云南玉溪市2025-2026学年下学期期末考试高二数学试卷

这是一份云南玉溪市2025-2026学年下学期期末考试高二数学试卷，共32页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
2.设全集，集合，，则a的值是（ ）
A. 4B. 5C. 7D. 9
3.在正项等比数列中，，，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（ ）
A. 6.5B. 6C. 5.5D. 4.5
5.已知向量=(1,1),=(1,-1).若(+)(+),则( )
A. +=1B. +=-1C. =1D. =-1
6.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由1.6提高到2.4，则（ ）
A. B. C. D.
7.若函数的图象的两个对称中心的最短距离为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为A₁，B₁，若则p=（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列选项正确的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ）
A. 椭圆的离心率为
B. 不存在点，使得
C. 的最大值为4
D. 使得为等腰三角形的点共有六个
11.已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个实数根，，，，则
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，的系数为 （用数字作答）．
13.记为等差数列的前项和，若，，则 ．
14.在梯形ABCD中,ABCD,AB=2,AD=CD=CB=1,将ACD沿AC折起,连接BD,得到三棱锥D-ABC,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 ,此时该三棱锥的外接球的表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在中，内角，，的对边分别为，，，已知，．
(1)求；
(2)若，的面积为，求．
16.(本小题15分)
如图,在四棱锥S-ABCD中,SDAD,SDCD,ADCD,CDAB,E为SA的中点,DA=DC=DS=AB.
(1)求证:DE平面SAB;
(2)求平面SAD与平面BDE的夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
甲乙两名同学进行羽毛球比赛，采用5局3胜制，先赢3局者获胜，比赛结束.已知每局比赛相互独立，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为.
（1）求甲以获胜的概率；
（2）求比赛恰好打满5局才分出胜负的概率;
（3）若打完4局时结束比赛，求获胜者是甲的概率.
18.(本小题17分)
已知，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上的一点．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知过点的直线，交双曲线的左、右两支于，两点（异于，）．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，其中为坐标原点，求直线的方程．
19.(本小题17分)
已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)证明：．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】BC
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】10
13.【答案】
14.【答案】 ； 5
15.【答案】解：（1）因为，，
所以，
因为，
所以．
（2）因为的面积为，所以，即，
所以，
由余弦定理知：，即，
所以．

16.【答案】解：(1)因为SD=AD,E为SA的中点,所以DESA.
因为SDCD,ADCD,SDAD=D,SD,AD平面SAD,
所以CD平面SAD,又DE平面SAD，所以CDDE.
又CDAB,所以ABDE.
又SAAB=A,SA,AB平面SAB,所以DE平面SAB.
(2)设DA=2,以D为坐标原点,直线DA,DC,DS分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),S(0,0,2),E(1,0,1),
​​​​​​​可得=(1,0,1),=(2,4,0).
设平面BDE的法向量为=(x,y,z),
则令y=1,可得=(-2,1,2).
易知平面SAD的一个法向量为=(0,1,0),
设平面SAD与平面BDE的夹角为,
则===,
所以平面SAD与平面BDE的夹角的余弦值为.
17.【答案】解: (1) 甲以3:1获胜,
则比赛进行了4局, 最后一局甲赢, 前3局中甲2胜1负.
设甲以3:1获胜为事件A,
则P(A)==.
(2) 比赛要打满5局为事件B,
则前四局中甲赢2局, 乙赢2局P(B)==.
(3) 设事件C为打完四局时结束比赛, 事件D为乙以3:1获胜,
则P(C)=P(A)+P(D)=+=,
​​​​​​​所以P(A|C)===.
18.【答案】解：（1）因为是C上一点，所以，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）（ⅰ）由题意知，直线的方程为，设，，
联立，化简得，
因为直线与双曲线左右两支相交，所以，所以，
解得或，所以的取值范围为．
（ⅱ）由图易知，，
则
，
所以，解得或．
由（ⅰ）知，得，直线的方程为，
即或．

19.【答案】解：（1）当时，，，，又，
故曲线在点处的切线方程为．
（2）函数的定义域为，．
当，即时，函数在上单调递减；
当，即时，若，令，得，
和时，，
时，，
所以函数在和上单调递减，
在上单调递增；
若，令，得，（舍）,
时，；在,；
函数在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，
在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
(3)
由（2）知，当时，函数在上单调递减，
所以当时，即，所以，
将代入上式，得，
所以，于是，，将上述式子累加得：
，
即命题得证．