF'|=2a+m, |CF'| =2a+3m, |FF|=2c,
依题意，BF⊥AC, 由双曲线的对称性知四边形FAF'B 为矩形，
在Rt△AF'C中，由 |AFI²+|ACP²=|CF², 得(2a+m²+(4m)²=(2a+3m)²,
试卷第1页，共15页
化简得m=a, 即AF|=a,|AF'|=3a,
|
|
AF²=
在 Rt△AF'F 中 ，由 A|FP+
F'F²,
得(3a)²+a²=(2c)², 化 简 ,所以双曲线E的离心率 故选：A
6.C
【分析】先由正弦函数的周期性求出の的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出@的具体范围.
【详解】
因为函数f(x) 在区间 上单调递增，
所以函数y=sinu 在 上单调递增， , 即 00),
而DE=1, 故此时E 的轨迹方程为x²+y²=1(x>0,y>0),
得
因为CE⊥平面DD₁E,DE,D₁E c 平面DD₁E, 所以CE⊥DE,CE⊥D₁E,
根据二面角定义可知∠DED₁是二面角D₁-CE-D 的平面角，
, 故B 正确；
对于C, 由直角三角形CDE 外心为CD 中点(0,1,0),设外接球心为O(0,1,z),
由球心到各点距离相等得|D|=|D₁|=R, 即 √ 1+z²=√¹+(2-2)² ,解得z=1,
所以半径R=√2, 体积 , 故C 错误；
对于D, 因为DE=ADA+μ DC,DA=(2,0,0), DC=(0,2,0),
所以E 的坐标中x=22,y=2μ, 故
因为E 的轨迹方程为x²+(y-1)²=1(x>0),
由
得
所以 , 故D 正确.
11.ABD
【分析】由a₃=28 和递推公 an-1→a₂=8→a₁=2,a₄=168→ A 选项正确，B 选项正确；
为单调递增的等差数列→C 选项不正 确；
选项正确
【详解】因为a₃=28, 所以a₃=2-⁻¹³.a₂+3a₂=28, 所以a₂=8,
则a=2(- 班)².a+2a=8, 解得q=2,
a₄=2 (-1). a₃+4a₃= 168, 所 a·a₂=16, 所 以A 选项正确，B 选项正确；
, 又n∈N,
所以为单调递增的等差数列，
则数列不是单调递增的等差数列，所以C 选项不正确；
解得n>62, 又n∈N,
所以正整数n 的最小值为63,所以D 选项正确.
故选：ABD.
【点睛】数列问题，常常需要由递推公式求出通项公式，方法有累加法，累乘法，构造法等，要根据数列 特征选择不同的方法
12.0或 ·
【分析】设切点坐标为( x₀,kx 。), 由导数的几何意义表示斜率k, 由切点在曲线上得出方程组，解得x, 即 可求解.
【详解】由已知设切点坐标为(x₀,kx₀),
试卷第6页，共15页
因为f(x)=2x³-x², 则f'(x)=6x²-2x,
所以 ,解得x₀=0 或 所以k=0 或
故答案为：
13.
【分析】根据两角和差的正切公式求得tana, 再由二倍角公式实现弦化切的目标，得到cs2α.
【详解】由题意
故答案为：
14.
【分析】记3名主持人分别为甲、乙、丙，将主持人甲作为参照物，考虑剩下的35人从甲开始顺时针排列 的顺序，则3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈有A³5种站法，再分析主持人乙、丙将33位参与者 分隔成3组的人数情况，从而得到参与者连续站在一起的人数不超过13人的站法种数，即可得到结果.
【详解】记3名主持人分别为甲、乙、丙，
3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈，
将主持人甲作为参照物，只需考虑剩下的35人从甲开始顺时针排列的顺序， 则3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈有A35种站法，
参与者连续站在一起的人数不超过13人，
则主持人乙、丙将33位参与者分隔成3组，按照顺时针方向记为第一、二、三组，
由33=7+13+13=8+12+13=9+11+13=9+12+12=10+10+13=10+11+12=11+11+11,
考虑33=7+13+13的情况，第一、二、三组人数有(7,13,13)、(13,7,13),(13.13,7)三种分组方法，
考虑33=8+12+13,第一、二、三组人数有A³ 种分组方法， 考虑33=11+11+11,第一、二、三组人数有1种分组方法，
同理可知，共有3+A³+A³+3+3+A³+1=28 种分组方法，
则参与者连续站在一起的人数不超过13人共有28A²A3 种站法，
可得参与者连续站在一起的人数不超过13人的概率是
故答案为
【点睛】关键点点睛：将主持人甲作为参照物，只需考虑剩下的35人从甲开始顺时针排列的顺序，参与者 连续站在一起的人数不超过13人，则主持人乙、丙将33位参与者分隔成3组，分析出分组方法即可.
15.(1)a=2n-1
【分析】(1)根据等差中项的性质，可证{a} 为等差数列，根据等差数列的求和公式，可得首项a 和公差d 的值，代入公式，即可得答案.
(2)由错位相减法求和即可.
【详解】(1)因为an+2+aₙ=2a₄+1, 所以数列{a} 为等差数列，
设数列{a} 的公差为d, 且S₆=4S₃, 则 6q+15d=4×(3a₁+3d), 解得2q=d,
又azm=2a₄+1, 所以a+(2n-1)d=2[a+(n-1)d]+1, 即q+1=d,
则 解得a₁=1,d=2,
所以aₙ=1+(n-1)×2=2n-1;
(2)由(1)可知
两式相减可得：
化简可得：
16. (1)证明见解析
②
【分析】(1)应用余弦定理得出AE=1, 应用勾股定理得出AE⊥BB₁, 应用线面垂直判定定理得出所以A4⊥ 平面ACE, 进而得出线线垂直；
(2)方法1:建立空间直角坐标系，求出平面AB₁C₁的一个法向量，再应用线面角正弦公式计算求解；方
法2:应用线面角定义得出∠ECH 即为直线CE 与平面ABC 所成角，结合边长计算求解.
【详解】(1)连接AE, 由∠BAA₁=135° 且AA//BB₁ 得∠ABE=45°, 结合AB= √2,BE=1,
即AE=1, 于 是AB²=AE²+BE² , 即 ∠AEB=90°, AE⊥BB₁.
因为AA//BB₁, 所以AE⊥AA.
又因为AC⊥平面ABB₁A , AA₁c 平 面ABB₁A₁, 所 以ACLA4, 又AE nAC=A, AE, AC c 平面ACE
, 所 以AA⊥平面ACE.
因为CEc 平面ACE, 所 以AA⊥CE.
(2)方法1:以A 为原点，AE,AA,AC 所在直线分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系.
c(0,0,√2),E(1,0,0),4(0,3,0),B₁(1,2,0),C(0,3,√2),
CE=(1,0,-√2),AB₁=(1,-1,0),AC₁=(0,0,√2),
设平面AB₁C₁的一个法向量n=(x,y,z),
即
令x=1, 则n=(1,1,0),
记直线CE 与平面A₁B₁C₁所成角为θ,
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因此直线CE 与平面AB₁C₁所成角的正弦值为 方法2:由棱柱性质可知平面ABC/ /平面AB₁C₁,
故直线CE 与平面ABC 所成角等于直线CE 与平面AB₁C₁所成角. 取线段AB中点H, 连接EH,HC,
因为AE=BE=1, 所 以EH⊥AB,
又因为AC⊥平面ABB₁A,EHc 平面ABB₁A, 所以AC⊥EH, 又AB∩AC=A,AB,AC C 平面ABC, 所以EH⊥平面ABC,
所以∠ECH 即为直线CE 与平面ABC 所成角，即为直线CE 与平面AB₁C₁所成角.
在Rt△EHC 中，
即直线CE 与平面A₁B₁C₁所成角的正弦值为
17. (1) (2)AB=√ 13.
【解析】(1)利用正弦定理把等式 中的边化成角，利用三角恒等变换得到
再利用正弦定理,求得
(2)设AB边上的中线为CD, 利用向量加法法则得2CD=CA+CB, 对式子两边平方转化成代数运算，求 得b=4, 再利用余弦定理可得AB 的长.
【详解】(1)因
由正弦定理，
所以
所以sinAsinC=√3sin AcsC.又因为sinA≠0, 所以tanC= √3.
因为C∈(0,π), 所以
又因为 ,所以,所以：
(2)设AB 边上的中线为CD, 则 2CD=CA+CB, 所以4CD²=(CA+CB)²=b²+a²+2ab csC,
即37=b²+9+3b,b²+3b-28=0.
解得b=4 或b=-7 ( 舍去) .
又a=3,
故AB=√13.
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、面积公式在解三角形中的运用，解决本题的关键点是在解题过 程中，利用向量关系2CD=CA+CB 并两边平方，可求出b, 结合余弦定理得出AB 的长，考查学生计算能 力，属于中档题.
18. (1)
(2)(i) 证明见解析；(-4,0);(ii)
【分析】(1)根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得.
(2)( i) 设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得；( ii) 由 ( i) 的信息，借助三角形面积建立函数关系，再求出最大值即可.
【详解】(1)令椭圆C 的半焦距为c, 由离心率为, 得
解得a=2c,b = √a²-c²= √3c,
由三角形面积为2 √3,得ab=2√3, 则c=1,a=2,b= √3,
故C的方程
(2)( i) 由(1)知，点Q(2,0), 当1斜率为0时，直线方程为V=t,
此时设A(x₁,t),B(-x₁,t),Q(2,0),x₁∈[-2,2],
, 得
因为直线QA与QB 的斜率之积恒为, 所
因为A(x₁,t) 在椭圆上，所以
联立方程组 该方程组无解，则该情况与题意不符，排除， 当l 斜率不为0时，讨论如下，
如图，设直线l的方程为x=my+n, 设 A(x₁,y₁),Bx₂,y₂),
由 消去x 得(3m²+4)y²+6mny+3n²-12=0,
直线QA与QB 的斜率分别为
,整理得n²+2n-8=0, 解得n=-4 或n=2,
当n=2 时，直线x=my+2 过点Q, 不符合题意，因此n=-4, 直线l:x=my-4 恒过定点P(-4,0).
( ii) 由 ( i) 知 ，
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因此△QAB的面积
当且仅当 时取等号，
故△QAB面积的最大值
19.(1)y=2x-4;
(2)答案见解析；
(3)(-∞,-2√e)[-1+√3,+∞)
【分析】(1)求出f'(2) 、f(2), 由直线的点斜式方程可得答案；
(2)求出f(x), 分 a>-3,a≤-3 讨论可得答案；
(3)转化为恒成立， 分m≥0 、m0, 所以4x-6-2a=0, 解得
若a>-3, 则
当 时 ，f'(x)0,f(x) 单调递增；
综上，a>-3 时 ，f(x) 的单调递减区间,单调递增区间为 a≤-3 时 ，f(x) 的单调递增区间为(0,+), 无单调递减区间
( 3 ) 当a=1,x ≥2时 ，f(x)=(2x-5)e²- 4,令 eˣ⁻²=t(t≥1),
则x=2+Int, 原不等式可化为恒成立，
g'(t)=4tlnt+m, 令 h(t)=4t Int+m(t≥1),
h'(t)=4(lnt+1), 当 t≥1 时 ，h'(t)=4(lnt+1)>0,
所以h(t) 在[1,+∞]上单调递增，所以h(t)≥h(1)=m,
当m≥0 时 ，g'(t)≥0,g(t) 在[1,+∞]上单调递增，
解得m≥-1+√3, 或m≤-1-√3 舍去；
当m1, 使 得g'(t₀)=0, 即 4t₀ Int₀+m=0, m=-4 t₀Int, 当 t ∈(1,t)时 ，g'(t)1 时 ，H'(x)