2025-2026学年广东省深圳大学附属中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省深圳大学附属中学高一（下）期末数学试卷，共33页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.数据85、86、87、87、88、89、90、91、91的下四分位数为（ ）
A. 86B. 86.5C. 87D. 90.5
2.直线l1经过A（0，0），B（，1）两点，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为（ ）
A. B. C. 1D.
3.已知空间中A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），D（1，-1，λ）四点共面，则λ=（ ）
A. -2B. C. 1D.
4.已知两条不同的直线a,b,两个不同的平面α，β，下列说法正确的是（ ）
A. 若a⊥α，b⊥a,则b∥αB. 若a∥α，b⊥a,则b⊥α
C. 若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bD. 若a⊥α，b⊥β，a⊥b,则α⊥β
5.设数m、n为连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数，则两数之和小于等于4的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，CC1的中点，若AA1∩平面D1EF=G，，则λ=（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,满足c+bcsA=0，且，则A=（ ）
A. B. C. D.
8.已知，，则（x∈R）的最小值为（ ）
A. B. C. D. 无最小值
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A. z的虚部是iB. z的共轭复数是1-i
C. z在复平面内对应的点在第一象限D. |z4|=|z|4
10.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,a=3，，acsB=（2c-b）csA+2acsC，则（ ）
A. 2b=cB. 2B=C
C. D. AD的范围为（0，4]
11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，顶点A1，B，C到α的距离分别为，1，2，则（ ）
A. BD∥平面α
B. 平面A1AC⊥平面α
C. 直线AB1与α所成角比直线AA1与α所成角大
D. 正方体的棱长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，则与的夹角大小为 .
13.某企业到A大学招聘，小张，小李和小王3位毕业生前去应聘.若小张，小李签约的概率都是，小王签约的概率是人签约事件相互独立，那么3人中至少有1人签约该企业的概率是 .
14.某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示.已知，，路宽AD=24米.设，当θ= 时才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某中学组织了一次文学常识知识竞赛（满分：100分），并从参赛学生中随机抽取100名学生的成绩并进行整理，按[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计这100名学生这次文学常识知识竞赛成绩的众数和平均数；
（3）现从被抽取的竞赛成绩在[50，70）内的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作发言，求抽取的2人恰好在同一组的概率.
16.(本小题15分)
中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.在如图所示的“曲池”中，AA1⊥平面A1B1C1D1，延长A1D1，B1C1相交于点O1，D1O1=A1D1=1，，E为弧A1B1的中点.
（1）证明：A1D1⊥DE；
（2）若AA1=4AD，求直线CE与平面DEB1所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
设Ox、Oy是平面内相交成α（0＜α＜π）的两条射线，、分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为xOy（α）仿射坐标系，在xOy（α）仿射坐标系中，若，则记.
（1）在仿射坐标系中，若，求；
（2）在xOy（α）仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求csα.
18.(本小题17分)
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,满足：b=c-2bcsA.
（1）证明：A=2B；
（2）若的面积为，求a,b；
（3）已知，证明：△ABC是锐角三角形.
19.(本小题17分)
如图，在三棱锥D-ABC中，，|AC|=7，|BC|=|CD|=5.
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）在线段CD上是否存在一点E，使得二面角E-AB-C的正切值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）已知点P为线段CD上另一动点，过点P且与CD垂直的平面α将三棱锥D-ABC分成左右两部分，设DP=t,当t为何值时，右侧部分的几何体的体积为？
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】BCD
10.【答案】AC
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】a=0.015 85；78
16.【答案】解：（1）证明：连接D1E，O1E，因为E为弧A1B1的中点，
则，△A1O1E为正三角形，于是A1D1⊥D1E，
因为AA1⊥平面A1B1C1D1，DD1∥AA1，则有DD1⊥平面A1B1C1D1，
又A1D1⊂平面A1B1C1D1，于是A1D1⊥DD1，而D1E∩DD1=D1，
D1E，DD1⊂平面DD1E，因此A1D1⊥平面DD1E，又DE⊂平面DD1E，
所以A1D1⊥DE．
（2）以D1为坐标原点，D1O1所在直线为x轴，D1E所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系D1-xyz,
则，，D（0，0，-4），，
则，，，
设平面DEB1的法向量为，则，
令，得，
则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为：
|cs＜，＞|==．
17.【答案】

18.【答案】由正弦定理可得sinB=sinC-2sinBcsA．
又C=π-A-B，sinC=sin（A+B）=sinAcsB+csAsinB，代入整理得sinB=sin（A-B）
因为A，B∈（0，π），所以B=A-B或B+（A-B）=π
若B+A-B=π得A=π，不符合三角形内角和，舍去；故B=A-B，即A=2B
由A=2B，得C=π-A-B=π-3B．
由正弦定理
已知，故，又0＜2B＜π，得，即
因为，
因此△ABC三个内角均为锐角，是锐角三角形
19.【答案】在△ACD中，cs，所以∠CAD=45°．
过点D作DO⊥AC于点O，连接BO，
则|DO|=|AD|•sin45°=3，
因为|AD|=|AD|，|BC|=|CD|，AC为公共边，所以△ABC≌△ADC，
所以|BO|=|OD|=3，且BO⊥AC，
又，所以|OB|2+|OD|2=|BD|2，所以OD⊥OB，
因为OB，AC⊂平面ABC，OB∩AC=O，所以OD⊥平面ABC，
又因为OD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABC 1