湖北省武汉市2025_2026学年高一数学上学期1月月考试卷含解析

这是一份湖北省武汉市2025_2026学年高一数学上学期1月月考试卷含解析，共56页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由诱导公式可得，利用三角函数的定义求出即可.
【详解】因为角的终边过点，
所以，
所以，
故选：C
2. 幂函数在上递增，则实数（ ）
A. B. C. 2D. 2或
【答案】B
【解析】
【分析】由条件根据幂函数的定义可得，解方程求，判断函数的单调性，由此确定结论.
【详解】因为为幂函数，则，
即，解得或，
当时，在上递减，所以不满足题意，
当时，在上递增，所以满足题意，
综上，实数，
故选：B.
3. 已知是的内角，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质和充分条件、必要条件的定义进行判断即可.
【详解】因为是的内角，所以.
所以时，根据正弦函数的性质可知，充分性成立；
当时，或，所以必要性不成立.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 下列区间上函数单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用整体代入法即可求解的单调递减区间.
【详解】令，则，
所以函数的单调递减区间为，
当时，，则.
经检验ACD均不满足题意.
故选：B.
5. 已知函数，则下列不正确的为（ ）
A. 的定义域是
B. 有最大值
C. 不等式的解集是
D. 在上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，根据对数函数的定义域即可判断；对于B、D，求出函数的单调性即可判断；对于C，利用函数的单调性解不等式，结合定义域即可判断.
【详解】因为，由，解得，
所以的定义域是，故A正确；
，
因的对称轴为直线，其图象在上递增，在上递减，
又在上单调递增，故在上递增，在上递减，
所以的最大值为，故B、D正确；
，即
所以解得，故C错误.
故选：C.
6. 如图所示，用6个小正方形拼成一个大矩形，然后在每个小正方形中以边长为半径绘制圆弧，这些圆弧连起来得到一段螺旋形的曲线，我们称之为“斐波那契螺旋线”．若图中最大的矩形面积为416，则这段斐波那契螺旋线的长度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设六个正方形的边长，利用条件建立方程组，计算即可.
【详解】设组成矩形的正方形的边长分别为，且边长即为圆弧的半径，

则，
所以，解得，
则这段斐波那契螺旋线的长度为.
故选：C．
7. 已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算求解.
【详解】因为，
所以，
又，所以，所以，
由同角三角函数的基本关系知，
则.
故选：D.
8. 已知函数，若对任意的正实数，满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知等式构造新函数，结合新函数的单调性和对称性、基本不等式进行求解即可.
【详解】构造新函数，
因为，
所以函数的图象关于点对称，
，
设是任意两个实数，且，
，
因为，
所以，，
所以，即，
所以函数是实数集上的增函数，
，
因为函数是实数集上的增函数，且函数的图象关于点对称，
所以，
，
因为，是两个正实数
所以，
即，当且仅当时等号成立，即，
即当时， 有最小值，
故选：C
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 下列命题，其中正确的命题有（ ）
A. 若角终边经过点，则
B. 若，则
C. 若，且为第四象限角，则
D. 若，且，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据任意角的三角函数的定义求，判断A的真假；利用同角的三角函数基本关系，可判断B的真假；利用诱导公式和同角的三角函数基本关系，可判断CD的真假.
【详解】对于A：，所以，故A正确：
对于B：因为，则，故B错误；
对于C：因 ，则，又为第四象限角，则，
又，故C正确；
对于D：根据诱导公式可得，
又，则，，则有，故D正确．
故选：ACD
10. 下列选项中说法正确的是（ ）
A. 函数（，）的图象必过定点
B. 函数的值域为
C. 函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 若函数的值域为，则实数的取值范围是
【答案】AB
【解析】
【分析】A选项利用指数的性质判断即可；B选项运用换元法，结合二次函数的性质求值域；C选项用复合函数的定义域判断即可；D选项由对数函数的值域判断即可.
【详解】A选项，令，则，即图象必过定点，故A正确.
B选项，令，则，函数化为，
这是一个开口向下的二次函数，对称轴，则函数在时取得最大值为，
所以值域为，故B正确.
C选项，因为的定义域为，则对于需满足，
解得，即所求定义域为，故C错误.
D选项，由题意可知，能取到所有正实数，
所以当时，，能取到所有正实数，满足条件；
当时，需要，得，
综上实数的取值范围，故D错误.
故选：.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于中心对称
B. 若函数有4个零点，则
C. 函数是偶函数
D. 设函数有两个零点，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，举例说明判断AB；构造函数利用奇偶性求解判断CD.
【详解】函数，当时，，则，
因此函数，
对于A，，即点在函数的图象上，而点关于对称点不在的图象上，因此函数的图象关于不成中心对称，A错误；
对于B，当时，由，解得或；
当时，由，解得或，
因此当时，函数有4个零点，B错误；
对于C，令函数，
当时，，；
当时，，，
即，都有，因此函数是偶函数，C正确；
对于D，，函数在R上都是增函数，
因此函数在都单调递增，显然0不是此函数的零点，
令函数，
当时，，；
当时，，，
即，都有，
即函数是奇函数，而，即在上有唯一零点，
在上有唯一零点，又函数与函数有相同零点，
即是函数的两个零点，由奇函数性质得，且，
因此，，D正确.
故选：CD
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 若，，则___________．（填“”或“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】先对集合进行分类讨论化简，再判断两个集合之间的关系即可.
【详解】对于，
当时，，
当时，，
化简得，
令，则，
与集合形式相同，故.
故答案为：
13. 已知则_____.
【答案】
【解析】
【分析】应用诱导公式化目标式为，即可求值.
【详解】.
故答案为：
14. 已知函数．记，则
（1）___________；
（2）若函数（为常数）在上有个零点，则的取值范围为___________
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用归纳法，根据函数的周期性思想，可得函数值的求解；根据题意，利用数形结合思想，结合函数的对称性，可得答案.
【详解】当时，；假设当时，；
当时，.
根据数学归纳法，可得，在上恒成立.
，
由题意可得（），
则可得（）为函数的图象与直线在上交点的横坐标，如下图：
由图可得，
当时，当时，
，
结合图象，函数的图象在上关于直线对称，
由题意同理可得，函数的图象在上关于直线对称，
函数的图象在上关于直线对称，
函数的图象在上关于直线对称，
不妨设，
则，，，，
所以
故答案为：；.
四、解答题（共77分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤）
15. 已知，且．
（1）化简；
（2）若，求．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简；
（2）先由平方关系求得，再代入求值.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
因为，所以，
所以.
所以.
16. 已知．
（1）若的始边为x轴的非负半轴，终边过点，求的值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据终边上点得，由齐次式化弦为切即可求值；
（2）由平方关系及已知求得、，即可求值.
【小问1详解】
由题设，，则，
所以；
【小问2详解】
由题设，则，
所以，，则，
所以，
所以.
17. 为支撑新能源汽车产业发展，我国充电基础设施近年来快速发展.某省充电桩数量（单位：万个）与时间（单位：年，对应2020年）的函数关系式为其中a，k，m，n为非零常数，假设该函数的图象为连续的曲线，且已知该省2020年的充电桩数量为10万个，2023年的充电桩数量为30万个.
（1）求a，k的值；
（2）根据此模型，预计该省2026年的充电桩数量将增长到40万个，请你预测该省充电桩数量增长到50万个的年份.
【答案】（1）.
（2）2032年
【解析】
【分析】（1）由题可知：当时，；当时，.代入函数关系式可求得a，k的值；
（2）由题意得，.解出.列出对应方程，并求解，可预测该省充电桩数量增长到50万个的年份.
【小问1详解】
由题可知：当时，；当时，.
所以，解得：.
所以.
【小问2详解】
因为函数（a，k，m，n为非零常数）的图象为连续的曲线，所以
由题可知：当时，；所以.
由，得
令，则，即.
所以，所以.
因为.
故可预测该省充电桩数量增长到50万个的年份为2032年.
18. 已知函数（，）的图象两相邻对称轴之间的距离是，且函数经过点.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数的图象在区间（，且）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的最小正周期计算公式求出，将点代入计算即可求解；
（2）参变分离进行处理，将问题转化为，只需求出不等式右边的最小值，结合对勾函数的单调性进行辅助求解；
（3）先求出零点的一般形式，结合零点的个数求出区间长度的最小范围.
【小问1详解】
由，得，则，
又图象过点，则，
得，，又，
所以，故.
小问2详解】
因为，所以，，
故，
而恒成立，
即，
整理可得.
令，
设，，且，
则，
由于，则，所以，
即在区间上单调递增，故，
故，即实数m的取值范围是.
【小问3详解】
由题意知，
由得，
故或，
解得或，
故的零点为或，
所以相邻两个零点之间的距离为或
若最小，则和都是零点，此时在区间分别恰有个零点，
所以在区间上恰有29个零点，
从而在区间上至少有一个零点，所以，
另一方面，在区间上恰有30个零点，
所以的最小值为.
19. 若函数满足：
①对于，都有；
②对于，都有；
则称函数为“雅礼函数”．
已知为幂函数且是偶函数，函数过点．
（1）试求的解析式；
（2）试判断函数与是否是“雅礼函数”；
（3）若函数为“雅礼函数”，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）是“雅礼函数”，不是“雅礼函数”，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数定义先确定的可取值，再根据奇偶性确定出的值，则可求；代入于，则可求，则可求；
（2）根据“雅礼函数”的定义进行判断即可；
（3）根据“雅礼函数”的定义将问题转化为“对于，都有”以及“对于恒成立”，由此求解出结果.
【小问1详解】
因为为幂函数，所以，解得或，
当时，，定义域为关于原点对称，且，所以是奇函数，不符合条件，
当时，，定义域为关于原点对称，且，所以是偶函数，符合条件，
所以；
因为过点，所以，解得，
所以.
【小问2详解】
对于：
对于，都有，故满足①，
对于，都有，
所以，故满足②，
所以是“雅礼函数”；
对于：
对于，都有，故满足①，
对于，都有
，
因为，所以，所以，
所以，故不满足②，
所以不是“雅礼函数”.
【小问3详解】
因为为“雅礼函数”，所以对于，都有，
即对于，都有，即对于，都有，
即对于，都有，
因为，所以，所以对于，都有，
所以，所以；
因为为“雅礼函数”，所以对于，都有，
即对于，都有，
即对于，都有，
即对于，都有，
上述不等式两边同乘可得，
即对于，都有，
即对于，都有，
因为，所以，
所以对于恒成立，所以，所以，
综上所述，的取值范围是.