湖北省武汉市2025_2026学年度高一数学下学期3月月考试卷含解析

这是一份湖北省武汉市2025_2026学年度高一数学下学期3月月考试卷含解析，共56页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在平面直角坐标系 中，角 的终边经过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由任意角三角函数定义可得答案.
【详解】注意到 ，则 在单位圆上，则 .
故选：A
2. 若向量 ，且 A，C，D 三点共线，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知 ，再由向量平行的坐标表示列方程求参数即可.
【详解】由 三点共线，得 ，
又 ，得 ，解得 .
故选：B
3. 已知平面向量 ，则 在 方向上的投影向量坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解.
【详解】因为 ，则 ，
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所以 在 方向上的投影向量坐标为 .
故选：B.
4. 如图，在四边形 ABCD 中， ，设 ，则 等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的基底，利用向量的线性运算，结合几何图形求解即得.
【详解】依题意，
.
故选：C
5. 计算: （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】 ，结合正弦和差公式，二倍角公式及同角三角函
数关系化简，得到答案.
【详解】
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,
所以原式 .
故选：
6. 已知平面向量 满足 ， ，且 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直得到向量 的数量积，再将模长转化为数量积即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
，又 ，
所以 .
故选：C.
7. 已知函数 是奇函数，将 的图像上所有点的横坐标
伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期为 ，且
，则 （ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
只需根据函数性质逐步得出 值即可．
【详解】因为 为奇函数，∴ ；
又
， ，又
∴ ，
故选 C．
【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数 ．
8. 已知平面向量 ， ， ，且 已知向量 与 所成的角为 ，且 对任意实数 恒
成立，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出 ，再用向量的三角不等式求最小值.
【详解】平方去绝对值号，由 ，则 ，
根据向量 与 的条件可得 ，
化简可得 ，
令 ，由于函数开口向上，所以需要满足 ，
所以 .
观察所求式子内部，两者相减可将 约掉，所以可用向量的三角不等式求解，
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即 ，
又 ，
则 的最小值为
二、多项选择题：本大题共 3 小题，共 18 分.
9. （多选） 的内角 的对边分别为 ，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则 一定是锐角三角形
B. 若 ，则 一定是等边三角形
C. 若 ，则 一定是等腰三角形
D. 若 ，则 一定是等腰三角形
【答案】BD
【解析】
【分析】利用余弦定理即可判断 A；利用正弦定理化边为角即可判断 B；利用正弦定理化边为角结合二倍角
的正弦公式即可判断 C；利用正弦定理化边为角结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理即可判断 D.
【详解】对于 A，若 ，则 ，
则 为锐角，但是 两角无法判断其是否为锐角，
如当 时，
， ， 为钝角三角形，故 A 错误；
对于 B，因为 ，所以 ，
所以 ，且 ，所以 ，
所以 为等边三角形，故 B 正确；
对于 C，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 或 ，
所以 或 ，
所以 是等腰三角形或直角三角形，故 C 错误；
对于 D，因为 ，所以 ，
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即 ，则 ，
又因为 ，所以 或 （舍去），
所以 为等腰三角形，故 D 正确.
故选：BD.
10. 函数 的部分图象如图所示，将 的图象向右平移
个单位长度得到函数 的图象，则下列关于函数 的说法正确的有（ ）
A. 是 的一条对称轴
B. 在 上单调递增
C. 的一个对称中心为
D. 是偶函数
【答案】AD
【解析】
【分析】先由图象得出 ，再由三角函数性质逐一判定即可得出结论．
【详解】由图知 ，则 ，
，所以 ，则 ，
即
因为 ，所以 ， ，即 ，
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因为 ，得 ，所以
所以
对于选项 A：当 时， ，故 A 对
对于选项 B： 的单调递增区间为 ，
解得 ，
当 时，故 在 上单调递增，在 上单调递减，故 B 错
对于选项 C： ，故 C 错
对于选项 D： ，
所以 是偶函数，故 D 对，
故选：AD．
11. 已知点 为 所在平面内一点，满足 ，（其中 ）（ ）
A. 当 时，直线 过边 的中点
B. 若 时， 与 的面积之比为
C. 若 ，且 ，则
D. 若 ，且 ，则 满足
【答案】AD
【解析】
【分析】对于 A，根据向量的线性运算结合向量数乘的含义可判断 A;对于 B，利用作图，结合向量加减法
的几何意义，可判断 与 的面积之比；对于 C，由条件可判断 为等边三角形，利用数
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量积的定义即可求得 的值；对于 D,由 得， ，平方后结合
数量积的运算可推得结果.
【详解】对于 A，设 AB 的中点为 D，则当 时，有 ,
即得 O,C,D 三点共线，故直线 过边 的中点，故 A 正确；
对于 B，延长 OA 至 ,使 , 延长 OB 至 ,使 ,
连接 ,设其中点为 E,连接 OE 并延长至 ，使 ,
连接 ,则四边形 是平行四边形，
所以 ，而 时， ，
故 ,即 三点共线，且 ，
根据同底等高三角形面积相等，则 ,
即 与 的面积之比为 ，故 B 错误；
对于 C，由于 且 时， ，
故 O 为 的外心和重心，故 为等边三角形，
则 ,由 可得 ，
故 ，故 C 错误；
对于 D，因为 ，且 ，
由 得， ，
所以 ,即 ，故 D 正确，
故选：AD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
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12. 设向量 ，且 ，则 m=_________.
【答案】-2
【解析】
【详解】试题分析：由题意得
考点：向量的模
13. 已知 ，若 ，则 _______
【答案】
【解析】
【分析】应用诱导公式及差角余弦公式、二倍角余弦公式可得 ，即
可求角的大小.
【详解】由 ，
所以 ，又 ，
所以 ，而 ，
所以 .
故答案 ：
14. 已知 为 的外心，若 ，则 的最大值为_____.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据数量积的几何意义结合三角恒等变换以及正弦定理边化角化简已知等式，可得 ，
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再利用二倍角公式化简，继而利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】依题意 两边同时乘以 得：
，
，
即 ，
，
即 ，
即 ，而 ，
则 ， ，
又 ，
.
故 的最大值为 ，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用数量积的几何意义以及三角恒等变换化简得到 ，
继而求解即可.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 ．
（1）求 A；
（2）若 ，求 sinC．
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【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得： ，从而可整理出 ，根据
可求得结果；
（2）[方法一]由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角形内角和可得 ，然后
结合辅助角公式可得 ，据此由两角和差正余弦公式可得 ．
【详解】（1） ，
即： ，
由正弦定理可得： ，
，
， .
（2）[方法一]正弦定理+两角和差正余弦
由（1）知， ，所以由 ，
得 ，
整理得 ，即 ．
又 ，所以 ，即 ，
则 ．
[方法二]正弦定理+方程思想
由 ，得 ，
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代入 ，
得 ，
整理得 ，则 ．
由 ，得 ，
所以 ．
[方法三]余弦定理
令 ．由 ，得 ．
将 代入 中，可得 ，
即 ，解得 或 （舍去）．
所以 ，
从而 ．
[方法四]射影定理
因 ，所以 ，
由射影定理得 ，
所以 ．
【整体点评】方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解 的值；
方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得 的值；
方法三：利用余弦定理求得 的值，然后结合正弦定理可得 的值；
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方法四：利用摄影定理求得 的值，然后由两角和差正余弦公式求解 的值；
【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关
系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.
16. 已知函数 =4tan xsin（ ）cs（ ） .
（Ⅰ）求 f（x）的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论 f（x）在区间[ ]上的单调性.
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）在区间 上单调递增, 在区间 上单
调递减.
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式将函数化为基本三角函数：
，再根据正弦函数的性质求定义域、最小正周期；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，研究函数
f（x）在区间[ ]上单调性.
试题解析：（Ⅰ） 的定义域为 .
.
所以, 的最小正周期
（Ⅱ）令 函数 的单调递增区间是
由 ,得
设 ，易知 .
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所以, 当 时, 区间 上单调递增,在区间 上单调递减.
【考点】三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表
示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和与差的正、余弦公
式、二倍角公式、辅助角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，开方时正负
取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说，常常是先化为 y＝Asin（ωx＋φ）＋k 的形式，再利用三角函数
的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其
中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．
17. 如图， 的内角 的对边分别为 是边 的中点，点 在边 上，且满足
与 交于点 ．
（1）试用 ， 表示 和 ；
（2）若 ，求 ．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到 ，设 ，根据平面向量共线定理的推论求出 ，
即可求出 ；
（2）首先用 、 表示出 、 ，再根据数量积 运算律及定义计算可得.
【小问 1 详解】
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因为 ，所以 ，即 ，
设 ，所以 ，
又 、 、 三点共线，所以 ，解得 ，所以 .
【小问 2 详解】
因 ，
设 ，
又 、 、 三点共线，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
又 ，即 ，
即 ，解得 或 （舍去）.
18. 已知向量 ， ，函数
， .
（1）若 的最小值为-1，求实数 的值；
（2）是否存在实数 ，使函数 ， 有四个不同的零点？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数 即可．
（2）求出函数 的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．
（3）由 =0 得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．
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试题解析：
（1）∵ ，
，
∴ ，
∵ ∴ ，
，令 ，
∴ ∵ ，对称轴为 ，
①当 即 时，当 时， ∴ 舍，
②当 即 时，当 时， ∴ ，
③当 即 是，当 时， ∴ 舍，
综上， .
（2）令 ，即 ，
∴ 或 ，∵ ， 有四个不同的零点，
∴方程 和 在 上共有四个不同的实根，
∴ ∴ ∴ .
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19. 设 O 为坐标原点，定义非零向量 的”相伴函数”为
称为函数 的“相伴向量”.
（1）设函数 ，求函数 的相伴向量 ；
（2）记 的“相伴函数”为 ，若方程 在区间 上有且仅有
四个不同的实数解，求实数 k 的取值范围；
（3）已知点 满足 ，向量 的“相伴函数” 在 处取得最大值，
当点 M 运动时，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由两角和差公式化简 的解析式，进而根据定义找到 的相应系数即可；
（2）根据题意可得 ，分离参数 后，构造函数 ，作出分段函数 的图象，数形结
合法可知，函数 的图象与直线 有四个交点时实数 k 的取值范围；
（3）根据辅助角公式可得 的解析式，根据最大值可得 的表达式，根据倍角公式可用 表示
，令 ，根据已知不等式可得到 m 的范围，换元法可求得 的取值范围．
【小问 1 详解】
因为
，
所以函数 的相伴向量
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【小问 2 详解】
的“相伴函数”为 ，
方程 ，即 ， ，
该方程有四个实数解，
所以 ， 有四个实数解，
令 ， ，
①当 时， ；
②当 时， ，
即
作出 的图象，如图：
由图知，当函数 的图象与直线 有四个交点时，实数 k 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
向量 的“相伴函数” ，
其中 ， ， ，
当 ，即 时， 取得最大值，
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所以 ，
所以 .
由 知 ，且 ， .
令 ，则 ，即 ，解得 ，
所以 ( )，
因为 在 上单调递增，所以 ，
所以
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