四川省南充市南部县第二中学2025-2026学年八年级下学期期末模拟 数学试题（含解析）

这是一份四川省南充市南部县第二中学2025-2026学年八年级下学期期末模拟 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本大题共10小题，共40分)
1. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列数据不能直接从箱线图中获得的是（ ）
A. 众数B. 中位数C. 最大值D. 最小值
3. 函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是、、，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（ ）
A. 直角三角形两个锐角互余B. 勾股定理的逆定理
C. 三角形内角和等于D. 勾股定理
5. 下列条件中，不能判定是直角三角形的一组条件是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在四边形中，与相交于点，如果只给出条件“”，还不能判定四边形为平行四边形，若想使四边形为平行四边形，要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
①如果再添加条件“”，
②如果再添加条件“”，
③如果再添加条件“”，
④如果再添加条件“”．
A. ①或②B. ①或③或④C. ②或③D. ②或③或④
8. 不同型号的电动车使用的电池技术不同，充电速度也有差异．现有甲、乙两辆电动车同时开始充电，它们的电量（用百分比计量）与时间（单位：）之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A. 两车开始充电时电量相同
B. 当时，甲车的电量比乙车的电量高
C. 两车的电量增加所需的时间总相等
D. 按照图中趋势，乙车电量比甲车电量更早达到
9. 若是整数，且有意义，则的值是（ ）
A. 1或3B. 0或1C. 2或D. 0或
10. 如图，四边形是正方形，点为对角线的中点，分别是边上的点，且，与分别交于点与交于点，有下列命题：①②；③；④其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
二、填空题(本大题共6小题，共24分)
11. 函数 的自变量x的取值范围是_____________．
12. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______．
13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为___________．
14. 数据2，x，4，2，8，5的平均数为5，这组数据的离差平方和为________．
15. 如图，在矩形中，点E在上，且平分，则的长为______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为的中点，E、F是边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，点E的坐标为______．
三、解答题(本大题共9小题，共86分)
17. 计算:
18. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：
“豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98．
“”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94．
根据以上信息，解答下列问题：
“豆包”和“”得分统计表
（1）填空：_______，_______，_______；
（2）定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数_________；
（3）若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数．
19. 如图，在中，于D，E，F分别是的中点，G是的中点，的延长线交于H，连接．求证：．
20. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动．
（1）求直线的解析式．
（2）当的面积是面积的时，是否存在整数点，若存在写出的坐标．
21. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得．连接．过点作，交于点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求菱形的面积．
22. 【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】
（1）将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：．
【方法迁移】
（2）如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
23. 2026年，广东省第十七届运动会将在茂名市举办，运动会吉祥物的名字叫“荔荔”．为助力传递省运热情与宣传茂名本土文化，某商家近日购进了一批“荔荔”玩偶和“好心茂名”徽章进行销售．
信息一：每个“好心茂名”徽章的进价比每个“荔荔”玩偶的进价贵15元．该商店用600元购进“荔荔”玩偶的数量，与用750元购进“好心茂名”徽章的数量相同．
信息二：该商店计划购进“荔荔”和“好心茂名”徽章共180个，总进价费用不超过12000元，每个“荔荔”玩偶售价为65元，每个“好心茂名”徽章售价为85元，全部售完．
问题：
（1）求每个“荔荔”玩偶和“好心茂名”徽章的进价各是多少元．
（2）设该商店购进“荔荔”玩偶个，总获利为元．写出与的函数关系式；
（3）在进货数量符合要求的条件下，求的最大值．
24. 如图，在正方形中，，分别为边，上的点，且，连接，交于点．
（1）如图（1），求证：；
（2）如图（2），连接，若平分，求证：；
（3）如图（3），若，连接，为的中点，直接写出的最小值是________．
25. 如图1， 直线 与直线 相交于y轴上的点B，且直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点．
（1）填空∶ ________，________；
（2）如图2，在图1 的基础上，设点B关于x轴的对称点为点D，点P从点O出发，沿x轴向左运动，连接PB，以点P为直角顶点，PB为腰在右下方作等腰直角三角形PBE，
①求直线AD的表达式：
②在点P的运动过程中，点E是否一定落在直线AD上？就图2 说明理由．
数学
满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题(本大题共10小题，共40分)
1. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：本题考查了二次根式的加减法和乘除法．结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项即可．
解答过程：解：A、与不是同类二次根式，不能相加，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：D．
2. 下列数据不能直接从箱线图中获得的是（ ）
A. 众数B. 中位数C. 最大值D. 最小值
答案：A
解析：
思路：本题考查箱线图的基本概念，只需明确箱线图能体现的统计量，即可判断选项．
解答过程：解：∵箱线图由一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值五个统计量绘制得到，
∴可以直接从箱线图中获得中位数、最大值、最小值，众数是一组数据中出现次数最多的数，
箱线图无法体现数据出现的次数，因此不能直接从箱线图中得到众数，
故选：A．
3. 函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：A
解析：
思路：根据一次函数中和的符号即可判断函数图象经过的象限，从而得到答案．
解答过程：解：∵对于一次函数，，，
函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
4. 李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是、、，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（ ）
A. 直角三角形两个锐角互余B. 勾股定理的逆定理
C. 三角形内角和等于D. 勾股定理
答案：B
解析：
思路：利用勾股定理的逆定理求解即可.
解答过程：解：∵ 三角形三边长为、、，
而，
即两条较短边的平方和等于最长边的平方，
这种由边长关系判定直角三角形的依据是勾股定理的逆定理.
∴B符合题意.
5. 下列条件中，不能判定是直角三角形的一组条件是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理，逐一判断各选项，即可得到答案．
解答过程：解：A、∵
∴可设，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，且，
∴，，，
∴不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故此选项不符合题意．
6. 若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先根据多边形内角和公式求出正多边形的边数，再利用任意多边形外角和为，正多边形每个外角相等，即可计算出一个外角的度数．
解答过程：解：设该正多边形的边数为，
正多边形的内角和是，多边形内角和公式为，
，
解得，
又任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等，
该正多边形的一个外角为．
7. 如图，在四边形中，与相交于点，如果只给出条件“”，还不能判定四边形为平行四边形，若想使四边形为平行四边形，要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
①如果再添加条件“”，
②如果再添加条件“”，
③如果再添加条件“”，
④如果再添加条件“”．
A. ①或②B. ①或③或④C. ②或③D. ②或③或④
答案：C
解析：
思路：根据已有条件：，结合平行四边形的判定方法逐一分析即可．
解答过程：解：如图，已有条件：，
①添加，不能使四边形是平行四边形，故不合题意；
②添加，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定，故符合题意；
③添加，根据可得，
又，
∴，
∴，
∴可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定，故符合题意；
④添加，不能使四边形是平行四边形，故不合题意；
综上：C符合题意．
8. 不同型号的电动车使用的电池技术不同，充电速度也有差异．现有甲、乙两辆电动车同时开始充电，它们的电量（用百分比计量）与时间（单位：）之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A. 两车开始充电时电量相同
B. 当时，甲车的电量比乙车的电量高
C. 两车的电量增加所需的时间总相等
D. 按照图中趋势，乙车电量比甲车电量更早达到
答案：C
解析：
解答过程：解：A、两车开始充电时电量都是，故A正确；
B、当时，甲车的图象在乙车的上方，
∴甲车的电量比乙车的电量高，故B正确；
C、∵甲车的图象是曲线，乙车的图象是直线，
∴由图象得，只有从到时，两车的电量增加所需的时间才相等，故C错误；
D、当时，乙车的图象在甲车的上方，
∴按照图中趋势，乙车电量比甲车电量更早达到，故D正确．
9. 若是整数，且有意义，则的值是（ ）
A. 1或3B. 0或1C. 2或D. 0或
答案：C
解析：
思路：本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，确定整数x的取值范围，并分别计算即可．
解答过程：解：∵ 和有意义，
∴ 且 ，
即 ．
又∵ 是整数，
∴ 可取1，2，3．
当时，；
当时，；
当时，．
∴ 的值为或2，
故选：C．
10. 如图，四边形是正方形，点为对角线的中点，分别是边上的点，且，与分别交于点与交于点，有下列命题：①②；③；④其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
答案：C
解析：
思路：①连接，先证，据此可对结论①进行判断；
②过点O作交于K，可得，进而得为等腰直角三角形，据此可对结论②进行判断；
③设的中点为K，连接，则，，假设，则，则，从而得，则为的平分线，这与点E为边上的点相矛盾，据此可对结论③进行判断；
④过点O作交于P，先证为等腰直角三角形，则，，再证，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
解答过程：解：①如图所示：
∵四边形为正方形，点O为对角线的中点，
∴，，，，，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故结论①正确；
②∵,
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴∠，
过点O作交于K，如图2所示：
∵，，
∴，，
∴，
由结论①正确得，
∴，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
即，
故结论②正确；
③设的中点为K，连接，如图3所示：
∵，
∴为斜边上的中线，
∴，
∴，
假设，则，
∴，
∴，
∴，
∴为的平分线，这与点E为边上的点相矛盾，
∴假设不正确，
故结论③不正确；
④过点O作交于P，如图4所示：
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理得： ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，故结论④正确．
综上所述：正确的结论是①②④．
二、填空题(本大题共6小题，共24分)
11. 函数 的自变量x的取值范围是_____________．
答案：
解析：
思路：根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组，求解不等式组即可得到自变量的取值范围．
解答过程：解：根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，可得，
解不等式得，解不等式得，
两个条件的公共解集为．
12. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______．
答案：3
解析：
思路：本题考查的是同类二次根式的含义，根据同类二次根式的定义，被开方数必须相同，把化为最简二次根式后，因此令 等于 化简后的被开方数即可求解．
解答过程：解：∵， 与是同类二次根式，
∴，解得．
故答案为 3．
13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为___________．
答案：
解析：
思路：本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，解题的关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解．首先利用待定系数法求出的值，进而得到点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案．
解答过程：解：直线与直线交于点，
，
，
关于，的方程组的解为．
故答案为：．
14. 数据2，x，4，2，8，5的平均数为5，这组数据的离差平方和为________．
答案：
44
解析：
思路：本题考查了离差平方和的定义，掌握相应概念是解题的关键；
根据平均数的定义求出x的值，再计算各数据与平均数的差的平方和即可．
解答过程：解：数据之和为，
∵平均数为5，
∴，
解得．
∴这组数据的离差平方和为．
故答案为44．
15. 如图，在矩形中，点E在上，且平分，则的长为______．
答案：
解析：
思路：在中可求得的长，由角平分线的定义和平行的性质可证得，则可求得的长，则可求得的长．
解答过程：解：四边形为矩形，
，，，
，，
∴，
∴，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为的中点，E、F是边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，点E的坐标为______．
答案：
解析：
思路：本题考查一次函数与几何图形的综合应用，在上截取，连接，易得四边形为平行四边形，进而得到，根据为定值，得到当最小时，四边形的周长最小，作点关于轴的对称点，连接，得到，即当三点共线时，最小，四边形的周长最小，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可．
解答过程：解：∵矩形，，，
∴，，，
∴，
∵为的中点，
∴，的长为定值，
在上截取，连接，则：，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵四边形的周长，且的长为定值，
∴当最小时，四边形的周长最小，
作点关于轴的对称点，连接，则：，
∵
∴当三点共线时，最小，四边形的周长最小，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，；
∴；
故答案为：．
三、解答题(本大题共9小题，共86分)
17. 计算:
答案：
解析：
解答过程：解：
.
18. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：
“豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98．
“”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94．
根据以上信息，解答下列问题：
“豆包”和“”得分统计表
（1）填空：_______，_______，_______；
（2）定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数_________；
（3）若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数．
答案：（1），，
（2） （3）对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人．
解析：
思路：（1）根据众数定义求出a的值，求出“”得分在C组中所占的比例，即可求出m的值；先求出“”得分中，组合的用户数，结合组数据根据中位数的定义即可求出的值；
（2）根据下四分位数的定义进行解答即可；
（3）用样本估计总体即可．
（1）解：“豆包”得分出现次数最多的是94，
∴众数；
“”得分在C组中所占的比例为，
∴
∴；
“”得分在A组的用户数为，在B组的用户数为：，
则“”得分从低到高排列后排在第和第的得分分别为，，
故；
（2）解：排在第5，6位数分别是89，90，
∴“豆包”得分的下四分位数为；
（3）解：（人）
答：对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人．
19. 如图，在中，于D，E，F分别是的中点，G是的中点，的延长线交于H，连接．求证：．
答案：见解析
解析：
思路：连接EF，DF，先说明再根据“角角边”证明，可得，进而得出是平行四边形，可得，然后直角三角形的性质得，则此题可解．
解答过程：证明：连接EF，DF．
∵E，F分别是的中点，点G是的中点。
∴是的中位线，，
∴ ， ．
∵，
∴，
∴，
∴是平行四边形．
∴．
∵，
∴．
∴．
20. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动．
（1）求直线的解析式．
（2）当的面积是面积的时，是否存在整数点，若存在写出的坐标．
答案：（1）
（2）存在；或
解析：
思路：（1）利用待定系数法求解直线的解析式；
（2）先求出点C的坐标，再求出的面积，进而求出的面积，求出边上的高为，即点M的横坐标为2，利用待定系数法求解直线的解析式，分情况讨论点的位置，从而求出点的坐标．
（1）解：设直线的解析式是，
将、代入得：
，
解得：，
直线的解析式是；
（2）解：在中，令，得，
，
，
，
，
，
边上的高为，即点M的横坐标为2，
设直线解析式为，
将代入得：，
解得：，
直线解析式为，
当点M在上时：
将代入的：，
点M的坐标是，
当点M在上时：
将代入的：，
点M的坐标是，
综上所述，点M的坐标是或．
21. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得．连接．过点作，交于点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求菱形的面积．
答案：（1）证明：∵四边形是菱形，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴平行四边形是矩形；
（2）解析：
思路：（1）证四边形是平行四边形，再证，则，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）由矩形的性质得，由菱形性质可证为等边三角形，可得，再由勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可．
（1）解：略；
（2）解：由（1）知四边形是矩形，
，
又，
，
∵四边形是菱形，
，
为等边三角形，
，
，
，
．
22. 【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】
（1）将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：．
【方法迁移】
（2）如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）根据全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余推出，再根据可得证；
（2）在中得，在中得，据此得到关于的方程，求解后可得答案．
（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，，
观察图形可知：，
∴，
∴；
（2）解：∵是边上的高，
∴，
∵，，，设，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
即的值为．
23. 2026年，广东省第十七届运动会将在茂名市举办，运动会吉祥物的名字叫“荔荔”．为助力传递省运热情与宣传茂名本土文化，某商家近日购进了一批“荔荔”玩偶和“好心茂名”徽章进行销售．
信息一：每个“好心茂名”徽章的进价比每个“荔荔”玩偶的进价贵15元．该商店用600元购进“荔荔”玩偶的数量，与用750元购进“好心茂名”徽章的数量相同．
信息二：该商店计划购进“荔荔”和“好心茂名”徽章共180个，总进价费用不超过12000元，每个“荔荔”玩偶售价为65元，每个“好心茂名”徽章售价为85元，全部售完．
问题：
（1）求每个“荔荔”玩偶和“好心茂名”徽章的进价各是多少元．
（2）设该商店购进“荔荔”玩偶个，总获利为元．写出与的函数关系式；
（3）在进货数量符合要求的条件下，求的最大值．
答案：（1）每个“荔荔”玩偶的进价为60元，每个“好心茂名”徽章的进价为75元
（2） （3）的最大值为1300元
解析：
思路：（1）设每个“荔荔”玩偶的进价是元，则每个“好心茂名”徽章的进价是元，根据题意列出分式方程并求解，即可获得答案；
（2）设购进“荔荔”玩偶a个，则购进“好心茂名”徽章个，结合（1）可知每个“荔荔”玩偶的利润为5元，每个“好心茂名”徽章的利润为10元，然后列出与的函数关系式即可；
（3）首先根据题意确定的取值范围，然后结合一次函数的性质，即可获得答案．
（1）解：设每个“荔荔”玩偶的进价是元，则每个“好心茂名”徽章的进价是元，
根据题意，可得，
解得（元），经检验，是该分式方程的解，
∴（元），
答：每个“荔荔”玩偶的进价为60元，每个“好心茂名”徽章的进价为75元；
（2）设购进“荔荔”玩偶a个，则购进“好心茂名”徽章个，
每个“荔荔”玩偶的利润为（元），
每个“好心茂名”徽章的利润为（元），
总利润，化简得；
（3）根据总进价费用不超过12000元，得，
解得，
又∵a为非负整数，且，
∴，且a为整数，
由，
∵，
∴w随a的增大而减小，
∵，且a为整数，
∴当时，w取得最大值，
将代入，得（元），
答：w的最大值为1300元．
24. 如图，在正方形中，，分别为边，上的点，且，连接，交于点．
（1）如图（1），求证：；
（2）如图（2），连接，若平分，求证：；
（3）如图（3），若，连接，为的中点，直接写出的最小值是________．
答案：（1）证明：四边形为正方形，
，．
，
，
．
，
，
，
．
（2）证明：如图，过点作于点，交的延长线于点，
．
由（1）可知，，
，
四边形为矩形，
，即．
四边形为正方形，
，即，
．
平分，，，
．
又，
，
．
，
．
（3）解析：
思路：（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质，得出，再利用三角形的内角和定理，即可得证；
（2）先过点作于点，交的延长线于点，再根据矩形的判定与性质、正方形的性质，得出，利用角平分线的性质得出，最后根据全等三角形的判定与性质，即可得证；
（3）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，再利用勾股定理得出，最后利用二次函数求最值的方法，即可解答．
（1）略
（2）略
（3）解：由（1）可知，，
．
为的中点，
，
求的最小值，即求的最小值．
四边形为正方形，
，．
设，（），则，
在中，
由勾股定理得，，
当时，取得最小值，即，
．
25. 如图1， 直线 与直线 相交于y轴上的点B，且直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点．
（1）填空∶ ________，________；
（2）如图2，在图1 的基础上，设点B关于x轴的对称点为点D，点P从点O出发，沿x轴向左运动，连接PB，以点P为直角顶点，PB为腰在右下方作等腰直角三角形PBE，
①求直线AD的表达式：
②在点P的运动过程中，点E是否一定落在直线AD上？就图2 说明理由．
答案：（1）；
（2）①直线的表达式为：；
②点一定落在直线上，理由如下：
如图，过点作轴于点，则有，
即，
由题意知，，
，
又，，
，
，，
设点的坐标为，则，
对于，当时，有，
在点的运动过程中，点一定落在直线上．
解析：
思路：（1）根据已知点坐标得到直线的表达式，得到点坐标，进而得到直线的表达式．
（2）①根据与点关于轴的对称，得到点的坐标，进而得到直线的表达式；
②过点作轴于点，通过证明，得到对应线段相等，设点的坐标为，根据线段的等量关系得到点，代入直线的表达式，得证结论．
（1）解：∵直线与轴交于点，
∴代入，得：，解得：，
∴直线的表达式为：，
∴当时，，
∴点，代入直线，得：，
∴直线的表达式为：；
（2）解：①点与点关于轴对称，
，
设直线的表达式为，
则有，解得：，
直线的表达式为：，
②略；软件
平均数
中位数
众数
豆包
92
93
92
97
软件
平均数
中位数
众数
豆包
92
93
92
97