陕西省西安市蓝田县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安市蓝田县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，把一个三角形纸板的一边紧靠数轴平移，点P在三角形纸板的一边上，则点P到的距离为（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ）
A．B．
C．D．
4．不等式的正整数解的个数是（ ）
A．5B．6C．3D．4
5．如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点C），跷跷板的一头A着地时，点A、C、在同一水平线上，，若，则的长度为（ ）

A．B．C．D．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图是某公园一段索道的示意图，已知A、B分别为索道的起点和终点，且A、B两点间的距离为40米，，则缆车从A点到B点的过程（的长）为（ ）
A．20米B．17.5米C．15米D．12.5米
8．如图，在等边中，，D是的中点，连接，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段的长为（ ）
A．B．4C．D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．与的公因式是 ．
10．如图，一个水平放置的半圆，直径为，向上平移，得到半圆，点、的对应点分别是点、，则四边形的周长为 cm．
11．小明家距离学校1600米．一天中午，小明从家里出发时，离规定到校时间只剩15分钟，他必须加快速度．已知他每分钟走70米，若跑步每分钟可跑180米．为了不迟到，则列出的不等式为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线，（k，b是常数）经过点，则关于x的不等式的解集为 ．
13．如图，，点为的平分线上的一个定点，其两边分别与、相交于、两点，且与互补，则以下结论：①；②；③的周长保持不变；其中所有正确的结论是 (填序号)．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
15．解不等式组并将解集在数轴上表示出来．
16．已知，请比较下列各式的大小，并说明理由．
(1)与；
(2)与．
17．如图，和是两条互相垂直的公路，是两个村庄，使到两条公路的距离相等，且点到两个村庄的距离相等，请运用尺规作出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
18．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为，，．
（1）在图中画出将向右平移7个单位长度得到的；
（2）在图中画出将绕原点O逆时针方向旋转90°得到的，并直接写出点A的对应点的坐标．
19．如图，已知与，连接，且，求证：．
20．如图所示，四边形中，，连接交的延长线于E点，请证明：与关于点F中心对称．
21．如图，已知一次函数y＝kx+k+1的图象与一次函数y＝﹣x+4的图象交于点A（1，a）．
（1）求a、k的值；
（2）根据图象，写出不等式﹣x+4＞kx+k+1的解；
（3）结合图形，当x＞2时，求一次函数y＝﹣x+4函数值y的取值范围；
22．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在边的延长线上，求证：．
．
23．某大型超市从生产基地购进一批蔬菜，销售过程中估计有10%的蔬菜正常损耗，蔬菜的进价是每千克元，商家要避免亏本，需要把售价至少定为多少元/千克？
24．如图，已知是的高，E为上一点，交于点F，且，求的度数．
25．原价为每千克10元的优质水果，若批发购买量在2000千克以上，则有两种优惠方案可以选择：
第一种方案：按原价的8折出售，商家负责送货上门．
第二种方案：按原价的7折出售，但需要自己租车运回，租车的费用为4000元．
(1)分别写出两种方案的所需总费用y（元）与购买水果质量（千克）之间的函数关系式；
(2)根据购买量判断哪种方案更加合算．
26．【背景呈现】
如图，点O是等边内的一点，连接，有，将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到，连接．
【问题发现】（1）由题意可知，的形状为 ；
【初步探究】（2）试判断与的位置关系，并说明理由；
【深入拓展】（3）若，求的长．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转所得的图形能与原图形重合，则该图形为中心对称图形，掌握其定义即可解题．
【解答】解：B项图形绕其中心旋转能与原图形重合，所以B项图形是中心对称图形，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了平移的性质和数轴上两点的距离，利用平移前后对应点所连的线段相等是解题的关键．根据平移的性质'即为数轴上对应两点平移的距离,按此计算即得答案．
【解答】解：，
即点P平移的距离为5．
故选A．
3．C
【分析】此题考查了因式分解的辨别能力，关键是能准确理解并运用因式分解的定义．
运用因式分解的定义：“把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式”进行逐一辨别、求解．
【解答】解：由因式分解的定义可得，
，和由左边到右边的变形不是因式分解，
由左边到右边的变形是因式分解，
选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查的是求解一元一次不等式的整数解，先解不等式得到不等式的解集，再确定整数解即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
则不等式的正整数解有1、2、3、4、5、6这6个，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键，首先根据等角对等边得到，然后求出，进而求解即可．
【解答】解：∵
∴
∴
∴．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：
解①得：，
解②得：，
则不等式组的解集为，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，由含角的直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵，
∴，
∵米，，
∴（米），
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理．应用旋转的性质与等边三角形的性质是解题的关键．先由等边三角形的性质得出，利用勾股定理求出．再根据旋转的性质得出，，那么是等边三角形，从而得到DE的长．
【解答】解：∵在等边中，，D是的中点，
∴，，
∴．
∵将绕点A旋转后得到，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故选：D．
9．
【分析】此题考查了公因式的确定能力，运用公因式的定义和提公因式法因式分解进行求解，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．
【解答】解：∵，，
∴与的公因式是，
故答案为：．
10．20
【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质得，再根据，即可求出答案．
【解答】解：由于，，
所以四边形的周长为．
故答案为：20．
11．
【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，找到不等关系列出不等式．设要跑x分钟，根据小明家距离学校1600米可得：．
【解答】解：设要跑x分钟，
根据题意得：，
故答案为：．
12．##
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意，可知当时，，然后再观察函数图象，即可写出不等式的解集．
【解答】解：由图象可得，
关于x的不等式的解集为．
故答案为：．
13．①②##②①
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，想到过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明，，即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，垂足为，
，，
，
，
与互补，
，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，；
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，故②正确；
，，
是等边三角形，
的长度是变化的，
的周长是变化的，故③错误；
所以，说法正确的是：①②，
故答案为：①②．
14．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解﹣提公因式法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
（1）利用提公因式法进行分解即可解答；
（2）利用提公因式法进行分解即可解答．
【解答】（1）
（2）
15．，数轴见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示出来即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【解答】解：
由①得，，
由②得，，
∴，
数轴表示如下：
16．(1)，见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查的是不等式的基本性质，熟知①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
（1）根据不等式的基本性质解答即可．
（2）根据不等式的基本性质解答即可．
【解答】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
17．作图见解析
【分析】本题考查了作图—应用与设计作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，分别作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质可知，点即为所求，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【解答】解：如图所示，点即为所求．
18．（1）画图见解析，（2）画图见解析，（-6，-4）．
【分析】（1）画出向右平移7个单位长度对应顶点，顺次连接即可；
（2）画出绕原点O逆时针方向旋转90°得到对应顶点，顺次连接即可；根据点的位置写出坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示，是所求画三角形；
（2）如图所示，是所求画三角形；的坐标为（-6，-4）．
【点拨】本题考查了利用平移和旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
19．见解析
【分析】此题重点考查“等角对等边”、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键．由，得，而，即可根据“”证明，得，则．
【解答】证明：∵，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．见解析
【分析】本题主要考查了中心对称以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判断方法是解答本题的关键．
由可得，再根据对顶角相等可得，又，根据“”可得，进而得出，从而得出与关于点F中心对称．
【解答】证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴与关于点F中心对称．
21．（1）a＝﹣3，k＝1；（2）x＜1；（3）当x＞2时，y＜2．
【分析】（1）把A（1，a）代入y＝﹣x+4求得a的值，再把将A（1，3）代入y＝kx+k+1即可求得k的值；
（2）观察函数图象即可解答；
（3）当x＝2时，y＝2，观察图象，x＞2时，图象在x＝2的右侧，在y＝2的下面，即可解答．
【解答】（1）把A（1，a）代入y＝﹣x+4得a＝﹣1+4＝3，
将A（1，3）代入y＝kx+k+1得k+k+1＝3，解得k＝1；
（2）根据图象可得：不等式﹣x+4＞kx+k+1的解集为x＜1；
（3）当x＝2时，y＝﹣x+4＝﹣2+4＝2，
所以当x＞2时，y＜2．
【点拨】本题考查的是一次函数与不等式的解集，掌握利用函数图象求不等式解集的方法是关键．
22．见解析
【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，由旋转的性质得，；由B，C，E三点在同一直线上可得，从而可证明为等边三角形，得，再证明，根据“内错角相等，两直线平行”可得结论．
【解答】证明：∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，．
∵B，C，E三点在同一直线上，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
∴，
∴．
23．需要把售价至少定为3元/千克
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设售价定为x元/千克，该大型超市从生产基地购进a千克蔬菜，利用总利润＝售价×销售数量进价×购进数量，结合商家要避免亏本（总利润不小于0），可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：设售价定为x元/千克，该大型超市从生产基地购进a千克蔬菜，
根据题意得：，
即，
解得：，
∴x的最小值为3．
答：需要把售价至少定为3元/千克．
24．
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，能够灵活运用其性质是解题的关键．根据证明得，推出是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
【解答】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
25．(1)第一种方案：；第二种方案：
(2)见解析
【分析】此题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出关系式．
（1）根据优惠方案列出函数解析式即可；
（2）分三种情况求解即可．
【解答】（1）第一种方案：按原价的8折出售，商家负责送货上门，
根据题意得：；
第二种方案：按原价的5折出售，但需要自己租车运回，
根据题意得：；
（2）根据题意可得：当时，
，
当购买4000千克时两种购买方案付款相同，
∵当时，，
∴当大于4000千克时，第一种方案付款多，第二种方案付款少，
∵当时，，
∴当大于2000千克小于4000千克时，第一种方案付款少，第二种方案付款多．
26．（1）等边三角形；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）根据旋转的性质即可求得是等边三角形；
（2）根据旋转的性质求得，计算可得，即可得到；
（3）证明，得到，利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）解：∵等边，
∴，
由旋转的性质得，，，
∴为等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2）解：，理由如下；
由（1）知为等边三角形，
∴，
由旋转的性质可知，，
∴，即；
（3）解：由旋转的性质得，，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴的长为．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含的直角三角形等知识，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含的直角三角形．