陕西师范大学附属中学2025-2026学年第二学期期末考试高一年级数学试题含答案

这是一份陕西师范大学附属中学2025-2026学年第二学期期末考试高一年级数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数z满足z=2+i1−i，则z在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．如图， M，N，P，Q是正方体ABCD−EFGH所在棱的中点，则直线MN与直线PQ所成角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
3．已知向量a=m,−2，b=2,1，且a⊥b，则a−2b=（ ）
A．5B．4C．25D．5
4．已知正四棱锥P−ABCD的底面边长为2，高为2，点M为棱PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正切值为（ ）
A．35B．55C．1D．2
5．为了保证驾乘人员的安全，某市要对该市出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在20,45岁，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ）
A．31.6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁
6．已知一圆台的上底面半径为1，高为34，体积为7π4，则该圆台的侧面积为（ ）
A．35π4B．15π2C．15π4D．5π
7．将四位数2026的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（ ）
A．59B．524C．14D．23
8．已知在△ABC中，AB＝1，BC＝6，AC＝2，点O为△ABC的外心，若AO＝xAB＋yAC，则有序实数对(x，y)为（ ）
A．45,35B．35,45
C．-45,35D．-35,45
二、多选题
9．一组样本数据x1，x2，x3，…，xn，其平均数、方差、极差、下四分位数分别记为a1，b1，c1，d1.由这组数据得到一组新样本数据y1，y2，y3，…，yn，其中yi=2xi+2026i=1,2,⋯,n，其平均数、方差、极差、下四分位数分别记为a2，b2，c2，d2.则（ ）
A．a2=2a1+2026B．b2=4b1
C．c2=2c1+2026D．d2=2d1+2026
10．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则（ ）
A．过E有且只有一条直线与直线AB和B1C1所成角均为45°
B．过E有且只有一条直线与直线AB和B1C1所成角均为90°
C．过E有且只有一个平面与直线AB和B1C1都平行
D．过E有且只有一个平面与直线AB和B1C1都垂直
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则能判定△ABC一定是等腰三角形的为（ ）
A．acsB=bcsA
B．a−b=ccsB−csA
C．sin2A+sin2B=2sinAsinBsinC
D．a2csAsinB=b2sinAcsB
三、填空题
12．设A，B为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为PA=0.5，PB=0.2，若事件A，B相互独立，则PA+B=______.
13．已知复数z≠0满足z−1=z−i，z+z=z2，则z=__________．
14．已知三棱锥A−BCD的四个顶点均在半径为5的球上，若△ABC是边长为23的等边三角形，AD⊥BC，AD=32，二面角D−AB−C的平面角大于π4，则三棱锥A−BCD的体积为______.
四、解答题
15．在2024年世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站和柏林站女子10米台跳水决赛中，全红婵奉献了高水准的精彩表现，在决赛中的五个动作惊艳了全世界.在这两场决赛中，7名裁判给选手的五个跳水动作打分，两站裁判对全红婵的打分记录如下：（为了方便计算，采取分数四舍五入取整）
A组（蒙特利尔站）：80，80，82，78，93.
B组（柏林站）：81，80，86，99，86.
(1)请写出这10个得分的众数、极差以及A，B两组各自的平均成绩；
(2)请你分别计算两站比赛得分的方差，并根据计算结果分析两站比赛中，哪一站全红婵发挥更稳定？
16．如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，点P为BC的中点.
(1)证明：A1B//平面APC1；
(2)求点A1到平面APC1的距离.
17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acsC+3asinC−b−c=0.
(1)求角A的大小；
(2)若D是BC的中点，AD=2，求△ABC面积的最大值.
18．某奖闯关活动共设置三道试题，选手需依次进行答题，每次答题正确后均会获得相应奖金，且奖金累积.选手每次独自答题正确后选择继续答题或放弃答题的概率相同，若选择放弃答题，则奖金有效；若选择继续答题，当答题错误时，选手可以使用一次场外求助机会，若求助后答题正确，则奖金有效，同时答题结束，若求助后答题错误，则奖金清零，同时答题结束.已知甲在本次活动中依次独自答题正确的概率分别为35,13,14，场外求助后答题正确的概率为23.
(1)求甲答题两次并获得奖金的概率；
(2)求甲在后两题中使用场外求助并获得奖金的概率.
19．已知四面体ABCD中，直线AB⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.
(1)求证：AC⊥CD；
(2)若E，F分别是棱AD，AC的中点，且AE=AB=1，直线AC与平面BCD所成角为π4，求二面角E−BC−F的余弦值.
《陕西师范大学附属中学2025-2026学年第二学期期末考试高一年级数学试题》参考答案
1．A
2．C
3．D
4．B
5．C
6．C
7．A
8．A
9．ABD
10．BC
11．AC
12．0.6/35
13．2
14．33
15．(1)众数为80，极差为21，A组的平均成绩为82.6，B组的平均成绩为86.4.
(2)A组的方差为28.64，B组的方差为45.84，蒙特利尔站全红婵发挥更稳定.
16．(1)
方法一：
取AB的中点O，根据正三棱柱性质可得OB,OC互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，
则B1,0,0，A−1,0,0，P12,32,0，C10,3,2，B11,0,2，A1−1,0,2，
AP=32,32,0，AC1=1,3,2，AA1=0,0,2，A1B=2,0,−2
设平面APC1的法向量为n=x,y,z，则有n⋅AP=0n⋅AC1=0，即{32x+32y=0x+3y+2z=0，
令x=1，则y=−3，z=1，即n=1,−3,1，
因为A1B⃗⋅n→=2×1+0×−3+−2×1=0，又A1B⊄平面APC1，
所以A1B//平面APC1；
方法二：
如图，连接A1C交AC1于点O，连接PO，
易知O为A1C的中点，又点P为BC的中点，故PO//A1B，
而PO⊂平面APC1，BA1⊄平面APC1，
所以A1B//平面APC1；
(2)255
17．(1)π3
(2)433
18．(1)1160
(2)19120
19．(1)过B作BH⊥AC于H，
∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，BH⊂平面ABC，
由面面垂直的性质定理得：BH⊥平面ACD，
又CD⊂平面ACD，∴BH⊥CD.
∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，
∴AB⊥CD.
∵AB∩BH=H，AB，BH⊂平面ABC，
∴CD⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，∴AC⊥CD.
(2)33
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
B
C
C
A
A
ABD
BC
题号
11









答案
AC