福建省宁德市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

这是一份福建省宁德市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷，共4页。试卷主要包含了若平面向量两两的夹角相等，，则，将一颗质地均匀的正方体骰子等内容，欢迎下载使用。
本试卷有第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟 ，满分150分.
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
第I卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．设复数，则（ ）
A.B.C.D.
2．已知向量，若，则（ ）
A.B.C.D.
3．把红、蓝、黑、白张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁个人，每人分得张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A.对立B.相等C.相互独立D.互斥但不对立
4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A.若，，，则 B.若，，，则
C.若，，，则 D.若，，，则
5. 根据某地天气预报，在今后的三天中，每天下雨的概率均为20%．利用计算机产生1到5之间整数值的随机数，当出现随机数1时，表示下雨，当出现随机数2,3,4,5时，表示不下雨，产生20组随机数：
435 451 132 533 224 344 151 231 424 142
412 414 335 312 123 233 314 254 353 442
据此估计这三天中至少有1天下雨的概率为（ ）
A.0.4 B.0.5 D.0.6
6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在余下的两局比赛中再赢一局就获得冠军，若余下比赛中甲队每局获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A.B.C.D.
7．若平面向量两两的夹角相等，，则（ ）
A.3B.6C.或6D.3或6
8．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为，，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分. 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 若是样本数据的平均数，则（ ）
A.的极差等于的极差
B.的中位数等于的中位数
C.的众数等于的众数
D.的方差大于的方差
10．已知三个内角的对应边分别为，且，则（ ）
A.若，则
B.若，则在上投影向量的模长为1
C.若，，则角有两解
D.若，则
11．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等的“刍童”，若，则（ ）
A.该“刍童”的表面积为
B.能够被完整放入该“刍童”内的圆台的体积可能为
C.该“刍童”的外接球的球心到平面的距离为
D.棱长为的正四面体可以在此空心“刍童”容器内部任意转动第II卷（非选择题共92分）
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分. 把答案填在答题卡的相应位置）
12．某学校师生共有3000人，现用分层抽样方法抽取一个容量为225的样本，已知样本中教师人数为15人，则该校学生人数为_______．
13．在直三棱柱中，,，动点在棱上，则点到平面的距离为_______．
14．已知，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中；），则_______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知复数，.
（1）若是纯虚数，求;
（2）若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围.
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，是边长为4的正三角形，为棱的中点，平面．
（1）求证：平面平面；
（2）若异面直线和所成角的正切值为，求二面角的大小．
17．（本小题满分15分）
已知三个内角的对应边分别为，．
（1）求；
（2）若的面积为，为上一点，平分求.
18．（本小题满分17分）
为了调查某校高一地理学科学生的学习情况，用分层抽样从该校高一年级学生中抽取一个容量为100的样本进行质量监测，男生40个，女生60个. 将监测后40个男生的成绩（满分为100分）分为6个区间：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据以上样本数据，估计该校高一年段地理学科男生成绩的平均数；
（2）若从男生成绩样本数据和内随机抽取两个样本，求这两个样本来自同一区间的概率；
（3）已知样本数据中男生成绩的方差为194，样本数据中女生成绩的平均数和方差分别为76和120，以此估计该校高一年段地理学科成绩的总体平均数和方差.
19．（本小题满分17分）
数学家阿波罗尼斯（约公元前262－190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆心在两定点所在直线上的圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在棱长为6的正方体中，点是的中点，点是正方体表面上一动点（包括边界），且两直线，与平面所成的角相等.
（1）证明：点的轨迹是一阿波罗尼斯圆的一段弧，并画出大致图象（不要求写出画法）；
（2）记点的轨迹所在的阿波罗尼斯圆的圆心为，求的取值范围；
（3）当线段最短时，在线段上是否存在点，使得平面,若有，请求出平面截正方体的截面周长，若无，说明理由.