2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高一下学期7月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高一下学期7月月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足1−iz=1−3i，则复数|z|=( )
A. 3B. 5C. 2 2D. 10
2.已知向量a=(1,5)，b=(0,3)，则|a−b|=( )
A. 3B. 5C. 3D. 5
3.函数f(2x)的定义域为[0,1)，则f(1−3x)的定义域是( )
A. (−2,1]B. −12,1C. −13,13D. (−2,4]
4.已知点A(1,−1,2)在平面α上，其法向量n=(2,−1,2)，则下列点不在平面α上的是( )
A. (2,3,3)B. (3,7,4)C. (−1,−7,1)D. (−2,0,1)
5.在▵ABC中，a=2，∠A=π3，∠B=5π12，则c=( )
A. 2 23B. 2C. 2 63D. 6
6.已知x为正实数，y为非负实数，且x+2y=2，则x2+1x+2y2y+1的最小值为( )
A. 34B. 94C. 32D. 92
7.如图，在▵ABC中，AB=AC= 3，BC=2 2，D是棱BC的中点，以AD为折痕把▵ACD折叠，使点C到达点C′的位置，则当三棱锥C′−ABD体积最大时，其外接球的表面积为( )
A. 9π4B. 5π2C. 9π2D. 5π
8.已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.8,P(B)=0.3，则P(A∪B)=( )
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知m，n是异面直线，α，β是两个不重合的平面，m⊂α，n⊂β，那么( )
A. 当m⊥β，或n⊥α时，α⊥β
B. 当α⊥β时，m⊥β，或n⊥α
C. 当m//β，且n//α时，α//β
D. 当α，β不平行时，m与β不平行，且n与α不平行
10.在直角坐标系xOy中，已知点A(−1,1),B(−2,3),C(−3,2)，且OP=mAB+nAC(m,n∈R)，则下列说法正确的是( )
A. 若OP⊥BC，则m=n
B. 若PA+PB+PC=0，则2m+n=1
C. 若点P在直线BC上，则3m+3n=5
D. 若AP在AC方向上的投影向量的坐标是(2,−1)，则m−n=−3
11.将函数f(x)=2sin2x−π6的图像向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图像，下列说法正确的是( )
A. 当θ=5π6时，g(x)为偶函数
B. 当θ=π6时，g(x)在区间−π3,π3上单调递增
C. 当θ=π4时，g(x)在区间−π6,π6上的值域为0, 3
D. 当θ=π4时，函数y=g(x)−95在区间−π6,π6上有2个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED=2FC=2，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为 ．
13.在▵ABC中，∠A=π6，a=52，若▵ABC存在且唯一，则b(b∈Z)的一个取值为 ．
14.如图，点P是棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1上底面的一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为60∘，则点P的轨迹长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知点A(−2,1)，B(2,3)，C(−1,−3)：
(1)若BC中点为D，求过点A与D的直线方程；
(2)求过点B且在x轴和y轴上截距相等的直线方程．
16.(本小题12分)
我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数；
(3)估计居民月均用水量的中位数．
17.(本小题12分)
对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．
(1)已知二次函数f(x)=ax2+2x−4a，a∈R，试判断f(x)是否为“局部奇函数”，并说明理由；
(2)若f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−1为定义在R上的“局部奇函数”，求函数f(x)在x∈[−1,1]的最小值．
18.(本小题12分)
如图，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1ACC1，AC=2AA1=2A1C1=4，B为底面圆周上异于A，C的点．
(1)在平面BCC1内，过C1作一条直线与平面A1AB平行，并说明理由；
(2)设平面A1AB∩平面C1CB=l,Q∈l，BC1与平面QAC所成角为α，当四棱锥B−A1ACC1的体积最大时，求sinα的取值范围．
19.(本小题12分)
设数列an是1,2,⋯,nn∈N∗的一个排列．由an中连续r项组成的集合称作“an的长为r的子列集”，其中1≤r≤n.任取不大于n的正整数s,t，当st≥n时，若数列an的任意长为s的子列集B=b1,b2,⋯,bs和数列1,2,⋯,n的任意长为t的子列集C=c1,c2,⋯,ct，都有B∩C≠⌀，则称数列an为“好数列”．
(1)判断下列数列是否为“好数列”：
①1，3，5，2，4；②1，4，6，2，5，3．
(2)证明：由1,2,⋯,n的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过n+12的“好数列”([x]表示不超过x的最大整数)；
(3)若数列an为“好数列”，求n的最大值．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.D
5.C
6.B
7.D
8.D
9.AC
10.AC
11.AD
12.3 1010/310 10
13.5(答案不唯一)
14. 3π6
15.【详解】(1)由题意，B,C的中点D2−12,3−32，即D12,0，由两点式直线方程得直线AD的方程为：y−1=0−112+2(x+2)，即2x+5y−1=0；
(2)当过B点，且在x，y轴上的截距为0时，直线方程为y=3−02−0x，即3x−2y=0；
设当在x，y上截距m不等于0时直线方程为xm+ym=1，
将B点坐标代入得2m+3m=1,∴m=5，即x+y−5=0；
综上，(1)AD直线方程为2x+5y−1=0，(2)过B点并且在x，y轴上截距相等的直线方程为3x−2y=0或x+y−5=0．

16.【详解】(1)由频率直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04．
同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02．
由1−(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30．
(2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000．
(3)设中位数为x，
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5．
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.482,F(2)>0,此时无解．
则所求实数m的取值范围是m0≤m≤2 ．
令2x=s，因为x∈[−1,1]，所以s∈12,2，
则f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−1=s2−2ms+m2−1，
令g(s)=s2−2ms+m2−1，对称轴为s=m，
当0≤m≤12时，g(s)在s∈12,2单调递增，所以s=12时，g(s)取得最小值，g(s)min=g12=m2−m−34，即x=−1时f(x)min=m2−m−34；
当12