广东省深圳大学附属实验中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

这是一份广东省深圳大学附属实验中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
2．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．三个数，，的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数则方程有四个实根的充要条件为（ ）
A．B．C．D．
8．中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（ ）（附：）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知，，若，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为1
C．的最小值为8D．的最小值为
10．下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增
D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
12．已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．当时，
C．
D．对定义域内的任意两个不相等的实数，，恒成立
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若命题：，，则命题的否定是________．
14．已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式________．
15．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．
16．设函数是定义域为的奇函数，且，都有．当时，，则函数在区间上有________个零点．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）化简求值
（1）；
（2）．
18．（12分）已知集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19．（12分）已知函数．
（1）若关于的不等式解集为，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
20．（12分）进口博览会是一个展示各国商品和服务的盛会，也是一个促进全球贸易和交流的重要平台．某汽车生产企业想利用2023年上海进口博览会这个平台，计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产（百辆），需投入流动成本（万元），且，其中．由市场调研知道，每辆车售价25万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
（总利润＝总销售收入－固定成本－流动成本）
21．（12分）已知函数，．
（1）求函数的最小正周期、单调递增区间和对称轴方程；
（2）解关于的不等式；
（3）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的值域．
22．（12分）若函数为定义在上的奇函数．
（1）求实数的值，并证明函数的单调性；
（2）若存在实数使得不等式能成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．A
【分析】根据同角三角函数基本关系进行判断即可．
【详解】充分性：若，则，故充分性成立；
必要性：若，则，故必要性不成立；
故“”是“”的充分不必要条件．故选：A．
2．A
【分析】结合奇函数的图象性质及特殊函数值判断即可．
【详解】解：由，得函数为奇函数，排除B项，
由，得，则排除C、D两项．故选：A．
3．B
【分析】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解．
【详解】，故选：B．
4．D
【分析】利用函数定义域求法解不等式可求得集合，，再利用交集运算法则可得结果．
【详解】根据题意可知，即，解得或，即或；易知，解得或，即或；可得或，因此．故选：D．
5．A
【分析】结合同角三角函数及诱导公式即可求解．
【详解】由，，得，
则，故．故选：A．
6．A
【分析】根据题意，由，，，即可得到结果．
【详解】由三个数，，，
可知其大小关系为．故选：A．
7．D
【分析】由题意求分段函数的极值，作出函数简图，进而求解．
【详解】
当时，，当且仅当，即时，等号成立；
当时，，则的图象如图所示，
要使方程有四个实根，需满足．故选：D．
8．C
【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和5000时的比值即可求解．
【详解】解：依题意得，当时，，
当时，，
，
的增长率约为．故选：C．
9．ACD
【分析】AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值．
【详解】对于A，由，即，
当且仅当，且，即，时，取等号，所以A正确；
对于B，因为，
当且仅当时，取到最小值，所以B错误；
对于C，因为，，所以，
当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确；
对于D，，当且仅当，且，即，时，取等号，所以D正确．故选：ACD．
10．BCD
【分析】逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式、两角和的正弦公式进行求解即可．
【详解】A：因为，所以本选项不正确；
B：因为，所以本选项正确；
C：因为，所以本选项正确；
D：因为，所以本选项正确，故选：BCD．
11．ABC
【分析】借助图象周期求出、再由定点结合范围求出，得出解析式后结合正弦型函数性质可得A、B、C，结合函数图象的平移可得D．
【详解】由题意可得，故，
则，，
即，解得
又，即，故A正确；
即，当时，有，故的图象关于点对称，故B正确；
当时，，故C正确：
将函数的图象向由右平移个单位得到，故D错误．
故选：ABC．
12．ACD
【分析】根据可判断选项A；
根据的单调性，判断的单调性可判断选项B；
根据的奇偶性可判断选项C；
由复合函数单调性和奇偶性可判断选项D．
【详解】对于A，由，得，即恒成立，故A正确；
对于B，令，
易知在单调递减，且，
则在单调递减，且，故B错误；
对于C，令，则，
，
为上的奇函数，，
，故C正确；
对于D，由B选项知，在单调递减，且，
在单调递减，且，
为上的奇函数，在单调递减，且，
又，在上单调递减，在上单调递减，
对定义域内的任意两个不相等的实数，，恒成立，故D正确．故选：ACD．
13．，
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接求解即可．
【详解】由题意，根据全称量词命题的否定的定义有，命题的否定是：，．
故答案为：，．
14．
【分析】根据奇函数满足求解即可．
【详解】依题意，当时，，
故在区间上的解析式．
故答案为：．
15．
【分析】利用一次函数和对数函数及分段函数单调性解决即可．
【详解】因为函数在上单调递增，
所以当时，一次函数是增函数，得出，即；
当时，对数函数是增函数，得出；
又因为，解得；
又因为，解得；取交集得；
故答案为：．
16．6
【分析】由函数是定义域为的奇函数，
结合的条件可得函数的一个周期为4，
根据函数的单调性与零点存在性定理可得零点个数．
【详解】如图，因为函数是定义域为的奇函数，
所以，且．
又，即，
所以函数的图象关于直线对称，
且，所以，
所以4是函数的一个周期，所以．
易知函数在上单调递增，
且，，
所以函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上．
由对称性，知函数在区间上有且仅有1个零点．
因为是定义域为的奇函数且是4是它的一个周期，所以，
所以函数的图象关于点中心对称，所以函数在区间上有且仅有2个零点．
因为函数在区间上没有零点，所以函数在区间上没有零点．
结合，得函数在区间上有6个零点．故答案为：6．
17．（1）29（2）1
【分析】（1）利用指数的运算法则计算即可；
（2）利用对数的运算法则计算即可．
【详解】（1）原式；
（2）原式．
18．（1）或
（2）或
【分析】（1）解不等式得出，代入得出，进而根据并集的运算求解，即可得出答案；
（2）根据已知可推得，以及，根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可得出答案．
【详解】（1）解可得，或，
所以，或．当时，，所以或．
（2）由“”是“”的必要不充分条件，所以，．
又或，．
当，有，即，显然满足；
当时，有，即．
要使，则有或，解得或．
综上所述，或．
19．（1）（2）答案见解析
【分析】（1）转化为一元二次不等式恒成立问题，令解出即可；
（2）由判别式确定的范围，分类再解不等式即可．
【详解】（1）由题意，可得，；
（2）①当时，即时，原不等式的解集为；
②当时，即或时，当时，，原不等式的解集为，当时，，原不等式的解集为；
③时，即或时，，解得或，原不等式的解集为．
20．（1）
（2）当年产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为3250万元
【分析】（1）根据总利润＝总销售收入－固定成本－流动成本，代入相关数据运算化简即可．
（2）当时，利用一元二次函数知识，在对称轴处取得最值；
当时，利用基本不等式知识，通过变形得，再求最值即可．然后通过比较得到利润最大值．
【详解】（1）当时，．
当时，．
综上，
（2）当时，，
当时，万元．
当时，，
当且仅当时，等号成立．，
所以当年产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为3250万元．
21．（1），单调递增区间为，；对称轴，
（2），
（3）
【分析】（1）应用两角和的正弦公式及二倍角公式化简得，应用整体代入法即可求解单调区间与对称轴；
（2）结合函数图像解不等式；
（3）应用换元法求值域；
【详解】
（1）
函数的最小正周期．
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，．
令，，解得，，
所以的对称轴方程为，．
（2）即，，
所以，，解得，．
（3）由题知，
则，
令，则，
当时，；当时，．
综上可知所求值域为．
22．（1），证明见解析
（2）
【分析】（1）由求得的值，运用函数单调性的定义证明即可．
（2）由在上的奇函数可得，
由在上单调递增可得，成立，
进而可得，成立，
令，运用换元法将问题转化为，，
进而求在上的最小值即可．
【详解】（1）因为函数为定义在上的奇函数，所以，解得，经检验符合题意，所以，
证明：任取，，且，
则，
因为，所以，所以，，，
所以，即，所以函数在上单调递增．
（2）因为，在上的奇函数，
所以，
由（1）知函数在上单调递增，所以，成立，
即，成立，
设，则，所以，，
所以，，
设，，则在上单调递增，在上单调递减，
又，，所以，所以．