湖北省武汉市2025_2026学年高一数学上学期10月月考试卷含解析

这是一份湖北省武汉市2025_2026学年高一数学上学期10月月考试卷含解析，共56页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：2025 年 10 月 试卷满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求.
1. 已知集合 ， ，则 的子集个数为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合 A，进而求得 求解.
【详解】
，
则 ，
则 的子集个数为 .
故选：D
2. 函数 的定义域为（ ）
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根号下非负结合分式不等式的解法可求函数的定义域.
【详解】由 ，可得 ，
即 ，解得 ，
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即函数 的定义域为 ，
故选：C．
3. 设已知函数 如下表所示：则不等式 的解集为（ ）
x 0 1 2
2 1 0
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的概念求解即可.
【详解】由 ，得 或 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
综上所述，不等式 的解集为 .
故选：A.
4. 已知函数 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
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分析】换元法求解析式.
【详解】设 ，则 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：B.
5. 集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先解分式不等式求出集合 ，依题意可得 ，分 、 、 三种情况讨论，分
别求出参数的取值范围，即可得解.
【详解】解：由 等价于 ，解得 或 ，
所以 ，又 ，所以 ，
①当 时，即 无解，此时 ，满足题意.
②当 时，即 有解，
当 时，可得 ，即 ，要使 ，则需要 ，解得 .
当 时，可得 ，即 ，要使 ，则需要 ，解得
综上，实数 的取值范围是 .
故选：A
6. 已知函数 的定义域为 R，且 ，若 ，则 （ ）
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A. －2024 B. －2023 C. 4049 D. 4050
【答案】B
【解析】
【 分 析 】 令 可 得 ， 利 用
即可求解.
【详解】令 ，可得 ，即 ，
所以
．
故选：B．
7. 已知函数 ， ，若对任意的 ，总存在 ，使得
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算得 ， ，由题意得 ，根据集合
间的包含关系可得结果.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 在 上是增函数，
因为 ，所以 ，
因为对任意的 ，总存在 ，使得 成立，
所以 ，
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
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故选： .
8. 数集 ，其中 ，若 ，且
，求 （ ）
A 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知 ，结合集合 描述推得 ，进而有 求
得 ，即可求.
【详解】由题设 ，又 且 ，
若 ，则 ， ， ，
此时 中不存在元素 ，不合题设；
若 ，则 ， ， ，
此时 中存在一个大于 的元素 ，不合题设；
所以 ，则 ， ， ，
所以 ，可得 且 且 ，
所以 ，则 .
故选：D
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题： ， 的否定是： ， .
B. 一元二次不等式 对一切实数 都成立，则实数 的取值范围是
C. 是 的必要而不充分条件.
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D. 是关于 x 的方程 有一正一负根的充要条件.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可判断 A；根据一元二次不等式恒成立，数形结合可
求 的取值范围，判断 B；通过举反例可判断 C；根据一元二次方程根的分布可判断 D.
【详解】对于 A，命题“ ”的否定是“ ， ”，故 A 正确；
对于 B，因为 是一元二次不等式，故 ，
因为一元二次不等式 对一切实数 都成立，
所以 .故 B 错误；
对于 C，由 不能推出 ，例如 ，但 ；
也不能推出 ，例如 ，而 ；
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，故 C 错误；
对于 D，关于 x 的方程 有一正一负根 ，
所以“ ”是“关于 的方程 有一正一负根”的充要条件，故 D 正确．
故选：AD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 的定义域为 ，则 的定义域为
B. 函数 的值域为
C. 函数 的定义域为
D. 函数 在 上的值域为
【答案】AC
【解析】
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【分析】根据抽象函数定义域与函数括号内的范围一致即可判断 A；对函数进行分离常数的变形即可判断 B；
根据具体函数的定义域可判断 C；根据二次函数在闭区间上的值域可判断 D.
【详解】对于 A，若函数 的定义域为 ，对于函数 ，
则有 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，故 A 正确；
对于 B， ，由于 ，
所以 ，故 B 错误；
对于 C，要使函数 有意义，则有 且 ，
所以函数 的定义域为 ，故 C 正确；
对于 D， ， ， ，
所以函数 在 上的值域为 ，故 D 错误.
故选：AC
11. 已知 ，下列选项正确的是（ ）
A. 若 ，则 的最小值为
B. 若 ，则 的最小值为
C. 若 ，则 的最小值为
D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】用基本不等式求最值后判断各选项：选项 A，利用 .选项 B，利用
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.选项 C，没有定值，先利用不等式进行放缩，然后解不等式得最值.选项 D，根据
定值的要求把两项都与相应常数求代数和，然后凑出积为定值，再求得最值．
【详解】由已知 ，
选项 A， ，
当且仅当 时等号成立，A 错，
选项 B， ，则 ，
所以 ，当且仅当 ，
即 时等号成立，B 正确；
选项 C，由 得 ，
当且仅当 时等号成立，又 ，故解得 ，C 正确；
选项 D，
，
当且仅当 即 时等号成立，D 正确．
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：用基本不等式求最值，需要满足三个条件：一正，二定，三相等，即在
中，首先两项 均为正，其次需有定值才能有最值，即和定积最大，积定和最小，第三，要
取得等号成立（即最值取得到），需要 能成立，否则也不能得出最值．一正常常在已知条件中就能满
足或者简单变形一下即可满足，难点是二定，这个定值有时需要凑配，本题中选项 ABD 均凑配出了定值，“1”
的代换是凑配定值常用方法．
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数 ，若 ，则 ______．
【答案】0
【解析】
【分析】根据 求得 的值，再代入求值即可.
【详解】因为 ，所以 ，解得 ，则 ，
所以 .
故答案为：0.
13. 已知集合 ， ，若 ， ，则 ______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意可得 1， ， ，然后分 与 讨论，即可得到结果.
【详解】由题意得 1， ， ，
当 时，则 不满足元素互异性，
当 即 时， ， ，满足要求.
所以 .
故答案为:
14. 设 ，若存在唯一的 使得关于 的不等式 有解，则 的取值范围是
__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，确定 m 的最大值，再由函数不等式有解得当 时不等式组有解，当 时
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不等式组无解，求出 a 的范围作答.
【详解】依题意不等式 有解，所以 ，所以 ，而 ，因此
，因存在唯一的 m 使得关于 x 的不等式组 有解，
则当且仅当 时，不等式组 有解，且当 时不等式组 无解，
由 有解得 有解，所以 ，即 ，
由 无解得 无解，于是得 ，解得 ，因此
，
所以 a 的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知全集 ，集合 ， .
（1）当 时，求 ；
（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）当 时，求出集合 、 ，利用补集和交集的定义可求得集合 ；
（2）分析可知， ，利用集合的包含关系可得出关于实数 的不等式组，由此可解得实数 的取值范
围.
【小问 1 详解】
因为 ，当 时， ，
因为全集 ，则 或 ， 或 ，
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因此， 或 .
【小问 2 详解】
易知集合 非空集合，
因为 是 的必要不充分条件，则 ，所以， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
16. 已知函数
（1）若 ， 恒成立，求 的取值范围；
（2）若 ， 恒成立，求 的取值范围；
（3）若方程 有两实根，且两实根均大于 1，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接转化为判别式小于 0 即可；
（2）利用分离参数法即可；
（2）利用韦达定理和判别式即可得到不等式组，解出即可.
【小问 1 详解】
由题得 ，解得 .
【小问 2 详解】
当 时， 恒成立，
当 时， 恒成立，即 ，
则 在 上恒成立，
而 ，当且仅当 时等号成立，
则 .
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【小问 3 详解】
设这两个根分别为 ，则 ，
则 ，即 ，即 ，
则 ， .
则 的取值范围为 .
17. 如图，某小区有一个直角梯形休闲广场 ，其中 百米，
百米.规划修建两条直道 将广场分割为 3 个区域：I，II 为绿化区域（图中阴影部分），面积分
别记为 ， ；III 为休闲区域，面积记为 .其中，区域 III 是以 为底的梯形，点 分别在
上.（道路宽度忽略不计）
（1）若 ，试确定道路 AE 的长度的取值范围；
（2）记休闲区域面积与绿化区域面积的比值为“效能比”，求此规划下该广场效能比的最大值.
【答案】（1）大于 50 米小于 100 米
（2）3
【解析】
【分析】（1）延长 相交于点 P，设 可利用三角形相似求出 的关系，结合已知
即可求出 的表达式，解不等式即可求得答案；
（2）求出 的表达式，可得效能比的表达式，结合二次函数性质即可求得答案.
【小问 1 详解】
延长 相交于点 P，
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因为 ，所以 ，结合 ，
所以 ，则 B 为 PA 的中点，所以 ，则 ；
由区域Ⅲ是以 CD 为底的梯形，可得 ，
于是 ，则 ，
设 ，所以 ，故 ，
由题意知 ，所以 ，
所以 ，
当 时，则 ，即 ，所以 ，或 ，
又因为 ，所以 ，所以当道路 AE 大于 50 米小于 100 米时， .
【小问 2 详解】
因为 ，
故广场效能比为 ，
设 ，则二次函数 的图象开口向上，
当 时，函数 取得最小值，即 ，
所以 ，
所以此规划下该广场效能比的最大值为 3.
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18 已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集.
（2）对任意 ，函数 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）对 进行分类讨论，根据一元二次不等式的解法求得不等式 的解集；
（2）通过转换主参变量的方法来列不等式，从而求得 的取值范围.
【小问 1 详解】
，
当 时， ，由 ，解得 ：
当 时，令 ，解得 .
当 时， ，即 由 ，解得 ；
当 时， ，即 ，解得 或
当 时， ，由 ，解得 ；
当 时， ，即 ，由 ，解得 或
综上所述：当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 .
【小问 2 详解】
依题意， 恒成立，即 恒成立，
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又因为 恒大于 0，
所以 ，
即 .
19. 取名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理表明：对
于满足一定条件的图象连续不间断的函数 ，在其定义域内存在一点 ，使得 ，则称 为
函数 的一个“不动点”.若 ，则称 为 的“稳定点”.
已知函数 ，若
（1）已知 ，若 只有一个“不动点”，求 的值；
（2）函数 的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为 A 和 ，即
.证明： ；
（3）讨论 的稳定点个数.
【答案】（1） ；
（2）证明见解析； （3）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由不动点的定义有 ，结合已知 ，即可得；
（2）根据不动点、稳定点的定义有 ，即可证；
（3）根据稳定点的定义得 且 ，注意对于 需对判
别式做讨论，即可得.
【小问 1 详解】
由题设 ，且 ，
令 ，则 ，
由 只有一个“不动点”，则 ；
【小问 2 详解】
若 ，则 ，即不动点一定是稳定点，所以 ，得证；
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【小问 3 详解】
令 ，则 ，可得 ，
所以 ，整理得 ，
所以 且 ，显然 、 满足，
对于 ①，则 ，
当 ， 时，①无解，此时稳定点有 2 个；
当 ， 时，①的解为 ，此时稳定点有 2 个；
当 ， 时，①有两个不同解（不为 ），此时稳定点有 4 个；
综上， 时稳定点有 2 个， 时稳定点有 4 个.
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