福建省宁德市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷含答案（word版）

这是一份福建省宁德市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷含答案（word版），共16页。
二、对计算题, 当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应给分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分.
三、解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数, 选择题和填空题不给中间分.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 69 13. 26 14. 23
14. 23 【详解】连接 AC ，在 △ABC 和 △ADC 中，
AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcsB=10−6csB ，
AC2=AD2+CD2−2AD⋅CDcsD=8−8csD ,
所以 3csB−4csD=1 ,
设凸四边形 ABCD 面积为S ,
所以 S=S△ABC+S△ADC=12×2×2sinD+12×1×3sinB=2sinD+32sinB ，
所以 4S2+12=3sinB+4sinD2+3csB−4csD2
=9sin2B+16sin2D+24sinDsinB+9cs2B+16cs2D−24csDcsB
=25−24csB+D≤25+24=49 ,
所以当 B+D=π 时, 4S2+12 有最大值 49,即 S2 有最大值 12，所以 S 的最大值为 23 .
四、解答题: 本大题共 5 小题, 共 77 分.
15. 解: (1) 因为 csinB−3bcsC=0
由正弦定理得: sinCsinB−3sinBcsC=0 .1 分
因为 A,B,C∈0,π ,所以 sinB≠0 .2 分
所以 sinC=3csC .3 分
所以 tanC=3 .4 分
所以 C=π3 .5 分
所以 ∠C 的大小为 π3
(2)因为 c=2 ， SΔABC=3 ，所以 12absinC=3 .6 分
所以 ab=4 .8 分
由余弦定理得: c2=a2+b2−2abcsC
所以 22=a2+b2−2×4×csπ3 .9 分
所以 a2+b2=8 .11 分
因为 a,b>0 ,所以 a=b=2 .13 分
所以 a,b 的值均为 2 .
16. 解法一(1)第 2 组的频率是第 5 组频率的 8 倍， 10a=80b ，即 a=8b .1 分
又 0.016+a+0.040+0.008+b×10=1 .2 分
解得 a=0.032,b=0.004 .4 分
此时该样本数据的平均数为
0.016×55+0.032×65+0.04×75+0.008×85+0.004×95×10 .6 分
=70.2 .7 分
(2)因为抽取的 10 个数平均数为 90 ，所以增加两个 90 的分数，平均数不变 .8 分
因为 s1=6 所以 s12=110x12+x22+…+x102−902=62
化简得 x12+x22+…+x102=81360 .9 分
此时方差: s22=112x12+x22+…+x102+902+902−902=30 11 分
因为 s220
如图所示,延长线段 AD 使得 AD=DE ,连接 CE,BE ,
则四边形 ABEC 为平行四边形,即 AE=14k .
在 VAEC 中, cs∠ACE=AC2+EC2−AE22⋅AC⋅EC .6 分 =10k2+6k2−14k22⋅6k⋅10k=−12 . .7 分
又因为 ∠ACE∈0,π 所以 ∠ACE=2π3 .8 分
可得 ∠BAC=π3 .9 分
(3)因为 AD⋅BF=−12 ，所以 12a+12b12b−a=−12
所以 14a⋅b−12a2+14b2−12a⋅b=−12
所以 −36k2+50k2−15k2=−1 可得 k2=1 则 k=1 .12 分
所以 AB=6,AC=10
S△ABC=12×6×10×sinπ3=153 .13 分
因为 AD,BF 是中线,所以 E 是 △ABC 的重心,所以 AEED=2 .14 分
S四边形EDCF=S△ABC−S△ABF−S△BDE=S△ABC−12S△ABC−16S△ABC=13S△ABC .16 分
于是 S四边形EDCF=53 .17 分
19. 解 (1) 如图,取 PD 的中点为 F ,因为 EF 是 △PAD 的中位线. .1 分
故 EF//AD//CN 且 EF=AD2=CN ,于是四边形是平行四边形,即有 EN//CF .3 分
又因为 FC⊂ 平面 PCD,EN⊄ 平面 PCD ,所以 EN// 平面 PCD .4 分 (注: 没写 EN 不在平面内扣 1 分)
(2)由翻折可知 PA=PN ,取 AN 的中点为 G ,于是 PG⊥AN
因为平面 PAN⊥ 平面 ANCD ,平面 PAN∩ 平面 ANCD=AN,PG⊂ 平面 PAN ,
所以 PG⊥ 底面 ANCD ,即 PG⊥GD .6 分
有 ∠GND=π2,NG=1,ND=2 ,于是 GD=5 ,
有 PG=1∴PD=PG2+GD2=6 .7 分
易得 ΔPGD≅ΔPGC ,于是 PD=PC=6 ,且 PN=2
故 △PND 是直角三角形, S△PND=2
设点 C 在平面上的投影为 C′ ,根据等体积,有 13S△PND⋅CC′=13S△NCD⋅PG ,
即 13×2CC′=13×1×1 ,解得 CC′=22 .9 分
于是 sinθ=CC′PC=36 . .10 分
(注: 若用坐标法, 答案正确可给满分)
(3)设 P 在平面上的投影为 P′ ， P′ 到线段 MN 上的投影为 Q ，连接 PQ
于是 α=∠PQP′,tanα=PP′P′Q=2 .11 分
设 BP′=m=PP′,P′Q=x ,即 mx=2 ①
根据 ΔMP′Q:ΔMBN ,有 2−m2=x2 ②,
结合①②解得 m=1,x=22
于是 P′ 与 G 重叠,即 PG⊥ 底面 ANCD .13 分
取 ND 的中点为 O′ ,因为 ΔNCD 是直角三角形,故其外心为点 O′ ,即该三棱锥外接球的的球心 O 落在底面过点 O′ 所在的垂线上 .14 分
设 ℎ=OO′ ,根据 OP=ON=r ,得 r=1−ℎ2+O′G2=ℎ2+O′N2 ,且 O′G=2 , O′N=1 ,解得 ℎ=1 ,此时半径 r=2 .16 分
于是该三棱锥外接球的体积 V=82π3 .17 分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
D
C
B
D
A
C
9
10
11
ABD
BC
ACD