2025-2026学年北京市昌平区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年北京市昌平区八年级（下）期末数学试卷，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.我国古代数学蕴含了许多有对称美的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 杨辉三角B. 割圆术示意图
C. 赵爽弦图D. 洛书
2.下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知函数（m是常数）的y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A. m≥0B. m＞3C. D. m＜3
4.一元二次方程2x2+x-1=0根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根
C. 无法确定D. 有两个不相等的实数根
5.小田在整理一组数据时，列式如下：，则下列结论不正确的是（ ）
A. 众数是5B. 方差是1.5C. n=5D. 离差平方和是6
6.我国古代园林连廊常采用八边形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中.如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外角的度数是（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
7.如图，在▱ABCD中，AC=10，BC=4，AD⊥BD，则AB的长为（ ）
A.
B.
C. 8
D.
8.甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程y（米）与所用的时间x（分）的函数关系如图所示.给出下面四个结论：
①比赛全程1500米；
②2分钟时，甲、乙相距200米；
③乙到达终点时，甲距离终点还有150米；
④3分40秒时，乙追上甲.
上述结论中，所有正确选项的序号是（ ）
A. ②③④B. ①③C. ①②④D. ①③④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.已知点A（1，2），点B与点A关于x轴对称，则点B的坐标是 .
10.一次函数y=kx+2（k≠0）的图象经过一、二、四象限，则k 0（填“＞”或“＜”）.
11.为了解某校初二年级200名女生的跳绳情况，从中随机抽取40名学生进行调查，体育委员统计了60秒跳绳的次数，列出如下频数分布表：
根据以上数据，估计全年级女生跳绳次数在140≤x＜180范围的学生的人数共 .
12.一元二次方程x2-2x=0的解是 ．
13.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是 .
14.已知点A（-1，y1）和B（2，y2）是一次函数y=3x-2的图象上的两点，则y1 y2（填“＞”或“＜”）.
15.设x1，x2是关于x的方程x2-6x+k=0的两个根，且x1=2x2，则k的值为 .
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），，四边形ABCD为正方形，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°），得到正方形AB′C′D′.给出下面四个结论：
①当α=45°时，点C′的纵坐标是10；
②点C′与原点距离的最小值是6；
③若点D′在y轴正半轴上，则点C′的横坐标是6；
④若直线y=x将正方形AB′C′D′分为面积相等的两部分，则点B′的纵坐标是2.
上述结论中，所有正确的结论的序号是 .
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：
（1）x2-6x-1=0（配方法）；
（2）2x2+x-1=0.
四、解答题：本题共11小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，△ABC中三个顶点的坐标为A（3，4），B（1，1），C（0，3）.
（1）请画出与△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1（A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）；
（2）将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°得到的图形为△A2B2C2（A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2），请画出△A2B2C2，并写出C2的坐标.
19.(本小题6分)
已知函数y=2x-4，解决下列问题：
（1）画出此函数的图象；
（2）根据图象直接写出当0＜x＜2时，y的取值范围.
20.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）已知AF=12，EM=5，求AN的长．
21.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数y=-2x的图象平移得到，且经过点A（-1，1），与过点（0，5）且平行于x轴的直线交于点B.
（1）求这个一次函数的解析式及点B的坐标；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围.
22.(本小题4分)
【课本再现】下面是直角三角形关于斜边中线的一个性质定理及证明此定理的两种添加辅助线的方法：
请你选择其中一种证法，继续完成证明过程.
23.(本小题4分)
某区成功举办公路自行车骑行赛事，2024年该赛事约有2000人参赛，2026年参赛人数达到约2420人，若这两年参赛人数的年平均增长率保持一致，求参赛人数的年平均增长率.
24.(本小题5分)
某数学小组在主题为折纸中的数学活动课上，进行了如下的实践操作：
如图①，一张矩形纸片ABCD.
（1）【实践操作1】
步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为HF；
步骤二：然后左右对折，折痕为GE；
步骤三：将原纸片展开还原后，连接EF，FG，GH，HE.
如图②所示得到四边形EFGH.
【实践探索1】
①四边形EFGH的形状为______；
②判定四边形EFGH的形状的依据是______.
（2）【实践操作2】
步骤一：将矩形纸片ABCD先沿对角线AC对折；
步骤二：再将纸片折叠使点A与点C重合得折痕EF；
步骤三：将原纸片展开还原后，连接AE，CF.
如图③所示，得到四边形AECF.
【实践探索2】判断四边形AECF的形状，并加以证明.
25.(本小题6分)
数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究.下面是他们的探究过程，请按要求补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是______；
（2）下列表格是y与x几组对应值：
直接写出m的值______；
（3）在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）；
（4）结合函数图象，发现函数的下列特征：
①该函数当x＞1时，y随x的增大而______（填增大或减小）；
②若函数与一次函数y2=kx+b相交于点A（0，-5），B（2，-1），结合函数图象直接写出使不等式y1＜y2成立的x的取值范围.
26.(本小题6分)
某校图书馆为了解八年级学生的阅读习惯，以便优化图书采购与阅读推广策略，随机抽取八年级40名学生，调查他们本学年（9月至次年6月）的课外书籍借阅数量.将借阅数量（单位：本）分为5个区间，具体分组如表1：
表1
整理数据如下：
a.借阅数量频数分布表如表2：
表2
b.借阅数量频数分布直方图如图.
（1）填空：m=______；n=______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）抽取的40名学生的中位数Q2落在区间______内；上四分位数Q3落在区间______内；（填写A、B、C、D、E中的字母）
（4）若规定学年借阅数量在10本以上（包括10本）为“阅读活跃者”，学校计划对“阅读活跃者”进行表彰.如果八年级共有500名学生，请估算八年级“阅读活跃者”大约有多少人？
27.(本小题7分)
已知菱形ABCD，对角线AC与BD交于点O，∠ABC=α（60°＜α＜120°），将线段AB绕点A逆时针旋转120°-α得到线段AP，连接PD，PC.
（1）当α=90°时，判断△PAD的形状，△PAD是______三角形；
（2）猜想∠PCA的度数：∠PCA=______°，并证明；
（3）直接用等式表示线段PC，OB，OC之间的数量关系.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点坐标A（1，1），B（1，-1），C（-1，-1），D（-1，1），对于平面内点P和点Q，给出如下定义：将点P绕着点Q旋转90°得到的对应点P′恰好在正方形ABCD上，称点P为正方形ABCD的“创新点”.
（1）已知点Q的坐标为（0，2）.
①如图1，在点P1（2，1），P2（2，2），P3（-1，2）中，正方形ABCD的“创新点”是______；
②如图2，若直线y=-x+b上存在点P，使点P为正方形ABCD的“创新点”，直接写出b的取值范围；
（2）如图3，点Q（t,0），直线l：.若直线l上存在点P，使点P为正方形ABCD的“创新点”，直接写出t的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】（1，-2）
10.【答案】＜
11.【答案】140人
12.【答案】x1=0，x2=2
13.【答案】20
14.【答案】＜
15.【答案】8
16.【答案】②④
17.【答案】x1=3+，x2=3-
x1=-1，x2=
18.【答案】如图，△A1B1C1即为所求；
如图，△A2B2C2即为所求，C2的坐标（3，0）
19.【答案】如图所示：
当0＜x＜2时，y的取值范围为-4＜y＜0
20.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴DN∥BM，
∴四边形BMDN是平行四边形；
（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，
∴DM=BN，
∵▱ABCD，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴CM=AN，∠MCE=∠NAF，
在△CEM和△AFN中
∴△CEM≌△AFN（AAS），
∴EM=FN=5，
在Rt△AFN中，AN===13．
21.【答案】一次函数的解析式为y=-2x-1，点B坐标为（-3，5）
n≥-4
22.【答案】具体过程看解析；
23.【答案】参赛人数的年平均增长率为10%．
24.【答案】菱形;对角线互相垂直平分的四边形是菱形
平行四边形AECF是菱形，
证明：如图③，AC与EF的交点记作点O，

由折叠可得：EF⊥AC，OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠ECO=∠FAO，
∵∠EOC=FOA，
∴△EOC≌△FOA（ASA），
∴OE=OF，
∵OE=OF，OC=OA，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形
25.【答案】x≠1
1
①减小；②0＜x＜1或x＞2
26.【答案】10;0.35
补全频数分布直方图如图所示：
C;D
估算八年级“阅读活跃者”大约有300人
27.【答案】等边
∠PCA=30°，
证明：∵菱形ABCD，
∴AD∥BC，
∵∠ABC=α，
∴∠DAB=180°-α，
∵∠BAP=120°-α，
∴∠PAD=60°，
∵PA=PD，
∴△APD为等边三角形，
∵∠ADC=∠ABC=α，
∴∠PDC=α-60°，
∵DP=DC，
∴，
∵∠DCB=∠DAB=180°-α，
∴，
∴∠PCA=∠DCP-∠DCA=30°；故答案为：30
PC+OB=OC
28.【答案】①P1、P3；②-2≤b≤2
-11≤t≤-5或≤t≤ 次数
100≤x＜120
120≤x＜140
140≤x＜160
160≤x＜180
180≤x＜200
频数
3
4
8
20
5
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，连接CD.
求证：.
方法一：如图2，延长CD到点E，使DE=CD，连接AE，BE.
方法二：如图3，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，DF⊥BC，交BC于点F.
x
…
-3
-2
-1
0
2
3
4
5
…
y
…
-4
-5
-7
m
-1
-2
…
组别
借阅数量x（本）
A
0≤x＜5
B
5≤x＜10
C
10≤x＜15
D
15≤x＜20
E
20≤x≤25
借阅数量x（本）
频数
频率
0≤x＜5
6
0.15
5≤x＜10
m
0.25
10≤x＜15
14
n
15≤x＜20
8
0.20
20≤x≤25
2
0.05
合计
40
1