山东省东营市2025-2026学年八年级下学期6月期末 数学试题（含解析）

这是一份山东省东营市2025-2026学年八年级下学期6月期末 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 无理数的倒数是（ ）
A. B. C. D. 2
2. 下列各式中，一定能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
4. 如图，，若，，，则的长为（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 6
5. 已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为（ ）．
A. B. C. D.
7. 根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知三个点在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. 在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（ ）
A. B. C. 1D. 2
10. 如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC＝∠AED＝90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD＝BE；③MP·MD＝MA·ME；④2CB2＝CP·CM．其中正确的是 ( )
A. ①②B. ①②③C. ①②③④D. ①③④
二、填空题：本大题共8小题，其中11－14题每小题3分，15－18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．
11. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______．
12. 已知，则___________．
13. 关于x的一元二次方程的两根是、，若，则m= _____．
14. 已知，则______________．
15. 通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度（单位：）与距离（单位：）是反比例函数关系．其图象如图所示，若小秦同学在距离该通信信号塔处时，信号强度为______．
16. 如图，矩形的边在的边上，点在边上，点在边上，的面积是，的面积是，则的值为_____．
17. 如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为，，，若，则点的坐标为________．
18. 如图，直线交双曲线于点，过点作，交x轴于点；过点作，交双曲线于点，过点作，交x轴于点；……依次作下去，得到等腰直角三角形、、、……、，且点、、……都在双曲线的图象上，斜边、、、……、都在x轴上，则点的坐标为______．
三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19. 计算与解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足，求m的值．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式：
（2）点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标．
（3）当时，直接写出的取值范围；
22. 【阅读理解】
爱思考的小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，．
，即．
．
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：______；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
23. 某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元．
（1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）若该坚果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少元？
24. 项目学习项目背景：某数学兴趣小组在太原市湿地公园围绕“利用相似三角形测高”开展项目性综合实践活动，形成了如下活动报告．
请根据表中提供的信息，求围墙的高度．
25. 综合与探究
问题情境：
如图1，已知正方形外有一动点，是等腰直角三角形，，连接，，请探究，的位置关系．
问题解决：
（1）请直接写出，的位置关系 ．
（2）如图2，将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，其中，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
拓展探究：
（3）在（2）中，若，，，将绕点逆时针旋转，使，，三点在同一条直线上，请直接写出的长．
数学
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1. 无理数的倒数是（ ）
A. B. C. D. 2
答案：C
解析：
思路：直接利用倒数的定义分析和二次根式的化简即可得出答案；相乘为1的两个数即为倒数；
解答过程：解：无理数 的倒数是： ＝ ．
故选C．
方法提示：本题考查了二次根式的化简、倒数的定义，正确化简二次根式是解题的关键；
2. 下列各式中，一定能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：分别利用二次根式的性质化简判断即可．
解答过程：解：A. ，选项正确，符合题意；
B. ，选项错误，不符合题意；
C. ，选项错误，不符合题意；
D. 当时，原式，选项错误，不符合题意．
故选：A．
方法提示：本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．需注意二次根式的双重非负性，，．
3. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
答案：A
解析：
思路：本题考查一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的意义是解题的关键．能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将已知根代入方程即可求出m的值.
解答过程：解：∵关于的一元二次方程有一个根为1，
∴将代入方程得：，
即，
整理得：，
解得：，
故选：A．
4. 如图，，若，，，则的长为（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 6
答案：C
解析：
解答过程：解：∵，
∴，即，
解得．
5. 已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：分和两种情况，进行讨论，判断即可.
解答过程：解：当时，则，则双曲线过一、三象限，
∵，，则直线过一、二、四象限；
当时，则，则双曲线过二、四象限，
∵，，则直线过一、二、三象限；
观察可知，只有选项C的图象符合题意.
6. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为（ ）．
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键．
根据黄金分割点的定义，列出比例式，进行求解即可．
解答过程：解：由题意可知，，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
7. 根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用，，而，，则可判断方程，，，为常数）的一个解的范围是．
解答过程：解：，，
，，
时，，
即方程，，，为常数）的一个解的范围是．
故选：C．
方法提示：本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解．
8. 已知三个点在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由题意先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在象限，再根据题意即可得出结论．
解答过程：解：∵反比例函数中，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小；
∵，
∴，
故选：C．
方法提示：本题考查的是反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
9. 在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（ ）
A. B. C. 1D. 2
答案：C
解析：
思路：本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键．
过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解．
解答过程：解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，
直角三角板中，
，
轴，
，
直角三角板中，
，
，
又，
，
，
点B坐标为，
，，
，，
点A坐标为，
点A在反比例函数的图像上，
，
故选：C．
10. 如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC＝∠AED＝90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD＝BE；③MP·MD＝MA·ME；④2CB2＝CP·CM．其中正确的是 ( )
A. ①②B. ①②③C. ①②③④D. ①③④
答案：C
解析：
思路：①根据两个三角形的两角相等证明相似三角形；
②根据两个三角形的两边比值相等证明△BAE∽△CAD即可的CD与BE的比值；
③根据△BAE∽△CAD，得∠BEA=∠CDA，再根据△PME∽△AMD，
得MPMD=MAME；
④根据△PME∽△AMD ，得∠MPE=∠MAD=45°，再根据MPMD=MAME得△PMA∽△EMD，又因为∠APC=∠MAC=90°，∠ACP=∠MCA，所以△APC∽△MAC，则AC2=MCPC，再根据AC=BC，得2CB2=CPCM.
解答过程：①在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠CAB=∠EAD=45°，
所以∠CAM=90°，
又因为∠CMA=∠DME（对顶角），∠AED=∠CAM=90°，
所以△CAM∽△DEM，故①正确.
②在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠CAB=∠EAD=45°，AC=AB，AD=AE，
所以∠CAB+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，
又因为=，所以△BAE∽△CAD.
则CD=BE，故②正确.
③由②中△BAE∽△CAD，得∠BEA=∠CDA，
又因为∠BEA=∠AMD，所以△PME∽△AMD，
所以=，即MPMD=MAME，故③正确.
④，由③中△PME∽△AMD ，得∠MPE=∠MAD=45°，
因为MPMD=MAME，所以=，所以△PMA∽△EMD，
所以∠APM=∠DEM=90°，
因为∠APC=∠MAC=90°，∠ACP=∠MCA，
所以△APC∽△MAC，
所以=，即AC2=MCPC，
又因为AC=BC，
所以2CB2=CPCM，故④正确.
故答案选C.
方法提示：本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与运用.
二、填空题：本大题共8小题，其中11－14题每小题3分，15－18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．
11. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______．
答案：
解析：
思路：由反比例函数的图象位于第二、四象限得到，然后求解即可．
解答过程：解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
解得．
12. 已知，则___________．
答案：2
解析：
思路：先把运用完全平方公式展开，再结合，得出，算出，最后代入计算，即可作答．
解答过程：解：依题意，
∵
∴
解得
∴．
13. 关于x的一元二次方程的两根是、，若，则m= _____．
答案：
解析：
思路：先根据根与系数的关系得，，则，然后解方程即可．
解答过程：根据根与系数的关系得：，，
∴
解得：
故答案为：．
方法提示：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数关系表达式，并会熟练计算．
14. 已知，则______________．
答案：8
解析：
思路：本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此可求出x的值，进而求出y的值，再代入求解即可．
解答过程：解：∵式子有意义，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：8．
15. 通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度（单位：）与距离（单位：）是反比例函数关系．其图象如图所示，若小秦同学在距离该通信信号塔处时，信号强度为______．
答案：
解析：
思路：先求出反比例函数的解析式，再计算出时，的值．
解答过程：解：设，
将点代入，得，
∴，
将代入，得．
16. 如图，矩形的边在的边上，点在边上，点在边上，的面积是，的面积是，则的值为_____．
答案：2
解析：
思路：由得，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是由平行线得到相似三角形，利用相利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比．
解答过程：解：∵矩形的边在的边上，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴整理得2，
∴的值是2，
故答案为：2．
17. 如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为，，，若，则点的坐标为________．
答案：
解析：
思路：作于E，根据等腰三角形的性质求出，利用直角三角形的性质与等腰三角形的性质可求出点A的坐标，最后利用以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或即可求出点C的坐标．
解答过程：解：作于E，
．
，，，
，．
与是以坐标原点为位似中心的位似图形，
，．
，．
．
，解得．
点A的坐标为．
与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为，
点C的坐标为，即．
18. 如图，直线交双曲线于点，过点作，交x轴于点；过点作，交双曲线于点，过点作，交x轴于点；……依次作下去，得到等腰直角三角形、、、……、，且点、、……都在双曲线的图象上，斜边、、、……、都在x轴上，则点的坐标为______．
答案：
解析：
思路：由题意知，，，，，设，则，求出的值，表示出的坐标，设，则，求出的值，表示出的坐标， 设，则，求出的值，表示出的坐标，同理求出，的坐标，推导出一般性规律，进而可得答案．
解答过程：解：由题意知，，，，，设，则，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴；
设，则，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴；
设，则，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴；
同理，可得，
∴可推导一般性规律为，，
故答案为：．
方法提示：本题考查了反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的判定与性质，点坐标的规律探究等知识．解题的关键在于推导一般性规律．
三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19. 计算与解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
答案：（1）
（2） （3），
（4），
解析：
思路：（1）原式化简后，再合并同类二次根式即可；
（2）原式根据平方差公式和完全平方公式将括号展开，再计算即可；
（3）运用因式分解法解答即可；
（4）运用因式分解法解答即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
，，
解得：，
（4）解：，
，
，
，
解得：，．
20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足，求m的值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由一元二次方程根的判别式计算即可得出结果；
（2）将代入方程得，整理得出，再代入，计算即可得出结果．
（1）解：∵方程是一元二次方程，且有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵p是方程的一个实数根，
∴将代入方程得：，
变形得，
将其代入得：，
解得：，，
∵，
∴．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式：
（2）点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标．
（3）当时，直接写出的取值范围；
答案：（1）
（2），
（3）或
解析：
思路：（1）根据题意，得，得到；
（2）设，则，过点P作于点F，根据勾股定理，得，结合三角形的面积得，求解即可；
（3）根据交点的横坐标，求解即可．
（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
，
故，
反比例函数的图象经过点，
，
解得，
；
（2）解：根据题意，得，
整理，得，
，
解得，
当时，，
．
，
设直线与x轴的交点为E，与y轴的交点为D，
当时，；当时，；
则，，
，
，
设，则，
过点P作于点F，
，
，
根据勾股定理，得，
，
，
的面积为6，
，
，
或，
解得或，
故，．
（3）解：，，
故不等式的解集为：或．
22. 【阅读理解】
爱思考的小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，．
，即．
．
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：______；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：本题参照例题方法，利用分母有理化、裂项相消和整体代入思想解题．
（1）利用平方差公式对原式进行分母有理化即可得到结果；
（2）先对每一项进行分母有理化，再通过裂项相消合并计算得到结果；
（3）先将分母有理化，再变形得到的值，整体代入所求代数式计算即可．
（1）解：
（2）解：对原式中每一项分母有理化，可得，
原式
（3）解：，
，
两边平方得，即，
整理得
代入得．
23. 某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元．
（1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）若该坚果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少元？
答案：（1）
（2）元
解析：
思路：（）设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，降至就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
（）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
（1）解：设每次下降的百分率为，则
∴，（不符合题意，舍去），
答：每次下降的百分率为．
（2）解：设每千克应涨价元，则
∴
∵要求尽可能减少库存：涨价越少，日销售量越大，剩余库存越少，
∴选择较小的涨价幅度，
答：每千克应涨价元．
24. 项目学习项目背景：某数学兴趣小组在太原市湿地公园围绕“利用相似三角形测高”开展项目性综合实践活动，形成了如下活动报告．
请根据表中提供的信息，求围墙的高度．
答案：围墙的高为米
解析：
思路：本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解答的关键．
证明，，利用相似三角形的性质求解．
解答过程：解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵米，米，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵米，米，
∴，
∴，
∴，
∴
∴围墙的高为米．
25. 综合与探究
问题情境：
如图1，已知正方形外有一动点，是等腰直角三角形，，连接，，请探究，的位置关系．
问题解决：
（1）请直接写出，的位置关系 ．
（2）如图2，将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，其中，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
拓展探究：
（3）在（2）中，若，，，将绕点逆时针旋转，使，，三点在同一条直线上，请直接写出的长．
答案：（1）；
（2）成立，理由如下：
如图，设与，的交点分别为点，，
四边形为矩形，
，
，
，即，
又，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解析：
思路：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练利用上述性质是解题的关键．
（1）证明，即可解答；
（2）证明，即可解答；
（3）同（2）原理可得，利用勾股定理列方程，即可解答．
解答过程：解：（1）如图，四边形为正方形，
，
是等腰直角三角形，
，，
，即，
在与中，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）略
（3）如图，当点，，在同一条直线上时，连接，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
同（2）可得，
，
，
由（2）可知，
，即，
解得或（舍去），
．x
3.23
3.24
3.25
3.26
0.03
0.07
项目主题
利用相似三角形测高
活动过程
1．设计说明：
①是简易工具房前的一面围墙；
②是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线；
③是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线；
④为窗高．为窗户到地面的高度，点在同一条直线上，且．
2．数据测量：米，米，米，米．
3．计算……
反思交流
．．．．．．
x
3.23
3.24
3.25
3.26
0.03
0.07
项目主题
利用相似三角形测高
活动过程
1．设计说明：
①是简易工具房前的一面围墙；
②是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线；
③是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线；
④为窗高．为窗户到地面的高度，点在同一条直线上，且．
2．数据测量：米，米，米，米．
3．计算……
反思交流
．．．．．．