四川乐山市2025-2026学年八年级下学期期末教学质量监测数学试题（含解析）

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本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器．
第一部分 选择题（共30分）
注意事项：
1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．
2．本部分共10小题，每小题3分，共30分．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1. 当时，下列分式有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分式有意义的条件是分母不为，将代入各选项的分母，判断分母是否为即可得到结果．
【详解】选项A中，当时，分母为，此时分式无意义，不符合题意；
选项B中，当时，分母，此时分式有意义，符合题意；
选项C中，当时，分母为，此时分式无意义，不符合题意；
选项D中，当时，分母，此时分式无意义，不符合题意．
2. 当时，函数的函数值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接将给定的的值代入函数解析式，计算即可得到对应函数值．
【详解】解：将 代入解析式得
．
3. 已知一组数据：，，，，，这组数据的平均数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平均数的定义，用所有数据的和除以数据总个数即可得到结果．
【详解】这组数据共有个，数据总和为，
这组数据的平均数为．
4. 如图，在平行四边形中，，周长等于24．则的长为（ ）
A. 12B. 8C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得到，再根据平行四边形的周长公式可得，解之即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平行四边形的周长为24，
∴，
∴，
∴．
5. 坐标为的点在（ ）
A. 轴上B. 轴上C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据横坐标为的点都在轴上，纵坐标为的点都在轴上，判断即可．
【详解】的横坐标为，
该点在轴上．
6. 解分式方程的过程中，去分母正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先确定最简公分母，给方程两边同乘最简公分母去分母，注意分母互为相反数时的符号变形即可得到结果．
【详解】，
方程两边同时乘以得，，
即．
7. 一枝蜡烛长厘米，点燃后每小时燃烧掉厘米，则下列图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度（厘米）与点燃时间（）之间的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意求出关于的函数关系式，再结合函数图象可得答案．
【详解】由题意得，，
与符合一次函数关系，图象为直线，且随的增大而减小，
四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意．
8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，，则（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分得到的长，再由线段垂直平分线的性质可得答案．
【详解】解：∵在矩形中，对角线与相交于点，
∴，
∵垂直平分线段，
∴．
9. 若、均不为0，将下列分式中的和都变为原来的2倍，分式值保持不变的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将分别替换为原来的倍，代入各选项化简后，与原分式对比，即可判断分式值是否改变．
【详解】解：将各选项中换为，换为，依次化简判断：
A．，
分式值改变，不符合题意；
B．，
分式值改变，不符合题意；
C．，
分式值改变，不符合题意；
D．，
替换后与原分式相等，分式值不变，符合题意．
10. 如图，已知直线：与直线：交于点，交轴于点，交轴于点，将线段沿方向平移，当与重合时，线段扫过的面积为（ ）
A. 24B. 12C. 6D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】先分别求出点和点的坐标，得到的长度，根据题意线段扫过的图形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】已知直线为，且交轴于点，
令，解得，所以点的坐标为，
已知直线为，且交轴于点，
令，解得，所以点的坐标为，
所以．
联立直线和直线的方程组。
，
由，得，解得，
将代入中，可得，
∴交点的坐标为，
将线段沿方向平移，当与重合时，点动到点处，如图所示：
∵线段在轴上，且平移方向为，
∴线段扫过的图形是平行四边形，
∵点的坐标为，所以点到轴的距离为，
∴线段扫过的面积为．
第二部分 非选择题（共120分）
注意事项：
1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效．
2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚．
3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
4．本部分共16小题，共120分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 计算__________．
【答案】
【解析】
【分析】先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法即可．
【详解】．
12. 若9名学生的鞋号（单位：码）为：20，21，21，22，22，22，22，23，23，鞋厂最感兴趣的统计量是众数，则这个众数是_________．
【答案】
【解析】
【分析】统计各数据出现的次数，找出出现次数最多的数据即可得到结果．
【详解】解：统计题中各鞋号出现的次数：出现次，出现次，出现次，出现次．
其中出现的次数最多，因此这组数据的众数为．
13. 如图，在中，，点D是的中点，，，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半即可得到答案．
【详解】解：∵在中，∠，，，
∴由勾股定理得，
∵点D是的中点，
∴，
故答案为：5．
14. 若，则_______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了利用完全平方公式进行计算，根据完全平方公式可得，整理即可得解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）．
【答案】①②或①③（填写一组即可）
【解析】
【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键．
根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可．
【详解】解：当选择①；②时，
∵四边形是平行四边形，当，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴均是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形；
当选择①；③时，
∵四边形是平行四边形，当，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形；
当选择②；③，
由于四边形是平行四边形，若或，
均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意；
∴选择①②或①③均可以，
故答案为：①②或①③（填写一组即可）．
16. 若平面直角坐标系中，两点关于过原点的一条直线对称，则这两点就是互为镜面点，这条直线叫镜面直线，如图，和是以为镜面直线的镜面点．
（1）和是一对镜面点，则镜面直线为__________；
（2）以为镜面直线，的镜面点为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）求得线段的中点，然后根据待定系数法即可求得；
（2）设是的镜面点，根据题意可得的中点在直线上，且，据此求得的坐标，即可求解．
【详解】（1）∵和，
∴的中点为，
∵镜面直线经过原点和，
设直线的解析式为，
∴，
∴镜面直线为；
（2）为镜面直线，
设是的镜面点，
∴的中点在上
∴
∴
又∵镜面直线垂直平分
∴
∴
∴
整理得，
又∵
∴
∴
∴
三、解答题：本大题共10小题，共102分．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【详解】解：
．
18. 在平面直角坐标系中，平行于的直线经过点，求这条直线的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】平行直线的一次项系数相等，得到所求直线的一次项系数，再用待定系数法代入已知点坐标求出常数项，即可得到直线解析式．
【详解】解：设平行于的直线解析式为，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴这条直线的解析式为．
19. 如图，四边形和都是平行四边形．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见详解
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，且AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形．
【详解】证明：∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD＝EF，且AD∥EF，
同理可得BC＝EF，且BC∥EF，
∴AD＝BC，且AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形⇔平行四边形，②两组对边分别相等的四边形⇔平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形⇔平行四边形，④两组对角分别相等的四边形⇔平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形⇔平行四边形．
20. 已知是的反比例函数，且当时，．当取何值时，？
【答案】当时，.
【解析】
【分析】设反比例函数的解析式为，代入即可求出反比例函数的解析式，将代入即可．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
时，，
，
反比例函数的解析式为，
把代入，得，
解得，
当时，．
21. 分别在七、八两个年级中各随机抽取了10名学生，统计这部分学生的体能测试成绩，相关数据统计、整理如下：
【收集数据】
七年级10名同学体能测试成绩统计如下：72，83，72，92，79，69，78，85，76，94；
八年级10名同学体能测试成绩统计如下：86，71，93，83，80，74，75，80，76，82．
【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示：
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、方差如表：
【问题解决】根据以上信息完成下列问题：
（1） ； ； ；
（2）请你估计哪个年级的体能测试成绩更稳定，并说明理由．
【答案】（1）2，80，78.5
（2）八年级体能测试成绩更稳定，因为七年级、八年级平均数相等，但八年级的方差比七年级低，成绩更稳定．
【解析】
【分析】（1）根据七年级10名同学体能测试成绩中的个数确定的值，根据平均数和中位数的定义计算、的值；
（2）从平均数、方差两方面分别对比七年级、八年级的成绩，从而确定八年级体能测试成绩更稳定．
【小问1详解】
解：七年级10名同学体能测试成绩统计如下：72，83，72，92，79，69，78，85，76，94；其中有83，85，
∴；
八年级10名同学体能测试成绩统计如下：86，71，93，83，80，74，75，80，76，82．
∴八年级平均数为：；
七年级10名同学体能测试成绩从小到大排序：69，72， 72，76，78，79，83，85，92，94；第5个数、第6个数分别是78，79，
∴；
【小问2详解】
略
22. 某公司现要装配30台机器,在装配好6台以后，采用了新的技术,每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务，问原来每天装配机器有多少台？
【答案】6台
【解析】
【详解】解：设原来每天装配机器x台，依题意得：
解这个方程得：
经检验：是原方程的解
答：原来每天装配机器6台．
23. 如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6．
（1）求值；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数的几何意义，即可求解；
（2）根据（1）得出反比例函数解析式为，进而求得，，直线的解析式为，进而得出，再根据三角形的面积公式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵轴，垂足为，面积为6
∴
∵反比例函数图象在第一象限
∴
∴；
【小问2详解】
解：由（1）可得反比例函数解析式为
∵，在图像上，
∴，，
解得：
∴，
设直线的解析式为，代入，得
，解得：
∴直线的解析式为
当时，
解得：
∴
∴
∴
24. 如图，和都是等边三角形，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：连接，如图，
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【解析】
【分析】连接，根据等边三角形性质可得，，，再证明，所以，，证明为等边三角形，则有，，从而可得 ，因此得，即，又，最后通过平行四边形的判定方法即可求证．
【详解】略．
25. 某数学兴趣小组在学习了三角形的中位线后，决定对三角形的中位线相关的面积问题进一步探究．
（1）【问题探究】如图1，在中，是边上的高，、分别是边和的中点，在内作矩形，点、在边上，若面积为24，．请计算的长和矩形的面积，并猜想面积和矩形面积的关系；
（2）【知识迁移】如图2，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，试说明；
（3）【拓展应用】如图3，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，若，且，，求四边形的面积．
【答案】（1）4；12；；
（2）证明：连接，交于点J，交于点K，
∵点H和点G分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
设点D到的距离为h，由（1）可知点D到的距离为，
∴，，
∴，
同理可得出：，
∵， ，
∴．
（3）48
【解析】
【分析】（1）先利用三角形中位线的判定定理和性质得出，过点A作交的延长线上，设与交点P，再通过矩形的判定和性质得出，根据矩形的面积公式求解，最后由三角形面积和距离的面积猜想出两者的关系即可．
（2）连接，交于点J，交于点K，得出是的中位线，即，设点D到的距离为h，由（1）可知点D到的距离为，根据三角形以及四边形面积公式得出，同理可得出：，进而可得出．
（3）利用中位线的判定和性质进一步证明四边形是菱形，利用菱形的性质求出菱形的面积，再根据结论（2）即可求出答案．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵、分别是边和的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵四边形是矩形，，
∴，
过点A作交的延长线与点，设与交点为P，
则，
∴四边形为矩形，四边形和四边形都为矩形，
∴，，，
∵E为的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积为：，
故猜想：；
∵，，，，
∴．
【小问2详解】
略；
【小问3详解】
解：连接，，，，，，
∵、、、分别是边、、、中点，
∴，，，分别是，，，的中位线，
∴，，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
由（2）的结论可知：．
26. 在一堂数学活动课上，刘老师先引导学生探究了函数增减性的证明：
（1）【类比迁移】请仿照上述方法对函数在范围内随的增大而减小给出证明．
（2）【问题再探】小乐在证明了函数在范围内随的增大而减小之后，发现：因为分母不为0，即，所以函数的自变量取值范围分为和两个部分．于是又尝试证明在时的增减性，他的证明过程如下：
请你判断小乐的证明过程有没有问题？请说明理由．
（3）【拓展运用】探究函数的增减性．
【答案】（1）证明：∵反比例函数，且，
∴对应的函数值为，．
，
∵，；
∴，
则对函数在范围内随的增大而减小．
（2）小乐的证明过程有问题，正确结论为：函数在时，随的增大而减小，理由如下：
当自变量分别取、，且时，对应的函数值分别为、．
它们的差为．
由假设可知，，这样，我们就得到，
所以，亦即．即随的增大而减小．
（3）函数在区间，，上，均随的增大而减小．
【解析】
【分析】（1）根据实例，则对应的函数值为和，即可求得，进一步得到和，则即可判断；
（2）当自变量分别取、，且时，对应的函数值分别为和，则，得到和，则即可判定；
（3）当自变量分别取、时，对应的函数值分别为和则化简，结合分式分母不为零解得，分、和分别对应求得代数式、、和与零的关系，得到即可判定增减性．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解：当自变量分别取、时，对应的函数值分别为、．
则
，
∵，
∴，
当时，
则，，，，
∴；
当时，
则，，，，
∴；
当时，
则，，，，
∴；
综上所述，函数在区间，，上，均随的增大而减小．
成绩
七年级
1
5
2
八年级
0
4
5
1
年级
平均数
中位数
方差
七年级
80
c
64.4
八年级
80
37.6
探索函数增减性的证明
我们知道，要比较、两个数的大小，可以先求出它们的差．若，则；若，则；若，则．
根据这一事实，可以证明一次函数的增减性：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
证明：设一次函数，当自变量分别取、，且时，对应的函数值分别为，．它们的差为．
由假设可知，，这样，我们就得到如下结论：
①当时，，即，亦即．即随的增大而增大；
②当时，，即，亦即．即随的增大而减小．
证明：当自变量分别取、，且时，对应的函数值分别为、．
它们的差为．
由假设可知，，这样，我们就得到，
所以，亦即．即随的增大而增大．