福建省宁德市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份福建省宁德市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（含答案），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的 4 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.已知向量 a = (3,1) ， b = (2,-2) ，则 a + 2b = ( )
A． (7，- 5) B． (7，- 3) C． (0，- 5) D． (0，7)
2.已知复数 z = (1- 2i)(2 - i) ，则复数 z 的虚部为 ( )
A. - 5i B. - 3i C. - 3 D. - 5
3.记 ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，若 a = 2、2 ， c = 4 ， A 则角 C 为 ( )
A． D．
4.在复平面内，复数 z = 3 - 2i 所对的向量为 OA ，将 OA 逆时针旋转90 得到 OB ，则 OB 所对应的复数为 ( )
A. 3 + 2i B. - 3 - 2i C. 2 - 3i D. 2 + 3i
5． 已知向量 a ， b 的夹角为 ， a = 3 ， a 丄 (a -b)，则 ）
A． B． 3 C． 12 D． 3
6.在 ΔABC 中， P 是BN 上的一点，若 ，则实数 m 的值为 ( )
1 A．
4
B．
1
2
3 C．
4
D．
5
8
7.在 ΔABC 中,角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ,已知向量 m = (a + c, a -b),n = (b, a - c),且 / / ,同时满足 c = 2b cs A ,则 ΔABC 的形状为 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
8.已知圆 O 的半径为 3，弦 AB = 25·、， C 是圆 O 上的一个动点，则 OC 的取
值范围是 ( )
A． [- 30,-12] B． [- 30,-6] C． [- 24,-6] D． [- 24,-12]
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.已知复数 z 满足 z . i = 7 - i ，则下列说法正确的是 ( )
A. 共轭复数 z = 1 - 7i B. 模长z = 5 2
C. 复数 z 在复平面内对应的点位于第三象限 D. z - z = 14i
10.下列说法正确的是 ( )
A.向量 a = (1, 3 ), b = |((2, l可以作为平面内的一个基底
B.在平行四边形 ABCD 中，若 AM = AB ,则
C.若 a = (3, ·3), b = (1, ·3 )，则 a 在b 方向上的投影向量为
D.若 e1 , e2 为单位向量，则
11.已知 A(1,0), B 点 C 落在第三象限，点 O 在平面 ABC 内满足：
;② OA. OB = OA. OC = OB . OC ，延长 AO 与BC 交于点D ，则以
①
OB
OC
=
=
OA
下说法正确的是 ( )
A. ΔABC 是等边三角形 B. AB . AD = 9
C.若 P 是 ΔABC 外接圆上一点，当 BA. BP 最大时， B 、 O 、 P 三点共线
D.若 P 是 ΔABC 外接圆上一点，点 P 所对应的复数为 z ,则 z +1- i 的最大值为 2 +1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.计算： i2026 - i3 =
13.无人机在高空水平飞行，某一时刻在地面观测点 A 的正上方，此时在地面的另一个观测点 B 测得无人机的仰角为30 ，已知 A 、B 两点间水平距离为 600 米，则无人机的飞行高度为 米。
14. 在 ΔABC 中， G 是重心，过 G 的直线交 AB 于D ，交 AC 于 E ，设 且 m > 1 ， n > 1 ，则 m + n 的最小值为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13 分）
已知复数 z1 = m + 2i , z2 = 3 + i , (m ∈ R)
(1) 若 z1 . z2 = 4+ni , 求实数 m, n 的值；
(2) 若复数 z 对应的点在第四象限，求 m 的取值范围.
16 ．（15 分）
已知平面向量 a = (1,2), b = (2, x), c = (2, y), 且 a //b, a 丄 c.
(1) 求b 和c 的坐标；
(2) 求向量 2a 与向量b + c 的夹角的余弦值．
17.（15 分）
如图，西礵岛 C 上有一个雷达观测站在北礵岛A 的南偏西 20 方向，从北礵岛 A 出发有一条南偏东 40 方向的海上航道直达南礵岛B 。现有一艘货船从西礵岛C 出发，沿直线航行
13km 到达南礵岛 B ，然后改变航向，沿该航道向北礵岛 A 行驶。当货船行驶10km 到达东礵岛D 时，测得 C 与D 之间的距离为 7km .
(1) 求 sin LBDC ；
(2) 求 A, B 之间的距离.
18 ．（17 分）
已知 ΔABC , 内角 A, B, C 对应的边为 a, b, c, 满足: b cs A + a csB = 2c cs A .
(1) 求角 A ；
(2) 若 a = 2, SΔABC = 3 ,求b + c ；
(3) 若 b = 2, ΔABC 为锐角三角形，求边 c 的取值范围.
19. （17 分）
在平行四边形 ABCD 中， LBAD .
(1) 若 AB AD = 2 ，证明： AB 丄 AC ；
(2) 若 AB AD = 2 ，点 G 在线段 BD （包含端点）上运动，求 AG . CG 的取值范围；
(3) 若E 是 BD 上一点，满足 AE 丄 AB ，且 AE = 3 ，求 AD + 2AB 的最小值.