2025-2026学年广东省广州大学附属中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省广州大学附属中学高一（下）期末数学试卷，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|-1＜x≤1}，B={x|0＜x＜2}，则A∪B=（ ）
A. {x|0＜x≤1}B. {x|-1＜x＜2}C. {x|0＜x＜1}D. {x|-1＜x＜0}
2.已知甲、乙两人投篮命中的概率分别为0.4和0.8，且事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为（ ）
A. 0.88B. 0.48C. 0.32D. 0.12
3.已知，则sin2α+2sin2α的值为（ ）
A. B. C. D.
4.已知正三棱台ABC-A1B1C1，AB=3A1B1=9，侧棱A1A=4，则正三棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
5.已知四边形ABCD为平行四边形，，F为AC与DE的交点，则=（ ）
A. B. C. D.
6.记a,b,c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且，，则△ABC的形状为（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或直角三角形
7.已知f（x）的定义域为R，f（x）的图象关于点（1，2）对称，g（x）=f（x-2）+3x,且g（x）的图象关于点（1，0）对称，则g（19）=（ ）
A. 99B. 78C. 66D. 52
8.已知是函数的一个零点，当时，f（x）＜0，则方程2|f（x）|=1-f（x）在区间（0，3π）内所有根的和为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z=（m2-m-2）+（m2-1）i,其中m∈R，i是虚数单位，则（ ）
A. 当m=-1时，z为纯虚数B. 当m=1时，z∈R
C. 当m=2时，D. 当m=-2时，
10.下列说法正确的是（ ）
A. 在△ABC中，为AC的中点，则
B. 在△ABC中，若，则△ABC是等腰三角形
C. 已知，若与的夹角是钝角，则k＜3
D. 在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，且BE=2EC，点F是CD中点，则
11.在矩形ABCD中，AB=1，，将△ABD沿BD折叠至△A1BD，得到三棱锥A1-BCD，设球O为三棱锥A1-BCD的外接球，则下列说法正确的是（ ）
A. 若平面A1BD⊥平面BCD，则三棱锥A1-BCD的体积为
B. 球O的半径为1
C. 若A1C与BD的夹角的正切值为，则二面角A1-BD-C的大小为120°
D. 设E，F分别为A1D，BC的中点，则直线EF被球O所截长度的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量=（1，2），=（3，-1），则向量在方向上的投影的坐标是 .
13.已知a＞1，b＞1，且ab=a+b+3，则4a+b的最小值为 .
14.已知复数w1，w2满足，记满足|z-wi|∈[1，3]（i=1，2）的复数z组成的集合为A.若z1∈A且z2∈A，则|z1-z2|的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=3，M为AB的中点.
（1）求证：C1B∥平面A1CM；
（2）求异面直线A1M与BC1所成角的余弦值.
16.(本小题15分)
学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数xi（i=1，2，⋯，50）全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：[45，55），[55，65），…，[85，95]，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.
（1）求m的值；
（2）估计此次数学测试分数的平均数与中位数；（保留一位小数）
（3）若采用分层随机抽样的方法，从分数在[65，85）内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在[75，85）内的概率.
17.(本小题15分)
设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角A；
（2）若b=2，求△ABC的面积S的取值范围；
（3）若△ABC的外接圆半径为，求△ABC内切圆半径的最大值.
18.(本小题15分)
如图，在五棱锥S-ABCDE中，平面SAE⊥平面AED，AE⊥ED，SE⊥AD.四边形ABCD为矩形，且SE=AB=1，AD=3，.
（1）证明：SE⊥平面AED；
（2）若，求二面角E-SA-D的余弦值；
（3）求直线DN与平面SAD所成角的正弦值的最小值.
19.(本小题17分)
对于一组向量、、、…、（n∈N且n≥3），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”.
（1）设，n∈N且n＞0，若是向量组、、的“长向量”，求实数x的取值范围；
（2）若，n∈N且n＞0，向量组、、、…、是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知、、均是向量组、、的“长向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列P1、P2、P3、…、Pn，满足P1为坐标原点，P2为的位置向量的终点，且P2k+1与P2k关于点P1对称，P2k+2与P2k+1（k∈N且k＞0）关于点P2对称，求的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】BD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】13
14.【答案】[0，4]
15.【答案】证明见解析；
．
16.【答案】0.024； 平均数为75；中位数约为76.7； ．
17.【答案】；
；
．
18.【答案】（1）证明：平面SAE⊥平面AED，交线为AE，
又AE⊥ED，DE⊂平面AED，所以DE⊥平面SAE，
又SE⊂平面SAE，所以DE⊥SE，
因为SE⊥AD，AD∩DE=D，AD，DE⊂平面AED，
故SE⊥平面AED；
（2）解：，AE⊥ED，AD=3，
由勾股定理得，
又SE⊥平面AED，AE⊂平面AED，所以SE⊥AE，
因为SE=1，，
由勾股定理得，
过点E作ET⊥SA于点T，
则，故，
过点T作TG⊥SA，交AD于点G，连接EG，
故∠ETG即为二面角E-SA-D的平面角，
由勾股定理得，又AD=3，
由余弦定理得，故，
在Rt△ATG中，，即，解得，故，
在Rt△AED中，，
由余弦定理得EG2=AE2+AG2-2AE•AGcs∠EAD=3+9-2××3×=6，故，
在△ETG中，由余弦定理得，
故二面角E-SA-D的余弦值为；
（3）解：连接AN，因为，BC=3，所以CN=1，
又CD=1，DC⊥CB，由勾股定理得，
设点N到平面SAD的距离为h,直线DN与平面SAD所成角大小为θ，
则，要想直线DN与平面SAD所成角的正弦值的最小，则h最小即可，
，由（1）得SE⊥平面AED，
故，设AE=m,
则，，
故，
在△SAD中，由余弦定理得=，
故，
则，
因为，所以，
故=，
当时，h取得最小值，最小值为，
故直线DN与平面SAD所成角的正弦值的最小值为．
19.【答案】[-4，0]；
存在“长向量”，且“长向量”为、，理由如下：
由题意可得，
若存在“长向量”，只需使，
又，

=，
即，即，
当p=2或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为、；
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