广东省深圳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份广东省深圳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了 考试结束后，考生上交答题卡等内容，欢迎下载使用。
1. 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.
2. 答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.
3. 作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.
4. 非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和 涂改液.
5. 考试结束后，考生上交答题卡.
一 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1. 已知集合A=[-1,4],B={x|x²>9}, 则 A∩B=( )
A.[3,4] B.[-3,4] C.[-1,3] D.(-3,-1)
2. 若复数z 满足z(1+i)=1, 其 中i 为虚数单位，则|z|=( )
A.1 C.√2 D.√3
3. 已知平面向量a=(1,-2),b=(2,1) 共线，则实数1的值为( )
A.1 B.-1 C.-4 D.
4. 已知抛物线y²=4x 的焦点为F, 点 P 在抛物线上，且|PF|=5, 则P 的横坐标为( )
A.2 B.4 C.5 D.6
5. 下列函数为奇函数，且在(1,+∞)上单调递增的是( )
A.f(x)=x(x-1) B.f(x)=sinxcsx
C. D.
6. 已知数列{a,} 与{bₙ3分别满足aₙ=2”,bₙ=2n(n∈ N'), 则集合{k|a=b,k∈N"} 的
元素个数为( )
A.0 B.1 C.2 D. 无数个
7. 将一个边长为1的正方形C₁ 各边中点依次连接，得到一个新正方形C₂, 再将C₂ 中点依
次连接得到正方形C₃, 如此重复. 记正方形C, 的周长为an, 则a₅=( )
B.1 C.√2 D. 2
8. 已知椭圆 ( a>b>0) 的左右焦点分别为F,F₂, P 是 C 上一 点.若
(0为坐标原点),则C 的离心率为( )
A. B. D.
二 、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 为调查某校高二年级学生的每日睡眠时间(单位：小 时),现随机抽取100名学生，记录其睡眠时间并绘 制频率分布直方图(如图).根据以上信息，下列说 法正确的是( )
A. 样本中睡眠时间在(7.5,8)内的人数约为30
B. 样本中睡眠时间的众数约为7.75
C. 样本中睡眠时间的中位数落在区间(7.5,8)内
D. 若将样本中睡眠时间为(7.5,8)内的数据去掉，则
题 9 图
剩余数据的方差将变小
10. 已 知 1 ,m 是两条不同的直线， α,β是两个不同的平面， a∩β=1,mca, 则下 列说法正确的是( )
A. 若 m//L, 则m/lβ
B. 若m ⊥1, 则m ⊥ β
C. 平面β内存在与m 异面的直线
D. 平面β内存在与m 垂直的直线
11. 已知函数f(x)=sin wx+cs ax(@>0), 则下列说法正确的是( )
A. f(x) 的最大值为√2
B. 若 f(x) 的最小正周期为π,则w=2
C. 若 f(x) 的一个对称中心为 , 则w=1
D. 若 f(x) 在区间内有个2零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 在二项式 的展开式中，常数项为 _
13. 已知圆O:x²+y²=4 与圆M:(x-2)²+(y-2)²=r²(r>0)相交于A,B 两点，且 MA · MB= 0, 则r= ·
14. 在△ABC中 ，D 为BC 边的中点，BC=2,AD=√2 , 则csA 的最小值为 ·
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 . (13分)
已知数列{an}的前n 项和为Sn, 且满足Sₙ=2a-2(n∈N).
(1)求{an}的通项公式；
(2)设 , 求数列{bₙ} 的前n 项和Tn.
16 . (15分)
如图，在三棱锥P-ABC 中 ，PA⊥平面ABC,AB=BC=1,∠ABC=90°,PA=2.
(1)求证： BC⊥ 平面PAB;
(2)求平面PAC 与平面PBC 夹角的余弦值.
题16图
17 . (15分)
已知函数f(x)=e×-ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x) 的极值点的个数；
(2)若xf(x)≥a(Inx-x²+x) 在x ∈(0,+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围.
18 . (17分)
已知双曲线C: (a>0,b>0) 的实轴长是虚轴长的2倍，焦距为2√5.
(1)求C 的标准方程；
(2)设A, B 是C 上关于y 轴对称的两点，P 是C 上异于A,B 的一点.直线PA,PB 的斜率均存在且不为0,且分别与y 轴交于M,N 两点.
(i) 若A,B在x 轴上，求|MN| 的取值范围；
(ii) 设0为坐标原点，证明： |M|·|ON| 为定值.
19 . (17分)
一箱子中共有5件大小形状质地完全相同的产品，其中3件次品，2件正品.从箱子中
一次随机取出两件产品进行检测，如果检测出的产品是正品，则将它放回箱子中；如果检测 出的产品是次品，则不放回箱子中，另补相同数量的正品放入箱子中.重复进行上述操作n 次后，箱子中正品的件数记为Xn.
(1)求恰好2次操作后，箱子中产品全为正品的概率；
(2)求随机变量X₂ 的分布列；
(3)求E(Xn ).
试卷类型：A
2025-2026学年第二学期期末高二数学答案
2026.7
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1. 答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题 卡上。用2B 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上 角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
第11题解答：
A:f(x) 最大值为 √2,正确：
B: 最小正周期 得到w=2, 正确；
C: 因为 , 所以w=1-4k(k∈ Z), 错误；
D: 因为.,所!,于是y=sint 在区间)内有2 个零点，于是 ,解得则 ,正确；
2025年罗湖区普通高中高二年级期末考试数学试题 第1页共7页
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
B
C
C
B
D
题号
9
10
11
答案
ABC
ACD
ABD
故正确选项为ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.-160 13.2 143 第14题解答：
设AB=c, AC=b,BC =a=2,BD=DC=1,
在△ABC中，因为,所以
即 8 =b²+c²+2bccsA,
由余弦定理得4= a²=b²+c²-2bccs A, 所以b²+c²=6, bccsA=1,
所以 当且仅当b=c=√3 时取等，
故cs A的最小值为 ·
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 . (13分)
已知数列{aₙ} 的前n项和为S, 且满足Sₙ =2a-2(n∈N').
(1)求{a,} 的通项公式；
(2)设 ,求数列{b }的前n 项和Tn. 【解析】(1)由Sₙ=2a-2,
an=a₁·2”⁻¹=2”;
故{an}的通项公式为 a=2”(n∈N). …… … … … …… …2 分
(2)由(1)知a=2”, 则lg₂an=lg₂2"=n, … … ………2 分
于是, ……………………………………………………………2分
因此 ……………… ………………………2分
故{b,}的前n 项和为
2025年罗湖区普通高中高二年级期末考试数学试题 第2页共7页
当n=1 时，a₁=S₁=2a- 2 得到a₁=2 ; …… …
…1 分
当n≥2 时，an=Sₙ-Sn₋1=(2an-2)-(2an-1-2)=2a-2a-1, ……
…
…2 分
即a=2a,-2an₋1, 整理得a=2an₋1, … … …
…1 分
因此{an}是公比为2的等比数列，… …
… 1 分
16 . (15分)
如图，在三棱锥P-ABC 中 ，PA⊥平面ABC,AB=BC=1,∠ABC=90°,PA=2.
(1)求证：BC⊥平面PAB:
(2)求平面PAC 与平面PBC 夹角的余弦值.
(1)【证明】因为PA⊥平面 ABC,
BCC 平面ABC, …… … … 1 分
所以PA⊥BC,…… … … … … 1 分
又因为∠ABC=90°,AB⊥BC,… ……----→B1 分
而AB∩PA=A,A BC 平面PAB,PAC 平面PAB, …… … …………2 分
所以BC⊥平面PAB:………… … … … ……… 1 分
(2)【解析】
因为PA⊥平面ABC,AB⊥BC,
所以可以点B 为原点，BA,BC 分别为x 轴与y 轴建立如图空间直角坐标系. ………1分
B(0,0,0),A(1,0,0),P(1,0,2),C(0,1,0),
所以AP=(0,0,2),BC=(0,1,0),BP=(1,0,2),AC=(-1,1,0).…… … …1 分
设平面PAC 与平面PBC 法向量分别为m=(a,b,c),n=(x,y,=),
由 得到 令a=1 得m=(1,1,0),…… ……
由 得到 , 令x=2 得n=(2,0,-1),… ……………-
, ………………………… ………………………2分
所以平面PAC 与平面PBC 夹角的余弦值为 ……………… ………………………1分
17 . (15分)
已知函数f(x)=eˣ- ax(a∈ R).
(1)讨论函数f(x) 的极值点的个数：
(2)若xf(x)≥a(lnx-x²+x) 在x∈(0,+c) 上恒成立，求实数a 的取值范围.
【解析】(1)函数定义域为R,f'(x)=eˣ-a,… … ……1 分
①当a≤0, 方f'(x)>0 恒成立，f(x) 在R 上单调递增，无极值点；…… ………1分
②当a>0, 令 f'(x)=0, 得x=Ina, ……… … …… … …………1 分
当x0,
故Ina 是f(x) 的唯一极小值点，即极值点个数为1: ……… …… … 2分
综上，当a≤0 时 ，f(x) 在R 上无极值点；当a>0 时 ，f(x) 在R 上有1个极值点. …1分
(2)因为xf(x)-a(Inx-x²+x)=xeˣ-ax-alnx≥0,
记F(x)=xe*-ax-al nx 1分
(方法一)
① 当a0时，由(1)知，存在唯一的x₀ ∈(0,+),使得a=x₀eˣ 1分 且F(x)在x₀处取最小值 1分 F(x₀)=x₀eˣ0- ax₀-alnx₀=a-alna 1分 所以a-alna≥0,解得a≤e; 1分
综上a的取值范围为[0,e] 1分
(方法二)
由F(x)=xeˣ-ax-al nx=xeˣ-aln(xe*) 1分 令t=xe,则1>0,且x∈(0,+∞)时， t∈(0,+c) 1分 于是f(x)≥0恒成立等价于t-alnt≥0对任意1>0恒成立 1分 当a=0时，1>0恒成立；当a0时，则t-alnt≥0等价于
, 则 …………………………………………………………… 1 分
当00) 的实轴长是虚轴长的2倍，焦距为2 √5.
(1) 求C的标准方程：
(2) 设A,B是C上关于y轴对称的两点， P是C上异于A,B的 一 点.直线PA, PB斜率均存在且不为0,与y轴分别交于M,N两点.
(1) 若A,B在x轴上，求|MN|的取值范围；
(li)设0为坐标原点，证明： |0M| · |ON|为定值.
【解析】(1)依题意，2a=2×2b,即a=2b 1分 又焦距为2c=2 √ 5,所以a²+b²=5 1分 解得a²=4, b²=1 2分
2025年罗湖区普通高中高二年级期末考试数学试题 第4页 共7页
所以C 的标准方程为 …………………… ………………………………………1分
(2)(1)由己知A(2,0),B(-2,0),……… …1 分 设P( x₁,y₁), 直线PA,PB 的斜率分别为k₁,k₂,
,……… … ……………………………1分 设M, N 两点的纵坐标分别为YM,yn,
则yA=-2k₁,yx=2k₂, … … … … … …1 分
MN|=2|k₁+k₂|>4√k₁k₂=2, … … … … …… … …1 分
所以 M|N|的取值范围为(2,+0).
(li) 【证明】由双曲线的对称性，不妨设A(x,y%),B(-x,y),x₀≥2 , … …1 分
设P(x₁,y₁),x₁≠±x₀ , 则直线PA方程为 … … … … … … … 1分 令x=0 得， , …………… ……………………… …… … 1 分 同理可得，,…………………………………………………………………1分
因为 ……… … …… ………… …… … … 1 分
………… ……… ………………1分
所以|OM|·|ON|=|1Myv|=1 为定值.…
…………………
…
……………………
… … …
… 1 分 ……1分
19 . (17分)
一箱子中共有5件大小形状质地完全相同的产品，其中3件次品，2件正品，.从箱子中 一次随机取出两件产品进行检测，如果检测出的产品是正品，则将它放回箱子中：如果检测 出的产品是次品，则不放回箱子中，另补相同数量的正品放入箱子中.重复进行上述操作n次 后，箱子中正品的件数记为Xn.
(1)求恰好2次操作后，箱子中产品全为正品的概率；
(2)求随机变量X₂ 的分布列；
(3)求E(X n).
(1)设“恰好2次操作后箱子中产品全为正品”为事件A,… …… 1 分
根据操作的规定，事件A 发生即2次操作，其中1次取出1正品1次品，另一次取出2次 品，…… ……………… ……… ………… …… … ……… … … 1 分
所以 ………… …… …… …… …2分
(2)操作2次后， X₂ 的可能取值为2,3,4,5,…… …… 1分
…………… ……… ……… ……… … 1分
, ………………………………………… · 1分
… …… ………………1分
, …… ………………………… · 1分 所以X₂ 的分布列为：
……… … ……… …… 1分
(3)(方法一)
记执行上述操作n 次后，箱子中正品的件数为Xn, 设P(Xn=k)=P k, k=2,3,4,5,
则p₂+P₃+P₄+Ps=1 ,… … …1 分
E(Xn) =2 p₂+3p₃+4p₄+5ps, … … … ……1 分
,… … …… … 2 分
所以
X₂
2
3
4
5
P
2(p₂+P₃+P₄+Ps)
所以{E(x )-5} 是以为首项，为公比的等比数列，
所以
……………………………………………………
.
所以
… … 1分
… … … … 1分
……………1分
……
…… ………
所以
,
所以
……………… …
……… …… ………………
2025年罗湖区普通高中高二年级期末考试数学试题 第7页共7页