湖南省岳阳市汨罗市第一中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

这是一份湖南省岳阳市汨罗市第一中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题，共10页。试卷主要包含了已知复数，已知随机变量X满足D，抛物线y＝4x2的准线方程为，已知由样本数据，函数f，设f，设a＝，，，则，已知函数f等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数（1+i）（1+ai）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A．（1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）
2．已知随机变量X满足D（2﹣2X）＝4，下列说法正确的是（ ）
A．D（X）＝﹣1B．D（X）＝1C．D（X）＝4D．D（X）＝2
3．抛物线y＝4x2的准线方程为（ ）
A．x＝﹣1B．y＝﹣1C．x＝﹣D．y＝﹣
4．已知由样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，10）组成一个样本，可得到回归直线方程为，且＝3，＝4.7，则样本点（4，7）的残差为（ ）
A．0.3B．﹣0.3C．1.3D．﹣1.3
5．已知a∈R，集合A＝{2，|a+1|，a+3}，则“a＝0”是“1∈A”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
6．函数f（x）＝x3﹣3x在区间（m，2）上有最小值，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣2，1）B．[﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，1]
7．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，则不等式f（x）≤0的解集为（ ）
A．[﹣2，0]∪[2，+∞）B．[﹣2，2]
C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[0，2]
8．设a＝，，，则（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．c＜a＜b
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
（多选）9．围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一．现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子、白子、空三种情况，因此整个棋盘上有3361种不同的情况，下面对于数字3361的判断正确的是（参考数据：lg3≈0.4771）（ ）
A．3361的个位数是3B．3361的个位数是1
C．3361是173位数D．3361是172位数
（多选）10．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，则“f（x）有两个零点”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
（多选）11．如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，，过点P，E，Q的平面截该正方体所得的截面为Ω，则（ ）
A．不存在λ，μ，使得PQ⊥平面ACD1
B．当平面EPQ∥平面ACD1时，
C．线段PQ长的最小值为
D．当时，
（多选）12．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．根据以上材料，以下说法正确的是（ ）
A．第2024行中，第1012个数最大
B．杨辉三角中第8行的各数之和为256
C．记第n行的第i个数为ai，则
D．在“杨辉三角”中，记每一行第k（k∈N*）个数组成的数列称为第k斜列，该三角形数阵前2024行中第k斜列各项之和为
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．已知，则a5＝ ．
14．某班教室一排有6个座位，如果每个座位只能坐1人，现安排三人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有 种．（用数字作答）
15．已知F1，F2分别为椭圆E：的上、下焦点，A（﹣2，0），直线l经过点F1且与E交于B，C两点，若l垂直平分线段AF2，则△ABC的周长为 ．
16．在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5：7：8，现从这三个地区中任取一人，则这个人患流感的概率是 ；如果此人患流感，此人选自A地区的概率是 ．
四．解答题（共5小题，共70分）
17．已知二项式的二项展开式中二项式系数之和为256．（14分）
（Ⅰ）求展开式中x4的系数；
（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．
18．已知函数．（14分）
（1）若a＝0，当x≥0时，证明：f（x）≤ln（x+1）；
（2）若a＞0，讨论f（x）的单调性．
19．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+4）x+2lnx，其中a＞0．（12分）
（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）在（0，4]上的最大值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．
20．已知双曲线P的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，一条渐近线的倾斜角为，Γ的离心率为e，M（e，e+1）在Γ上．（15分）
（1）求Γ的方程；
（2）过F的直线l交P于C，D两点（C在x轴上方），直线AC，BD分别交y轴于点P，Q，判断（O为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
21．从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为r．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：先在x轴找初始点P0（x0，0），然后作y＝f（x）在点Q0（x0，f（x0））处切线，切线与x轴交于点P1（x1，0），再作y＝f（x）在点Q1（x1，f（x1））处切线（Q1P1⊥x轴，以下同），切线与x轴交于点P2（x2，0），再作y＝f（x）在点Q2（x2，f（x2））处切线，一直重复，可得到一列数：x0，x1，x2，…，xn．显然，它们会越来越逼近r．于是，求r近似解的过程转化为求xn，若设精度为ɛ，则把首次满足|xn﹣xn﹣1|＜ɛ的xn．称为r的近似以解．（15分）
（Ⅰ）设f（x）＝x3+x2+1，试用牛顿法求方程f（x）＝0满足精度ɛ＝0.5的近似解（取x0＝﹣1，且结果保留小数点后第二位）；
（Ⅱ）如图，设函数g（x）＝2x；
（i）由以前所学知识，我们知道函数g（x）＝2x没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释？
（ii）若设初始点为P0（0，0），类比上述算法，求所得前n个△P0Q0P1，△P1Q1P2，…，△Pn﹣1Qn﹣1Pn的面积和．
参考答案与试题解析
选择题（共8小题）
1-5:DBDAC 6_8:BAB
二．多选题（共4小题）
9：AC．
10：CD．
11：BCD．
12：BC．
三．填空题（共4小题）
13：﹣448．
14：72．
15：．
16：0.0485；．
四．解答题（共5小题）
17．解：（Ⅰ）由二项式系数和为2n，则2n＝256，解得n＝8；
二项式（2x+）8的展开式的通项公式为Tr+1＝＝•，r＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，
令8﹣r＝4，解得r＝3，所以展开式中含x4的系数为＝1792；
（Ⅱ）由（1）可知，令8﹣r∈Z，且r＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，解得r＝0，3，6，
则展开式中含x的有理项分别为x8＝256x8，＝1792x4，＝112．
18解：（1）证明：当a＝0时，f（x）＝，
即当x≥0时，≤ln（x+1），
令g（x）＝﹣ln（x+1），
g′（x）＝﹣＝，
当x＞0时，1﹣x2﹣ex＜1﹣x2﹣e0＝﹣x2＜0恒成立，
所以g′（x）＜0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以对于x≥0，g（x）≤g（0）＝0，
所以≤ln（x+1），即f（x）≤ln（x+1）．
（2）f′（x）＝+ax﹣a＝，
令f′（x）＝0，得x＝1或x＝ln，
①当a＝时，f′（x）≥0恒成立，
所以f（x）在R上单调递增，
②当0＜a＜时，ln＞1，
令f′（x）＞0，得x＜1或x＞ln，
令f′（x）＜0，得1＜x＜ln，
所以f（x）单调递增区间为（﹣∞，1），（ln，+∞），单调递减区间为（1，ln），
③当a＞时，ln＜1，
令f′（x）＞0，得x＞1或x＜ln，
令f′（x）＜0，得ln＜x＜1，
所以f（x）单调递增区间为（﹣∞，ln），（1，+∞），单调递减区间为（ln，1），
综上所述，当0＜a＜时，f（x）单调递增区间为（﹣∞，1），（ln，+∞），单调递减区间为（1，ln），
当a＝时，f（x）在R上单调递增，
当a＞时，f（x）单调递增区间为（﹣∞，ln），（1，+∞），单调递减区间为（ln，1）．
19解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2﹣5x+2lnx，
f′（x）＝2x﹣5+＝＝，
令f′（x）＝0，得x＝，2，
所以在（0，）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（，2）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（2，4]上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）极大值＝f（）＝（）2﹣5×+2ln＝﹣﹣2ln2，
又f（4）＝42﹣5×4+2ln4＝﹣4+4ln2，
所以函数f（x）在（0，4]上的最大值为﹣4+4ln2．
（Ⅱ）因为函数f（x）＝ax2﹣（a+4）x+2lnx，其中a＞0，
所以函数f（x）的定义域为（0，+∞），
所以f′（x）＝2ax﹣（a+4）+＝＝，
令f′（x）＝0，得x＝或（a＞0），
当＞，即a＞4时，在（0，）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（，）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当＝，即a＝4时，在（0，+∞）上f′（x）≥0，f（x）单调递增，
当＜，即0＜a＜4时，在（0，）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（，）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
综上所述，当a＞4时，f（x）在（0，），（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减，
当a＝4时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当0＜a＜4时，f（x）在（0，），（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减．
20解：（1）因为Γ的一条渐近线的倾斜角为，所以其斜率为，
所以，所以，所以M（2，3），
由题有：，
解得：a＝1，，
故Γ的方程为；
（2）由（1）得A（﹣1，0），B（1，0），F（2，0），
由题意知l的斜率不为0，设l的方程为x＝my+2，C（x1，y1），D（x2，y2），
联立方程，消去x得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，
则3m2﹣1≠0，Δ＝（12m）2﹣4×9（3m2﹣1）＝36（m2+1）＞0，
所以，且，，
则直线AC的方程为，令x＝0，得，故，
直线BD的方程为，令x＝0，得，故，
所以
＝，
所以为定值，且定值为．
21解：（1）由函数f（x）＝x3+x2+1，得f'（x）＝3x2+2x，
切线斜率k1＝f'（﹣1）＝1，f（﹣1）＝1，
那么在x0＝﹣1点处的切线方程为y﹣1＝x+1，
所以x1＝﹣2，且|x1﹣x0|≥0.5，k2＝f'（﹣2）＝8，f（﹣2）＝﹣3，
那么在x1＝﹣2点处的切线方程为y+3＝8（x+2），
所以，且|x2﹣x1|＜0.5，
故用牛顿法求方程f（x）＝0满足精度ɛ＝0.5的近似解为﹣1.63；
（2）（i）证明：设Pn﹣1（xn﹣1，0），则Qn﹣1（xn﹣1，g（xn﹣1）），
因为g（x）＝2x，所以g'（x）＝2xln2，
则Qn﹣1（xn﹣1，g（xn﹣1））处的切线为，
切线与x轴相交得Pn（xn，0），
，即为定值，根据牛顿法，此函数没有零点；
（ii）因为x0＝0得，
所以|P0P1|＝|P1P2|＝|P2P3|＝•••＝|Pn﹣1Pn|＝，g（xn﹣1）＝＝＝，
所以
＝
＝，
故所得前n个△P0Q0P1，△P1Q1P2，……，△Pn﹣1Qn﹣1Pn的面积和为．
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