广东省深圳市2022-2023高二下学期期末数学试卷+答案

试卷类型：A

2023年深圳市普通高中高二年级调研考试数学

本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数（    ）

A.    B.    C.    D.

3.已知，则（    ）

A.    B.    C.    D.

4.已知，若，则（    ）

A.1    B.-1    C.4    D.-4

5.白酒又名烧酒､白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.若正实数满足，则下列不等式恒成立的为（    ）

A.    B.

C.    D.

7.已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知点在直线上运动，若过点恰有三条不同的直线与曲线相切，则点的轨迹长度为（    ）

A.2    B.4    C.6    D.8

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分.已知各位评委对某名选手的打分如下：

则下列结论正确的为（    ）

A.平均数为48    B.极差为9

C.中位数为47    D.第75百分位数为51

10.已知函数的图像关于直线对称，则（    ）

A.

B.在区间单调递减

C.在区间恰有一个极大值点

D.在区间有两个零点

11.已知抛物线的焦点为，淮线为，过的一条直线与交于，两点，若点在上运动，则（    ）

A.当时，

B.当时，

C.当时，三点的纵坐标成等差数列

D.当时，

12.在四面体中，有四条棱的长度为1，两条棱的长度为，则（    ）

A.当时，

B.当时，四面体的外接球的表面积为

C.的取值范围为

D.四面体体积的最大值为

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.的展开式中常数项为__________（用数字作答）.

14.记为等比数列的前项和，若，则__________.

15.已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为__________.

16.已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为__________；如果直线与相交于点，则的最小值为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知数列满足.

（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

18.（12分）

记的内角的对边分别为，且.

（1）求；

（2）若，且，求的面积.

19.（12分）

如图，已知三棱锥的三个顶点在圆上，为圆的直径，是边长为2的正三角形，且平面平面.

（1）证明：平面平面；

（2）若，点为的中点，点为圆上一点，且与位于直径的两侧，当平面时，求平面与平面的夹角的余弦值.

20.（12分）

甲参加某多轮趣味游戏，在两个不透明的盒内摸球.规定在一轮游戏中甲先在盒内随机取出1个小球放入盒，再在盒内陏机取出2个小球.若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量始终如下表（小球除颜色外大小质地完全相同）：

（1）求在一轮游戏中甲从两盒内取出的小球均为白球的概率；

（2）已知每轮游戏的得分规则为：若从盒内取出的小球均为红球，则甲获得5分；若从盒内取出的小球中只有1个红球，则甲获得3分；若从盒内取出的小球没有红球，则甲获得1分.

（i）记甲在一轮游戏中的得分为，求的分布列；

（ii）假设甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为，求.

21.（12分）

已知.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

22.（12分）

已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.

（1）求的方程；

（2）设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与圆分别交于两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围.

2023年深圳市高二年级下学期期末调研考试

数学试题参考答案及评分标准

2023.7

本试卷22小题，满分150分.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

8.解：设点，过点的直线与曲线相切于点，

的方程为，

，化简得，

设，

在区间上单调递减，在区间上单调递增，

若过点恰有三条不同的直线与曲线相切，

满足条件的恰有三个，，即，则点的轨迹长度为8.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

11.解：（1）考查选项：由抛物线定义可知，若，则，故选项正确；

（2）考查选项：当时，为正三角形，直线的倾斜角为，

设直线的方程为，

由可得，

，故选项B错误；

（3）考查选项：过点作直线垂直于，垂足分别为，由（2）可知，

作的中点，

由定义可知为的中点，

三点的纵坐标成等差数列，故选项正确；

（4）考查选项：设，直线的斜率为，直线的斜率为，

则，由（2）可知，

由（3）可知，

又，且，

由基本不等式可得，

故选项D正确.

12.解：（1）考查选项：当时，易知与为等腰三角形，作中点，

平面，故选项正确；

（2）考查选项：当时，易知四面体的所有对棱相等，可将四面体补为长方体，其中四面体的各条棱为该长方体各面的对角线，

四面体的外接球即为该长方体的外接球，

设该长方体的三条棱的长度分别为，则，

将三式相加可得外接球的半径为，

四面体的外接球的表面积为，故选项B正确；

（3）考查选项C：此时有两种情况，

当时，作的中点，

则在中由三角形性质可得；

当时，作的中点，

则在中由三角形性质可知，故选项错误；

（4）考查选项D：当时，若四面体的体积最大时，则底面上的高为1，

即平面，此时四面体体积的最大值为，

当时，由（3）可知此时，则的面积为，

四面体的体积为，

，设，

由单调性可知当时，的最大值为四面体体积的最大值为，

又四面体体积的最大值为，故选项D正确.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.15    14.31    15.    16.，.

16.解：设为中点，则点的轨迹方程为，

，则最大值为，且过定点过定点，

点的轨迹为，

，

，

的最小值为.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.解：（1）证明：，

数列是以1为首项，1为公差的等差数列，

，则.

（2），

，

.

18.解：（1）由正弦定理及条件，得，

又，

，

，

.

（2）记的面积为，由余弦定理，

及，可得，

将代入上式，得，故，

.

19.证明：（1）作的中点为等边三角形，，

平面平面，平面平面平面，

平面，

为圆的直径，，

又平面，

平面平面平面.

（2）（法一）由三角形中位线的性质可知，

又平面平面平面，

平面平面平面，

平面平面，平面平面，

由题可知，取中点连接，则平面平面，

由（1）可知平面，如图1建立空间直角坐标系，

，

，

设平面的一个法向量，则

令，则，

由（1）可知平面的一个法向量，

设平面与平面的夹角为，

则，

平面与平面的夹角的余弦值为.

（法二）由，取中点连接，则，

平面平面，由（1）可知平面，如图1建立空间直角坐标系，

，

令，而平面的一个法向量，

在平面内，圆的方程为，且平面，

，则，

，

设平面的一个法向量，则

令，则，

由（1）知平面的一个法向量，

设平面与平面的夹角为，则，

平面与平面的夹角的余弦值为.

（法三）如图2，由三角形中位线的性质可知，

又平面平面，

平面平面，

平面平面，

平面平面，

平面平面，

由题可知，取中点连接，

则平面平面，

由（1）可知平面，连接，过点作，

为的中点，且平面，

平面，过点作，垂足为，连接，

平面，则为平面与平面的夹角，

在中，，

由勾股定理可得，

平面与平面的夹角的余弦值为.

20.解：（1）记“在一轮游戏中甲从两盒内取出的小球均为白球”为事件，

由条件概率可知，

在一轮游戏中甲从两盒内取出的小球均为白球的概率为.

（2）（i）由题可知可以取，

，

，

，

随机变量的分布列为

（ii）由（i）可知，

每轮游戏的结果相互独立，且甲共参加了5轮游戏，

.

21.解：（1），

当时，由，解得，由，解得，

当时，由，解得，由，解得，

当时，的单调增区间为，单调减区间为，

当时，的单调增区间为，单调减区间为.

（2）由，得，……①

（法一）令，则，

当时，不满足条件，不成立，

当时，令，

当时，，

，使得，即，

当时，，当时，，

在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，取得最小值，

由，取对数得，则，

要使不等式①恒成立，需，解得，

实数的取值范围是.

（法二）由（1）解得，令，

则，

令在区间上单调递减，

，

，使得，即，

且当时，，当时，，

在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，取得最大值，

由，得，则，

实数的取值范围是.

（方法三）先证明不等式（等号在时取得）成立，

设，则，

当时，时，，

，即不等式成立，

则，

根据法二的证明，（评分标准参照法二）

存在实数使得成立，则上式等号能够取得，的最大值为，

因此，实数的取值范围是.

22.解：（1）考虑右焦点到一条渐近线的距离，

由题可知的一条渐近线方程为，右焦点为，

右焦点到渐近线的距离，

，则依题意，

由离心率，有，解得，

双曲线的方程为.

（2）设直线的方程：，

由得，

要使直线与双曲线的右支交于两点，

需解得

点坐标为，

，

将代入，

得

.

设，且，

，即，故，

，

由，得，

，同理可得，

由得，

，同理可得，

令，由，

得，

令，

在区间上为增函数，所以的取值范围为，

的取值范围为.