四川省宜宾市2025-2026学年八年级下学期义务教育期末质量监测 数学试题（含解析）

这是一份四川省宜宾市2025-2026学年八年级下学期义务教育期末质量监测 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
1. 下列式子中，是分式的是（ ）
A. B. C. 2xD.
2. 2026年4月，我国科学家在嫦娥五号月壤中发现新矿物“镁嫦娥石”，其颗粒极小，最小直径为米，大约是一根头发丝直径的二十分之一，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. “费尔兹奖”是数学领域的国际最高奖项之一，被誉为“数学界的诺贝尔奖”，每四年颁发一次．截止到2022年“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄分别为29，28，29，31，31，31，29，31，则这组数据的中位数是（ ）
A. 28B. 29C. 30D. 31
4. 如图，是菱形的对角线，若，则菱形的周长为（ ）
A. 10B. 20C. 14D. 28
5. 一次函数的函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限，则k的取值范围（ ）
A. B. C. D. 或
6. 如图，在中，对角线、相交于点，过点作交于点，连接．若的周长为20，则的周长为（ ）
A. 6B. 7C. 9D. 10
7. 如图，在中，，点分别是边上的动点，连接，点分别为的中点，连接，则的最小值为（ ）

A. B. C. D. 1
8. 如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
9. 如图，在矩形中，，，点E、F分别在、上．若，，则的长为（ ）
A. B. C. 2D.
10. 如图，在矩形中，的平分线交于点，垂足为H，连接并延长，交于点交于点O．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题目中的横线上．
11. 分式的值为0，则x的值为______．
12. 甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是，，，则三人中射击成绩比较稳定的是______．
13. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为______．
14. 如图，在矩形中，，．现将该矩形沿折叠，使点A、C重合，则重叠部分的面积是______．
15. 如图，在四边形ABCD中，，，，，．点P是线段AB上一点，且，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点D运动，到达D点后运动立即停止，则t为______秒时，为直角三角形．
16. 如图，在菱形中，，，E、F分别是上的动点，且满足．则的最小值为______．
三、解答题：本大题共9个题，共86分．解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤
17. 计算：
（1）（2）化简：
18. 解方程：
（1）；
（2）．
19. 如图，在中，的平分线交于点E，，．求的长．
20. 某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下：
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95．
（1）求甲组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值；
（2）根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图．
21. 2026年央视春晚宜宾分会场火爆出圈，川南非遗“请春酒”、兴文僰苗文化等本土特色圈粉无数．某文创商家顺势购进A、B两款宜宾非遗主题网红文创摆件进行销售，A款为僰人铜鼓文创摆件，B款为请春酒主题文创摆件．已知每件A款摆件的进价比每件B款摆件的进价多15元，用1200元购进A款摆件的数量与用900元购进B款摆件的数量相等．
（1）求A、B两款文创摆件的进价？
（2）该商家准备购进A、B两款摆件共90件，且购进A款摆件的数量不少于B款摆件数量的2倍．怎样购买才能使总进货费用最少？并求出最少费用．
22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）动点P在x轴上，当的面积等于9时，请求点P的坐标．
23. 如图，是的边的中线，E是的中点，过点A作，交的延长线于点F，交于G，连接．
（1）若四边形是菱形，求证：是直角三角形：
（2）若，求长．
24. 【阅读材料】对于两个不等的非零实数，，若关于的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于的方程的解为，．例如：方程的解为，．
（1）【理解应用】方程的解为______，______．
（2）【知识迁移】若方程的解为，，求的值；
（3）【拓展提升】若关于的方程的解为，，求的值．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于C，且面积为10．
（1）求点C的坐标及直线的解析式；
（2）如图①，若M为线段的中点，点E为直线上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，设点F为线段中点，点G为y轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形．在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线上时，求点G的坐标．
数学
（考试时间：120分钟；全卷满分：150分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
1. 下列式子中，是分式的是（ ）
A. B. C. 2xD.
答案：A
解析：
思路：分式定义为：若分子分母都是整式，且分母中含有字母，则该式子是分式，需注意是常数不是字母．
解答过程：解：选项A中的分母是含字母的整式，符合分式定义；
选项B中的分母是常数，属于整式；
选项C中是单项式，属于整式；
选项D中的分母是常数，属于整式；
故选A．
2. 2026年4月，我国科学家在嫦娥五号月壤中发现新矿物“镁嫦娥石”，其颗粒极小，最小直径为米，大约是一根头发丝直径的二十分之一，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：用科学记数法表示绝对值较小的数，形式为，其中，为整数．
解答过程：解：．
3. “费尔兹奖”是数学领域的国际最高奖项之一，被誉为“数学界的诺贝尔奖”，每四年颁发一次．截止到2022年“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄分别为29，28，29，31，31，31，29，31，则这组数据的中位数是（ ）
A. 28B. 29C. 30D. 31
答案：C
解析：
思路：本题主要考查了中位数的定义，解题的关键是熟练掌握中位数的定义．
利用中位数的定义进行求解即可．
解答过程：解：把数据从小到大排列，中位数是第4位和第5位的平均数为．
故选：C．
4. 如图，是菱形的对角线，若，则菱形的周长为（ ）
A. 10B. 20C. 14D. 28
答案：B
解析：
思路：本题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意掌握菱形的对角线互相垂直且平分定理的应用是解此题的关键．由菱形的性质可求得与的长，在中，由勾股定理求得边的长，即可求解．
解答过程：解：设的交点为O，
∵菱形中，，
∴，，，
∴，
∴菱形的周长，
故选：B．
5. 一次函数的函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限，则k的取值范围（ ）
A. B. C. D. 或
答案：C
解析：
思路：利用一次函数的性质求解，根据y随x增大而增大得到一次项系数的范围，根据图象不经过第二象限得到的范围，联立不等式即可得到k的取值范围．
解答过程：解：∵函数值随的增大而增大，
∴一次项系数满足，解得，
∵函数图象不经过第二象限，
∴满足，解得，
．
6. 如图，在中，对角线、相交于点，过点作交于点，连接．若的周长为20，则的周长为（ ）
A. 6B. 7C. 9D. 10
答案：D
解析：
思路：根据平行四边形性质，由的周长为20可得，再由对角线相互平分及即可得到是线段的中垂线，得到，从而的周长为，即可得到答案．
解答过程：解：在中，对角线相互平分，
是中点，
，
是线段的中垂线，即，
的周长为，
的周长为20，
，即的周长为10．
7. 如图，在中，，点分别是边上的动点，连接，点分别为的中点，连接，则的最小值为（ ）

A. B. C. D. 1
答案：A
解析：
思路：本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是确定的最小值，就是的最小值．连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可求出的最小值．
解答过程：解：如图，连接，

、分别为、的中点，
，
的最小值，就是的最小值的一半，
当时，最小，
中，，，
，
，
的最小值是．
故选：A．
8. 如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
答案：D
解析：
思路：先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积列方程求得的值便可．
解答过程：解：设点坐标为，则，，，
，
，
，
轴于，
，
四边形的面积为3，
，
解得．
9. 如图，在矩形中，，，点E、F分别在、上．若，，则的长为（ ）
A. B. C. 2D.
答案：D
解析：
思路：取的中点，连接，并延长交于点，延长，取，连接，得出为的中位线，证明四边形为正方形，再证明，得到，进一步证明，在中，利用勾股定理即可求出的长，从而得出结果．
解答过程：解：如图，则，
∵四边形是矩形，
，，
如图，取的中点，连接，并延长交于点，延长，取，连接，
∴为的中位线，，
，
，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，，
∴平行四边形为正方形，
∴，
，
，
，
，
，
设，
在与中，
，
，
，
，
在中，，
即，
解得，
．
10. 如图，在矩形中，的平分线交于点，垂足为H，连接并延长，交于点交于点O．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：C
解析：
思路：根据角平分线的定义可得，然后求出，是等腰直角三角形，然后利用角角边证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后证明出，即可判断①；再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而判断出②；求出，然后根据等角对等边可得，即可判断③；连接，利用全等三角形的性质证明，再证明，可得结论．
解答过程：解：四边形是矩形，
，
平分，
，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又∵，
∴，故①正确；
，
，
∴，，
，
，故②错误；
∴，
，
，
，故③正确；
连接．

，
，
，
，
，
，
，
，故④正确．
综上可知， 正确的为．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题目中的横线上．
11. 分式的值为0，则x的值为______．
答案：
解析：
解答过程：解：由题意得：且，
∴．
12. 甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是，，，则三人中射击成绩比较稳定的是______．
答案：
甲
解析：
思路：根据方差的意义，方差越大，数据波动越大，稳定性越差；方差越小，数据波动越小，稳定性越好， 只需比较三人方差的大小即可得出结论．
解答过程：解：，，，
，
甲的射击成绩波动更小，三人中射击成绩比较稳定的是甲．
13. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为______．
答案：
解析：
思路：本题考查了利用一次函数图象交点解二元一次方程组，根据交点坐标为，求出的值，得出方程组的解即可，理解“函数图象交点的坐标是对应方程组的解”是解题的关键．
解答过程：解：∵直线与相交于点，
∴直线上的点满足，直线上的点满足，
∴，即为方程组的解，
把代入得：，
∴方程组的解为，
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，，．现将该矩形沿折叠，使点A、C重合，则重叠部分的面积是______．
答案：
##
解析：
思路：设，根据折叠性质表示出，在中利用勾股定理列方程求出，进而得到的长. 根据折叠性质和平行线性质证明为等腰三角形，得到，最后利用三角形面积公式求解；
解答过程：解：设，则，
由折叠的性质可知，，
在中，由勾股定理，得，即，解得，
，
四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
．
15. 如图，在四边形ABCD中，，，，，．点P是线段AB上一点，且，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点D运动，到达D点后运动立即停止，则t为______秒时，为直角三角形．
答案：11或
解析：
思路：分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可．
解答过程：解：∵，，
∴，
当时，如图所示：
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴此时点Q运动的时间为：（秒）；
当时，过点P作于点E，如图所示：
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，则，
在中，，
∵在中，，
在中，，
∴，
即，
解得：，
∴，，
∴，
∴此时点Q运动的时间为：（秒）；
综上所述，t为11秒或秒时，为直角三角形．
16. 如图，在菱形中，，，E、F分别是上的动点，且满足．则的最小值为______．
答案：
解析：
思路：连接，过点作且，连接，证明，将转化为，利用两点之间线段最短可知当三点共线时最小，在中利用勾股定理求解即可；
解答过程：解：连接，过点作，且，连接，，如图所示：
四边形是菱形，，，
，，
∴，，
是等边三角形，
，，
是菱形的对角线，
，即，
，
，
，
，
在和中，
BG=CD∠GBE=∠DCFBE=CF，
，
，
，
根据两点之间线段最短可知，当三点共线时，最小，即最小，最小值为线段的长，
在中，，，
由勾股定理得：，
的最小值为．
三、解答题：本大题共9个题，共86分．解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤
17. 计算：
（1）（2）化简：
答案：（1）
（2）解析：
（1）解：
；
（2）解：
．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
答案：（1）

（2）原分式方程无解
解析：
思路：（1）先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程，再检验即可；
（2）先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程，再检验所得值是否使原方程分母不为0，若使分母为0则为增根，原方程无解．
解题的关键在于正确掌握解分式方程步骤，以及注意检验所得值是否是方程的解．
（1）解：


，
检验：当时，，
因此原分式方程的解为；
（2）解：
，
检验：当时，，
因此是增根，原分式方程无解．
19. 如图，在中，的平分线交于点E，，．求的长．
答案：3
解析：
思路：由平行四边形的性质得到，，由平行线的性质与角平分线的定义得到，从而得到，由线段的和差即可求解．
解答过程：解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下：
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95．
（1）求甲组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值；
（2）根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图．
答案：（1）最小值是60，第一四分位数是70，中位数是，第三四分位数是96，最大值是100
（2）甲组的箱线图如图所示：
解析：
思路：（1）把甲的成绩从小到大排列，中位数是第个数据的平均数，第一四分位数为第3个数，第三四分位数为第8个数，即可求解最大值和最小值；
（2）将3个四分位数及最大和最小值在图中画出即可
（1）解：方法一：把甲组的成绩按从小到大的顺序排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，
∴最小值是60，第一四分位数是70，中位数是，第三四分位数是96，最大值是100．
方法二：把甲组的成绩按从小到大的顺序排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，
∴最小值是60，
第一四分位数：，向上取整为第3个数据，为70；
中位数是，
第三四分位数：，向上取整为第8个数据，为96；
最大值是100．
（2）略
21. 2026年央视春晚宜宾分会场火爆出圈，川南非遗“请春酒”、兴文僰苗文化等本土特色圈粉无数．某文创商家顺势购进A、B两款宜宾非遗主题网红文创摆件进行销售，A款为僰人铜鼓文创摆件，B款为请春酒主题文创摆件．已知每件A款摆件的进价比每件B款摆件的进价多15元，用1200元购进A款摆件的数量与用900元购进B款摆件的数量相等．
（1）求A、B两款文创摆件的进价？
（2）该商家准备购进A、B两款摆件共90件，且购进A款摆件的数量不少于B款摆件数量的2倍．怎样购买才能使总进货费用最少？并求出最少费用．
答案：（1）
A款文创摆件每件进价为60元，B款文创摆件每件进价为45元.
（2）购进A款摆件60件，B款摆件30件时总进货费用最少，最少费用为4950元.
解析：
思路：（1）根据购进两种摆件数量相等的关系列分式方程求解进价，分式方程需要检验；
（2）先根据数量关系列出不等式得到自变量的取值范围，再结合一次函数的增减性求出最小总费用；
（1）解：设每件B款文创摆件的进价为元，则每件A款文创摆件的进价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：A款文创摆件每件进价60元，B款文创摆件每件进价45元；
（2）解：设购进A款摆件件，总进货费用为元，则购进B款摆件件，
根据题意，得，
解得，
由题意可得总费用，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时，（元），
答：购进A款摆件60件，B款摆件30件时总进货费用最少，最少费用为4950元．
22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）动点P在x轴上，当的面积等于9时，请求点P的坐标．
答案：（1），
（2）或
解析：
思路：（1）根据点坐标求出，得到反比例函数解析式，据此求出点坐标，再将，代入求出一次函数解析式；
（2）设点的坐标为，求出直线与轴交点，再结合的面积为9得到关于的方程，求解即可．
（1）解：∵反比例函数的图象过点，
，则，
反比例函数的解析式为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵一次函数的图象过点，，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）解：如图，
∵点P在x轴上，
∴设点的坐标为，
对于直线，令，则，解得，
直线与轴交于点，
∴，
∵，
∴
解得：或，
或．
23. 如图，是的边的中线，E是的中点，过点A作，交的延长线于点F，交于G，连接．
（1）若四边形是菱形，求证：是直角三角形：
（2）若，求长．
答案：（1）证明：∵四边形是菱形，是的中线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴是直角三角形．
（2）3
解析：
思路：（1）由菱形性质，是的中线，得到，进而由等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理得到即可得证；
（2）取中点，连结，如图所示，由三角形中位线的判定与性质得到，，进而得到，再证明，根据全等三角形性质即可求解．
（1）略
（2）解：取中点，连结，如图所示：
∵是的边的中线，则是的中点，
是的中位线，
∴，，
∴，
是的中点，
，
在和中，
，
∴．
24. 【阅读材料】对于两个不等的非零实数，，若关于的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于的方程的解为，．例如：方程的解为，．
（1）【理解应用】方程的解为______，______．
（2）【知识迁移】若方程的解为，，求的值；
（3）【拓展提升】若关于的方程的解为，，求的值．
答案：（1）3，
（2）71 （3）17
解析：
思路：本题考查了分式方程的解，完全平方公式，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．
（1）根据材料中的方法求解即可；
（2）由题意可得，，再由完全平方公式可得求解即可；
（3）方程变形为，则由方程的解得到，，则有，整理得，再将代入整理进而即可求解．
（1）解：的解为，，
，即，的解为，，
故答案为：3，；
（2）方程的解为，，
，，
；
（3）关于的方程的解为，，
的解为，，
，，
，，
，
整理得：
将代入，得
，
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于C，且面积为10．
（1）求点C的坐标及直线的解析式；
（2）如图①，若M为线段的中点，点E为直线上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，设点F为线段中点，点G为y轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形．在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线上时，求点G的坐标．
答案：（1），
（2）解：存在，或或，求解如下：
点是线段的中点，，
．
设直线的解析式为．
直线过点，
，解得，
直线的解析式为．
点为直线上的一点，
设
①当是平行四边形的边时，则，，
在轴上
∴轴
点的纵坐标和点的纵坐标相同，即，
，
，
，
，
，
或．
②当是平行四边形的对角线时，
设，
平行四边形的对角线互相平分，
与的中点重合，
∴，解得，
．
综上所述，点的坐标为或或．
（3）或
解析：
思路：（1）对于直线，分别令，，求出点A，B的坐标，再根据的面积为，可计算出长，可推出点的坐标，待定系数法求出直线解析式即可；
（2）根据中点公式得到，待定系数法求出直线的解析式为，从而设．分两种情况讨论：①当是平行四边形的边时，则，，据此求解即可；②当是平行四边形的对角线时，设，根据平行四边形的对角线互相平分，则与的中点重合，据此列出方程组，求解即可；
（3）分两种情况求点坐标，当在点上方时，当在点下方时，利用全等求出含有的点坐标，代入直线的解析式求出即可．
（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
∴当时，；
当时，，解得，
，，
，，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
∵直线过点，，
∴，解得，
直线的解析式为；
（2）略
（3）解：是的中点，，，
，
设的坐标为，
当点G在点F的上方，即时，如图，若点落在上时，过作轴的平行线，过点、分别作该直线的垂线，垂足分别为、．则，
∴，
四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
，，
，
点在直线上，
，
，
，
当点G在点F的下方，即时，如图，若点落在上时，过作轴的平行线，过点、分别作该直线的垂线，垂足分别为、．则，
∴，
四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
，，
同上可得：，
点在直线上，
，
．
，
综上所述，满足条件的点坐标为或．