湖南长沙市长郡中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题含答案

这是一份湖南长沙市长郡中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数z=1−1i（i为虚数单位），则在复平面内，复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知单位向量a→,b→满足a→⊥a→+2b→，则a→与b→夹角的余弦值为（ ）
A．−12B．0C．12D．32
3．已知两条不同的直线a，b，三个不同的平面α，β，γ，则下列结论正确的是（ ）
A．若α∥β，a∥α，则a∥β
B．若a⊥β，b⊥γ，β∥γ，则a⊥b
C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=a，则a⊥α
D．若a⊥α，b⊂β，a⊥b，则α⊥β
4．已知平面向量a=5,0,b=2,−1，则向量a+b在向量b上的投影向量为（ ）
A．6,−3B．4,−2C．2,−1D．5,0
5．风筝起源于春秋时期，是中国传统手工艺的代表，被称为人类最早的飞行器．如图所示，在一个简易风筝面的示意图中，AC垂直平分BD，E为垂足，AC=4AE，CD=13AE，则tan∠ADC=（ ）
A．8B．−47C．47D．-8
6．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足nΩ=10，nA=4，nB=3，nA∪B=6（n表示事件包含的样本点的个数），则下列说法正确的是（ ）
A．PB=310B．PAB=110
C．事件A与事件B互斥D．事件A与事件B独立
7．某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分100分），得到如图所示的统计图，则（ ）
A．甲得分的极差大于乙得分的极差
B．甲得分的中位数小于乙得分的中位数
C．甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
8．刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，则其各个顶点的曲率均为2π−3×π3=π.若正四棱锥S−ABCD的侧面与底面的夹角的正切值为2，则四棱锥S−ABCD在顶点A处的曲率为（ ）
A．π3B．πC．3π4D．5π6
二、多选题
9．已知i为虚数单位，z∈C，以下选项正确的是（ ）
A．若z+2i=2+i，则z的虚部为-1
B．若z−z∈R，则z∈R
C．设z=11+i，则z=22
D．若1≤z≤2，则z在复平面内所对应的点的集合所构成的图形面积为π
10．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体m被抽到的概率是0.2
B．从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则lgab为整数的概率是16
C．从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件
D．若样本数据x1，x2，⋯，x10的标准差为8，则数据2x1−1，2x2−1，⋯，2x10−1的标准差为16
11．如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足BP=λBC+μBB1，其中λ∈0,1,μ∈0,1，则（ ）

A．当AP=2时，点P的轨迹长为π2
B．当λ=12时，有且仅有一个点P，使得AP⊥平面A1BD
C．当μ=12时，不存在点P，使得A1P//AB
D．当λ+μ=12时，三棱锥P−A1BD的体积为定值
三、填空题
12．某校高一年级有900名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为81的样本，其中抽取男生和女生的人数分别为45，36，则该校高一年级的女生人数为___________．
13．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90∘，则这个圆台的侧面积为______.
14．如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n（n=2，3，…，9）的不同路线条数记为rn，从1移动到9的事件中，经过数字n（n=2，3，…，8）的事件概率记为pn，则r5=________；p5=________.
四、解答题
15．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知向量m=(csA,csB)，n=(a,2c−b)，且m//n．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4，求△ABC面积的最大值．
16．漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”.五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：40,50,50,60,…,90,100得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）；
(2)已知满意度分值落在70,80的平均数z1=75，方差s12=9，在80,90的平均数为z2=85，方差s22=4，试求满意度分值在70,90的平均数z和方差s2.
17．如图所示，直三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均相等，点D为B1C的中点，点E为A1C1的中点.
(1)求证：DE ∥平面AA1B1B；
(2)若三棱锥B−CDE的体积为36，求该三棱柱的外接球表面积.
18．某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛．已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为p1，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为p2，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为p3．其中，p1,p2,p3∈0,1，且每局比赛相互独立．决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束．
(1)假设p1=p2=p3=0.6．
（i）求“两局结束比赛且乙获胜”的概率；
（ii）求比赛结束时乙获胜的概率；
(2)若p1+p3