福建省莆田市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷含答案（word版）

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注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的.
1. 已知 i 为虚数单位,则 i3=
A. -1 B. 1 C. -i D. i
2. 已知一组数据分别为38,41,42,43,44,45,46,47,则这组数据中的第 75 百分位数是
A. 44.5 B. 45 C. 45.5 D. 46
3. 在平行四边形 ABCD 中,点 F 满足 DF=2FC ,则
A. AF=23AB+AD B. AF=13AB+23AD
C. AF=23AB+43AD D. AF=13AB+AD
4. 欧拉公式 eiθ=csθ+isinθ ( e 为自然对数的底, i 是虚数单位, θ∈R ) 建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位. 根据以上内容,可知 e2πi3 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 若事件 A 和 B 相互独立, PA=0.5,PB=0.6 ,则 PA∪B=
A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9
6. 已知 m,n,l 是三条直线， α,β 是两个平面，则下列命题正确的是
A. 若 α//β,m⊂α,n⊂β ,则 m//n
B. 若 m⊂α,n⊂β,m//β,n//α ,则 α//β
C. 若 α∩β=l,n⊂β,n⊥l ,则 α⊥β
D. 若 α⊥β,α∩β=l,m//α,m⊥l ,则 m⊥β
7. 某沿海城市 A 附近海面上有一台风，该台风中心位于城市 A 南偏东 30∘ 方向 1003 km 的海面 P 处,正以 10 km/h 的速度沿北偏西 60∘ 的方向移动. 如果台风侵袭的范围是半径为 100 km 的圆形区域, 则该城市开始受到台风侵袭的时间为
A. 2 小时后 B. 5 小时后 C. 10 小时后 D. 15 小时后
8. 在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中, ∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=π3 ,则二面角 A1−AB−D 的余弦值为
A. 13 B. 12 C. 33 D. 32
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 z=a+1−aia∈R 的实部为 4,则
A. z=5 B. z=−4+3i C. z+z=0D. z+2z+i 是实数
10. 在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,点 E 是线段 A1D1 的中点,则
A. 直线 BD 与 B1C 所成角为 π3 B. B1C⊥ 平面 BC1D1
C. 点 D 到平面 ABE 的距离为 55 D. 三棱锥 D−ABE 的外接球的表面积为 41π4
11. 在 △ABC 中, AB=2,BC=7,A=π3 ,且 O,H 分别为 △ABC 的外心,垂心, P 是边 BC 上的动点,则
A. sinC=217 B. OB⋅BC=72 C. OA⋅OB=13 D. AP⋅AH=3
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量 a=2,1,b=m,m+1 ，其中 m∈R ，若 a⋅b=4 ，则向量 b 的模为_____.
13. 已知圆锥的内切球的体积为 32π3 ,且圆锥侧面展开图是圆心角为 2π3 的扇形,则内切球的半径为_____，圆锥的体积为_____.
14. 某校高一年段举行数学竞赛，复试只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率为 p ，乙同学答对每题的概率为 qp>q ,且在复试中每人各题答对与否互不影响. 已知甲、乙同时答对每题的概率为 12 ,且每题恰有一人答对的概率为 512 ,则复试结束后,两人共答对 3 道题的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
2026 年 5 月 25 日，天宫喜团圆！中国航天员完成第 8 次 “太空会师”. 某校为了激发同学们对航天的兴趣，举办航天知识竞赛，满分 100 分. 已知高一年级有 200 名学生参加知识竞赛, 成绩均在 50,100 内,将成绩分为 [50,60),[60,70) , [70,80),[80,90),90,100 ,共 5 组,得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求 m 的值和这 200 名学生竞赛成绩不低于 80 分的人数；
(2)从成绩在 [70,80) 和 [80,90) 的学生中，用分层随机抽样方法抽取 5 名学生，再从这 5 名学生中随机抽取 2 名, 求这 2 名学生成绩在 [70,80) 和 [80, 90) 内各 1 人的概率.
16. (15 分)
如图，在矩形 ABCD 中， AB=2AD=2,E 是 AB 的中点，将 △ADE 沿 DE 折起到 △A1DE 的位置,使得 A1C=3 .
(1)若 F 是 A1C 的中点，求证: BF// 平面 A1DE ；
(2)求证: A1D⊥CE .
17. (15 分)
在 △ABC 中, AB=3,A=π3 ,且 △ABC 的面积为 63 .
(1)求 BC 的长；
(2)设 P 是边 BC 上的动点，过 P 分别作 AB ， AC 的平行线，交 AB ， AC 于 M ， N ，记四边形 AMPN 的面积为 S ,求 S 的最大值.
18.(17 分)
某校高一年级有男生 200 人，女生 100 人. 为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样, 抽取总样本量为 30 的样本, 并观测样本的指标值 (单位: cm ), 计算得男生样本的平均数为 169 ，方差为 39 . 下表是抽取的女生样本的数据:
记抽取的第 i 个女生的身高为 xii=1,2,3,⋯,10 .
(1)求女生样本的平均数 x 及方差 s2 ；
(2)用总样本的平均数和标准差估计该校高一学生身高的平均数 μ 和标准差 σ ，求 μ 和 σ 的值;
(3)若 xi∉x−2s,x+2s ，则称 xi 为离群值. 试剔除女生样本数据中的离群值，求剩余女生样本的平均数和方差.
【参考数据】 15≈3.9, 1592=25281, 1692=28561 .
【参考公式】总体划分为 2 层, 通过分层随机抽样, 各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为: m,x,s12;n,y,s22 . 记总的样本平均数为 ω ,样本方差为 s2 ,则 s2=mm+ns12+x−ω2+nm+ns22+y−ω2.
19.(17 分)
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标. 设 P 为多面体 Γ 的一个顶点,定义多面体 Γ 在点 P 处的离散曲率为 ΦP=1−12π∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Qk−1PQk+∠QkPQ1 ,其中 Qi
i=1,2,⋯,k,k≥3 为多面体 Γ 的所有与点 P 相邻的顶点,且平面 Q1PQ2 ,平面 Q2PQ3,… 平面 Qk−1PQk 和平面 QkPQ1 为多面体 Γ 的所有以 P 为公共点的面,角用弧度制表示.
(1)如图 1，八面体的每一个面都是正三角形，并且 4 个顶点 A ， B ， C ， D 在同一个平面内, 求在各个顶点处的离散曲率之和;
(2)如图 2，在正四棱台 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=2A1B1=43 ，在点 A 处的离散曲率为 512 . 若 R 是平面 ABCD 内的动点,且 A1R=32 .
(i)判断点 R 的轨迹，并求轨迹长度；
(ii) 求直线 C1R 与平面 ABCD 所成角的正切值的取值范围.抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
155
158
156
157
160
161
159
162
169
163