2026年中考数学真题完全解读（安徽卷）

这是一份2026年中考数学真题完全解读（安徽卷），共9页。

试题分析
2026 年安徽省中考数学试卷延续‘10+4+9’的稳健结构，共 23 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。全 卷以基础性考查为底色，兼顾综合、应用与创新，试题编排由易到难、层次分明。选择题第 1~8 题和填空 题第 11~13 题主要覆盖数与式、方程、函数基础、统计概率与简单几何，侧重概念理解与基本运算；第 9、 10 题和填空第 14 题开始提升综合度，将函数图象、几何动态、实际情境与优化思想融为一体。解答题第 15~18题聚焦计算、作图、方程组与统计推断，强调规范表达；第 19~20 题以解直角三角形和圆的综合证明为载 体，考查模型建构与推理论证；第 21 题以‘一类勾股数有序表示’为项目主题，通过规律探究、反例验证考
查数学抽象与探究能力；第 22 题在三角形中设置全等、相似与线段关系的多重证明；第 23 题以抛物线为主线，结合整数点计数与分类讨论，承担压轴区分功能。整体而言，本卷突出安徽卷‘情境贴近生活、传统文化与科技成就并重、压轴强调思维过程’的命题特色，对运算能力、几何直观、推理能力、模型观念和应用意识均有较全面的考查。
试题亮点
科技成就与传统文化双线融入，彰显安徽卷的育人底色：第 2 题以我国科学家开发的天文模型‘星衍’探测
130 亿光年外星系为情境，考查科学记数法，将国家科技成就与基础运算自然结合；第 13 题取材中国古代数学典籍《九章算术》中的‘开平方’与‘开立方’算法，让学生在概率计算中感受传统数学文化。两道题一文一理，体现安徽卷对科技自信与文化传承的双重关注。
真实情境与项目式学习并重，应用意识考查常态化：第 14 题以机器人在矩形轨道上匀速运动为背景，通
过函数图象分析最远距离与最短路径方案，融合函数、几何与优化思想；第 17 题以广告公司设计文艺海报
为情境，用二元一次方程组解决矩形面积问题；第 19 题通过测量湖中小岛距离，将解直角三角形融入综合
实践活动；第 21 题则以‘一类勾股数有序表示’为项目主题，设置规律探究、序号定位与猜想反驳，全面考查探究能力。
压轴题淡化复杂计算、强化思维过程与分类讨论：第 10 题以两个等腰直角三角形的叠放为素材，通过全
等、相似、垂直平分线与等腰直角三角形的多重判定设置选项，推理链长、区分度高；第 22 题在三角形中
设置线段关系证明与比值计算，需要构造辅助线并灵活转化；第 23 题抛物线压轴题围绕顶点坐标、参数求解与线段上整数点个数展开，是对逻辑推理、数学运算与创新意识的综合检验。
命题趋势
基础题‘送分到位’但概念理解要求更深，拒绝机械刷题：安徽卷第 1~8 题选择题和第 11~13 题填空题总体保持较低难度，但第 4 题将合并同类项与幂的运算法则综合判断，第 7 题通过一元二次方程根的判别式 求参数值，均要求学生真正理解概念本质而非仅凭题型记忆得分。未来安徽中考将继续以基础题为基本盘，但在数的运算、方程与函数基础性质等位置可能设置更多‘反套路’设计，复习时应回归教材、夯实概念。
真实情境与项目式学习将持续入题，应用意识考查常态化：本卷第 2 题科技情境、第 14 题机器人轨道、
第 17 题海报设计、第 19 题测距实践、第 21 题勾股数项目式学习，共同构成安徽卷‘数学服务生活’的鲜明导向。预计未来安徽卷将继续选取具有地方辨识度或国家重大成就背景的素材，引导学生在真实情境中建立数学模型，复习中应重视阅读提取、数学建模与结果解释能力的训练。
几何综合与函数综合仍是中高档题的区分主战场：第 9 题一次函数与反比例函数综合、第 10 题等腰直
角三角形叠放、第 20 题圆与平行四边形/切线/正方形的综合证明、第 22 题三角形中的全等与相似、第 23题抛物线与整数点讨论，体现了安徽卷在几何直观、数形结合和分类讨论上的持续要求。未来中高档题将进一步强化多知识点交叉与思维过程呈现，复习时应注重通性通法和一题多解。
传统文化与数学文化素材或将持续增加，考查数学史与数学思想：第 13 题《九章算术》的引入不是简单的文化标签，而是将‘开平方’‘开立方’算法作为概率样本空间的真实构成，要求学生理解古代算法名称并计算概率。第 21 题勾股数项目式学习也体现了对数论文化与探究精神的关注。预计未来安徽卷会继续挖掘中国传统数学与世界数学文化资源，复习时可适当拓展数学史与数学思想方法。
考点细目表
题号
题型
分值
具体考点
关键能力
1
单选
4
数与式→有理数→有理数的大小比较
运算能力
2
单选
4
数与式→科学记数法→用科学记数法表示较大的数
运算能力、应用意识
3
单选
4
图形的变化→投影与视图→简单几何体的主视图
空间观念、几何直观
单选4
单选4
单选4
单选4
单选4
数与式→整式与幂的运算→合并同类项与同底数幂的运算
统计与概率→统计量→ 中位数的计算
图形的性质→三角形→等腰直角三角形与含 30°角直角三角形的性质
方程与不等式→一元二次方程→根的判别式与参数求解
图形的性质→ 圆与正方形→切线性质与阴影面积计算
运算能力
数据观念、运算能力推理能力、运算能力
运算能力、推理能力
几何直观、运算能力
考点模块占比分析
数与式模块（约 25% ，25 分）：重点考查有理数比较、科学记数法、幂的运算、因式分解与实数混合运算，对应第 1 、2 、4 、11 、15 题。该模块是稳定得分的基础，强调概念准确与运算规范。
函数模块（约 15% ，23 分） ：重点考查一次函数与反比例函数综合、函数图象实际应用及二次函数综合，对应第 9 、14 、23 题。其中第 23 题作为压轴题，突出数形结合与分类讨论。
图形的性质模块（约 41% ，43 分）：重点考查三角形、四边形、圆的性质与推理，以及多边形外角、圆的切线与正方形判定，对应第 3 、6 、8 、10 、12、20 、22 题。该模块分值最高，是思维深度与推理能力的主要载体。
9
单选
4
函数→一次函数与反比例函数→函数图象交点与线段比例
数形结合、运算能力
10
单选
4
图形的性质→三角形综合→等腰直角三角形、全等、相似与垂直平分线
推理能力、几何直观
11
填空
5
数与式→因式分解→平方差公式分解因式
运算能力
12
填空
5
图形的性质→ 多边形→正五边形的外角与邻补角
几何直观、推理能力
13
填空
5
统计与概率→概率→简单随机事件的概率
数据观念、应用意识
14
填空
5
函数→函数图象与实际应用→函数图象分析、路径优化与计数
模型观念、应用意识
15
解答
8
数与式→实数运算→零指数幂、二次根式、特殊角三角函数值的混合运算
运算能力
16
解答
8
图形的变化→ 图形变换→轴对称、平移与旋转作图及坐标表示
几何直观、空间观念
17
解答
8
方程与不等式→二元一次方程组→列二元一次方程组解决实际问题
模型观念、运算能力
18
解答
8
统计与概率→统计图表与统计量→扇形统计图、样本容量与加权平均数
数据观念、应用意识
19
解答
10
图形的变化→解直角三角形→方位角与解直角三角形的实际应用
模型观念、运算能力
20
解答
10
图形的性质→ 圆与四边形→圆的切线、圆周角定理与正方形的判定
推理能力、几何直观
21
解答
12
综合与实践→规律探究→勾股数的有序表示、序号规律与反例验证
抽象能力、推理能力、创新意识
22
解答
12
图形的性质→三角形综合→全等三角形、相似三角形与线段关系证明
推理能力、几何直观
23
解答
14
函数→二次函数→抛物线顶点、参数求解与整数点分类讨论
运算能力、推理能力、创新意识
图形的变化与综合实践模块（约 20% ，30 分）：重点考查投影与视图、图形的轴对称平移旋转、解直角三角形应用及项目式学习，对应第 16 、19 、21 题。项目式学习题体现探究性与开放性。
统计与概率模块（约 11% ，17 分）：重点考查中位数、简单概率、扇形统计图与加权平均数，对应第 5、 13 、18 题。强调数据观念与用样本估计总体的统计思想。
核心复习策略
夯实基础， 回归教材概念本质
优先梳理数与式、方程、函数基础性质、统计量等核心概念，确保第 1~8 题、第 11~13 题等基础题得分稳定。复习时不要只记题型套路，要理解概念本质，如幂的运算法则、一元二次方程根的判别式、中位数与众数的区别等。
重视教材例题与课后习题的变式训练，尤其关注教材中涉及传统文化、科技情境和地方特色的素材，培养从熟悉情境中快速提取数学信息的能力。
强化几何直观与推理表达
系统复习三角形、四边形、圆的核心性质与判定定理，强化全等、相似、勾股定理、圆周角定理、切线性质的综合运用。对第 8 、10 、20 、22 题等几何综合题，要注重画图、标注、找关系、写依据的完整推理链。
加强动态几何与辅助线构造训练，学会从特殊到一般、从静态到动态分析图形变化，提升在复杂图形中识别基本模型的能力。
提升综合应用与分类讨论能力
针对函数综合、项目式学习、解直角三角形应用等题型，训练‘阅读—建模—求解—解释’的完整过程。对第 14、17 、19、21 题等实际应用题，要强化变量识别、关系建立和结果合理性检验。
对压轴题和开放性设问，培养分类讨论、举反例、数形结合等思维策略。复习中可专门训练整数点计数、存在性判断、猜想验证等探究型问题，做到会分析、敢下笔、表达规范。
避坑提醒（考试最易踩的雷）
×只刷难题忽视基础：基础题失分最不划算。
×只背模板不理解原理：新情境下必须依靠理解迁移。
×做题不复盘：错题复盘的价值远大于机械刷题。
×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。
单选题
．下列比 0 小的数是()
A ．2B ．0C ．−2D．6
命题透视
核心考点： 有理数的大小比较
命题分析：
情境创设：以四个数（含负数、0、正数）的大小判断为背景，直接考查负数小于 0、正数大于 0 的基本事实。
问题设计：通过‘ 比 0 小’这一限定条件，要求学生从选项中准确识别负数，属于概念直接应用型选择题。
考查目标：考查学生对有理数分类与大小关系的理解，侧重运算能力与数感。
答案与解析
【答案】C
【详解】解：由题意得，−2 < 0 < 2 < 6，
∴比0小的数是−2．
知识总结
① 核心概念：在数轴上，左边的数小于右边的数；负数小于 0，0 小于正数。② 解题要点：先判断各选项的符号，再依据‘ 比 0 小即负数’快速锁定答案。③ 易错提醒：不要混淆‘ 比 0 小’与‘绝对值小’，负数的绝对值越大，其值反而越小。
．《科学》杂志近期发表的一项成果显示，我国科学家开发出的天文AI模型“星衍”，可探测到距地球超过 130
亿光年的星系，其中 130 亿用科学记数法表示为( )
A ．0.13 × 1010B ．1.3 × 1010C．1.3 × 109D ．13 × 109
命题透视
核心考点： 科学记数法
命题分析：
情境创设：以我国天文模型‘星衍’探测 130 亿光年外星系为真实科技情境，要求用科学记数法表示 130 亿。
问题设计：将大数改写与科技成就结合，考查科学记数法的标准形式及单位换算。
考查目标：考查学生用科学记数法表示较大数的能力，同时渗透科技成就与家国情怀。
答案与解析
【答案】B
【分析】科学记数法的形式为 × 10 ，要求满足1 ≤ | | < 10， 为整数，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，130 亿 = 13000000000 = 1.3 × 1010．
知识总结
① 核心概念：科学记数法表示为 a×10^n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数。② 解题要点：将 130 亿写成 13000000000，再确定 a=1.3、n=9。③ 拓展关联：科学记数法常与纳米、光年、GDP、人口等国家数据结合，注意单位换算与指数准确性。
．一个几何体如图水平放置，其主视图是( )
B．
C．
A．D．
命题透视
核心考点： 简单几何体的三视图（ 主视图）
命题分析：
情境创设：给出一个水平放置的几何体，要求判断其主视图。
问题设计：通过实物图或示意图考查学生从不同方向观察几何体并绘制视图的能力。
考查目标：考查空间观念与几何直观，要求学生能想象并识别几何体的正投影。
答案与解析
【答案】D
【详解】该几何体的主视图如图所示．
知识总结
① 核心概念：主视图是从几何体正面观察得到的平面图形。② 解题要点：分清几何体的前后、上下、左右位置，注意可见轮廓线与不可见轮廓线的表示。③ 拓展关联：三视图常与展开图、表面积、体积综合考查，复习时可结合常见柱体、锥体、球体进行归类。
．下列各式中，计算结果等于2 的是( )
A ． + B ．3−C ．(−) ⋅ (−)D．(−)6 ÷ (−)3
命题透视
核心考点： 合并同类项与幂的运算
命题分析：
情境创设：以四个代数式的运算结果为选项，要求找出等于指定结果（如a^3）的式子。
问题设计：将合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除等法则放在同一题中辨析。
考查目标：考查学生对幂的运算法则与合并同类项法则的准确掌握，突出运算能力。
答案与解析
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则与幂的运算法则逐项计算判断即可．
【详解】解：A 、 ∵+= 2 ，2 ≠
2，
∴ 该选项不符合题意；
B、 ∵ 3与 不是同类项，不能合并，
∴ 该选项不符合题意；
C、 ∵ (− ) ⋅ (− ) = (−1) × (−1) ⋅⋅=
2，
∴ 该选项符合题意；
D、 ∵ (− )6 ÷ (− )3 = (− )3 = − 3 ≠
∴ 该选项不符合题意．
2，
知识总结
① 核心法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项只把系数相加减。② 解题要点：逐项计算并判断，切忌将指数运算与乘法运算混淆。③ 易错提醒：a^m ·a^n=a^(m+n)， (a^m)^n=a^(mn)，a^m+a^n 不能合并。
．已知一组数据：1 ，2 ，9 ，5 ，2 ，3 ，6 ．该组数据的中位数是( )
A．2B ．3C．4D．5
命题透视
核心考点： 中位数
命题分析：
情境创设：给出一组具体数据，要求计算其中位数。
问题设计：先排序再按中位数定义求解，数据个数为奇数，中位数为最中间的那个数。
考查目标：考查数据观念与运算能力，要求学生理解中位数的统计意义。
答案与解析
【答案】B
【分析】先将数据从小到大排序，再根据中位数的定义求解即可．
【详解】将原数据按从小到大排序，得1 ，2 ，2，3 ，5 ，6 ，9，
∵ 该组数据共有7个，为奇数个，
∴ 中位数为排序后第4个数据， 第4个数据为3，
∴ 该组数据的中位数是3．
知识总结
① 核心概念：将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数（奇数个）或中间两个数的平均数（偶数个）叫做中位数。② 解题步骤：排序→定位→取值。③ 拓展关联：中位数、众数、平均数的区别与联系，结合扇形图、条形图、折线图进行综合考查。
6．两个直角三角板如图摆放，其中∠ = ∠ = 90°, ∠ = 60°, ∠ = 45°, ⊥ , 边分别
∴ ∠= 90°−60° = 30° 即∠
∴62 +2 = (2)2，
= 30° ,
在Rt △
中，∠
= 90° ,
∴= 2
，
根据勾股定理得
2 +
2 =2 ，
= 60° ,
= 90°, ∠
在Rt △中，∠
== × 12 = 6 ，
∴
∴△是等腰直角三角形，
∵⊥于点，
∴是斜边 上的高，也是中线，
= 90°, ∠= 45° ,
【详解】解： ∵ ∠
中利用勾股定理和含30°角的直角三角形性质求解 ．
Rt △
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出的长，根据直角三角形两锐角互余求出∠的度数，最后在
与 ，相交于点 ， ．若 = 12，则 = ()
A．2 3B．3 3C．4 3D．6 3
命题透视
核心考点：等腰直角三角形与含30° 角直角三角形的性质
命题分析：
情境创设：两个直角三角板叠放，涉及等腰直角三角形和含 30°角直角三角形的边、角关系。
问题设计：通过三角板摆放形成复合图形，要求学生综合运用等腰直角三角形、勾股定理和特殊角三角函数求线段长。
考查目标：考查几何直观、推理能力与运算能力，要求学生能从复杂图形中提取基本模型。
答案与解析
解得= 2 3．
知识总结
① 核心性质：等腰直角三角形两锐角为 45°, 斜边上的高等于斜边的一半；含 30°角的直角三角形中， 30°角所对直角边等于斜边的一半。② 解题要点：识别基本三角形，利用互余、勾股定理和特殊角关系建立方程。③ 拓展关联：三角板问题是中考常考模型，常结合全等、相似、旋转进行变式。
．已知关于 的一元二次方程2− + − = 0( ≠ 0)有两个相等的实数根，则 = ()
A ．−2B．−C ．D ．2
命题透视
核心考点： 一元二次方程根的判别式
命题分析：
情境创设：已知关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根，求参数的值。
问题设计：通过‘有两个相等实数根’这一条件，引导学生使用判别式 Δ=0 建立关于参数的方程。
考查目标：考查运算能力与推理能力，要求学生理解判别式与根的关系。
答案与解析
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式 = 0，整理等式即可求出 的值．
【详解】解：∵一元二次方程 2−+ − = 0( ≠ 0)有两个相等的实数根，
∴根的判别式 = (− )2−4 ( − ) = 0，展开整理得 2 −4+ 4 2 = 0，
即(2 − )2 = 0，
∴2 − = 0，得 = 2 ，
∵ ≠ 0，
等式两边同除以 得 = 2．
知识总结
【答案】A
【分析】设与交于点 ，先得出
所在的圆为以点 为圆心、长为半径的 ⊙ ,再根据图中阴
影部分的面积等于 半⊙ + [ 扇形
− 扇形
−( □
− 扇形
)]求解即可．
【详解】解：如图，设与交于点 ，
① 核心概念：对于一元二次方程 ax^2+bx+c=0（a≠0），Δ=b^2-4ac； Δ>0 时有两个不等实根， Δ=0时有两个相等实根， Δ 即可判断．
,
,
【详解】解：对于 A，由题可知∠ = ∠ = ∠ = 90°, == ，
∴ ∠ + ∠ = 90°,∠ + ∠ = 90°,
∴ ∠ = ∠ ,
在 △ 和△ 中，
∠
= ∠
= ∠
=
,
∠
∴△ ≌ △ (AAS)，
∴ = ，又 = ，
∴ = ，即 + = + ，
∴
=
，∠
= ∠
,
∴
∵
∴ ∠
=
=
，∠
，
= ∠
= ∠
,又∠
= 45°,
= ∠ + ∠
∴ = ，故A 正确，不符合题意；对于 B， ∵△ ≌ △ (AAS)，
= 45°,
∴ ∠ = ∠ = 22.5°,
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 22.5°,
∴ ∠ + ∠ = ∠ = 90°−22.5° = 67.5°,
∵ 边的中点为，
∴ ⊥ ,∠ = = 45°,则∠ = ∠ + ∠ = 67.5°,
∴ ∠ = ∠ ,
∴ = ，故 C 正确，不符合题意；
∵ ∠ = 45°,∠ = 45°,
∴ ∠ = 90°,
∵ 垂直平分，
∴ = ，
∴ ∠ = ∠ = 22.5°,
∴ ∠ = 45°,即 △ 为等腰直角三角形，
∴
= 2，即= 2，故D 正确，不符合题意；
∵△
为等腰直角三角形，
∴=，即= 2，
又=
=，且∠
= 90°,
∴>，即= 2>，故B 错误，符合题意．
知识总结
① 核心思路：从等腰直角三角形的边、角关系出发，寻找全等或相似三角形，利用角度推导和线段关系逐一判断选项。② 常用技巧：设参表示边长，利用勾股定理或相似比建立等式。③ 应试策略：对每个选项分别论证，先判断明显正确的，再集中力量分析存疑项。
填空题
．因式分解：2−25 = ．
命题透视
核心考点： 因式分解（ 平方差公式）
命题分析：
情境创设：给出一个二项式，要求用平方差公式进行因式分解。
问题设计：直接考查平方差公式的识别与应用。
考查目标：考查运算能力和公式应用能力。
答案与解析
【答案】( + 5)( −5)
【分析】根据平方差公式因式分解即可．
【详解】解： 2−25 = ( + 5)( −5)．
知识总结
① 核心公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。② 解题要点：判断多项式是否为两项平方差的形式，准确写成两数和与两数差的乘积。③ 拓展关联：因式分解还常用提公因式法、完全平方公式、十字相乘法等。
如图，点在正五边形的边的延长线上，则∠−∠ = °.
= 36°.
∴ ∠−∠
= 72°,
= 180°−∠
∴ ∠
的边 的延长线上，
∵ 点 在正五边形
= 108°,
=
= ∠
∴ ∠
是正五边形，
【答案】36
【详解】解： ∵ 五边形
命题透视
核心考点： 正多边形的外角与邻补角
命题分析：
情境创设：点在正五边形一边的延长线上，求该点处形成的角。
问题设计：利用正五边形内角或外角性质，结合邻补角关系求角。
考查目标：考查几何直观与推理能力。
答案与解析
知识总结
① 核心性质：正 n 边形每个内角为(n-2)×180°/n，每个外角为 360°/n。② 解题要点：先求正五边形内角 108°或外角 72°,再利用邻补角或三角形内角和求目标角。 ③ 易错提醒：注意点是位于边的延长线上，分清内角、外角与邻补角的关系。
13 ．中国古代数学著作《九章算术》中有关于“开平方”和“开立方”算法的记载．数学兴趣小组从《九章算术》
中挑选出 4 个问题作为数学活动材料，其中“开平方”问题和“开立方”问题各 2 个．在某次活动中，从这 4 个问题中随机抽出一个进行算法推演，则抽到的是“开平方”问题的概率为 ．
命题透视
核心考点： 简单随机事件的概率
命题分析：
情境创设：从《九章算术》中挑选的 4 个问题（开平方 2 个、开立方 2 个）中随机抽取一个，求抽到开平方问题的概率。
问题设计：将传统文化素材与概率计算结合，考查古典概型。
考查目标：考查数据观念与应用意识，同时渗透数学文化。
答案与解析
【答案】 /0.5
【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，只需确定所有等可能结果的个数与符合题意的结果个数，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：所有可能出现的结果共 4 种，且每种结果发生的可能性相等，
其中抽取到“开平方”问题的结果有 2 种．
根据概率公式，抽到的是“开平方”问题的概率为 = ．
知识总结
① 核心公式：P(A)=事件 A 包含的结果数/所有可能结果数。② 解题要点：明确总结果数为 4，有利结果数为 2，概率为 2/4=1/2。③ 拓展关联：概率问题常与放回、不放回、列表法、树状图结合考查。 14 ．图 1 是轨道示意图，其中 ， ， ，是矩形的四个顶点，为 ，的交点， = = 1m．机器人以1m/min的速度在轨道上作匀速运动，且运动方向只能在点 ， ， ， ，处发生改变．机器人从点
出发，经过其余四点各一次后，回到点．
若机器人到点的距离（单位：m）关于运动时间（单位：min）的函数图象如图 2 所示，则取最大值时， = ；
将机器人在运动过程中经过点 ， ， ，的顺序不同视为运动方式不同，则用时最短的运动方式共有种．
命题透视
核心考点： 函数图象分析 、路径优化与计数
命题分析：
情境创设：机器人在矩形轨道上匀速运动，结合函数图象分析最远距离并找出最短路径方案数。
问题设计：第（1）问根据函数图象确定机器人运动到最远位置的时刻；第（2）问列举所有经过其余四点各一次后回到起点的路径，计算用时并统计最短路径的种数。
考查目标：考查模型观念、应用意识和推理能力，强调分类列举与优化思想。
答案与解析
【答案】
1 + 3/ 3 +1
4
【分析】（1）首先由矩形得到=== 1m，∠
= 90°, 然后结合图象判断出机器人从点 出发，
运动到点 B ，然后运动到点 C 时y 取得最大值，然后利用勾股定理求解；
（2）根据题意分情况讨论，分别求出所有运动方式的用时，然后比较求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形
是矩形，
∴=== 1m，∠
= 90°,
由图象可得，当 = 1时， = 1，
∴当 = 1时，机器人从点 A 运动到点 B ，或点 A 运动到点 E，
∵从 = 1到 取最大值时，y 随 x 的增大而增大，
∴机器人从点 B 运动到点 C，或从点 E 运动到点 C，
∵机器人从点 出发，经过其余四点各一次后，回到点 ，
∴若机器人从点 E 运动到点 C，接下来运动到点 B 或点 D 都不符合题意，
∴机器人应从点 B 运动到点 C，此时 取最大值，
∵=+= 2m，= 1m，∠= 90°,
∴=
2 −2 =
22−12 =
3(m)，
∴ 取最大值时， =+= 1 + 3；
（2）∵四边形
是矩形，
∴== 1m，== 1m，== 3m，
∵机器人从点 出发，经过其余四点各一次后，回到点 ，
∴机器人的运动方式有：
① → → → → → ,
∴运动时间为(++++) ÷ 1 = 1 + 3 + 1 + 1 + 3 ÷ 1 = 2 3 +3(min)；
② → → → → → ,
∴运动时间为(++++) ÷ 1 = 1 + 3 + 1 + 1 + 1 ÷ 1 = 3 +4(min)；
③ → → → → → ,
∴运动时间为(++++) ÷ 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 3 ÷ 1 = 3 +4(min)；
④ → → → → → ,
∴运动时间为(++++) ÷ 1 = 1 + 1 + 3 + 1 + 3 ÷ 1 = 2 3 +3(min)；
⑤ → → → → → ,
∴运动时间为(++++) ÷ 1 = 1 + 1 + 1 + 3 + 1 ÷ 1 = 3 +4(min)；
⑥ → → → → → ,
∴运动时间为(++++) ÷ 1 =3 + 1 + 1 + 1 + 1 ÷ 1 = 3 +4(min)；
⑦ → → → → → ,
∴运动时间为(++++) ÷ 1 =3 + 1 + 1 + 3 + 1 ÷ 1 = 2 3 +3(min)；
⑧ → → → → → ,
∴运动时间为(++++) ÷ 1 =3 + 1 + 3 + 1 + 1 ÷ 1 = 2 3 +3(min)；
∵2 3 +3−3 + 4
= 2 3 + 3− 3−4
= 3−1 > 0
∴2 3 +3 > 3 +4
∴ 3 +4为最短用时，共 4 种．
知识总结
① 核心方法：将实际问题转化为函数图象与路径问题，利用矩形性质和勾股定理计算各段距离。② 解题要点：读懂函数图象的横纵坐标含义，注意机器人只能在指定点改变方向。③ 策略提醒：第（2）问需要不重不漏地列举所有哈密顿路径，再比较总用时。
解答题
15 ．计算：|−3| + (−1)0−2−1．
命题透视
【答案】
【详解】解：|−3| + (−1)0 −2−1
1
= 3 + 1−
2
=
7
2
.
核心考点： 实数的混合运算
命题分析：
情境创设：给出一个包含零指数幂、二次根式、特殊角三角函数值等实数的混合运算式，要求计算结果。
问题设计：综合考查零指数幂、负指数幂、二次根式化简、特殊角三角函数值等基本运算。
考查目标：考查运算能力和数感，强调运算顺序与符号准确。
答案与解析
知识总结
① 核心公式：a^0=1（a≠0）；特殊角 30°、45°、60°的三角函数值；二次根式化简。② 解题要点：先算乘方、开方、三角函数值，再算乘除，最后算加减。③ 易错提醒：零指数幂底数不能为 0；负指数幂要化为正指数幂的倒数。
16．如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ， △ 的顶点均为格点（网格线的交点），点 ， ，的坐标分别为(−3,−2)，(−1,−1)，(−3,3)．
画出 △ 关于轴对称的 △ 11 1；
将线段向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，得到线段22，画出线段22；
以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转90°,得到线段2，直接写出点2 的坐标．
命题透视
核心考点： 轴对称 、平移与旋转作图及坐标表示
命题分析：
情境创设：在网格平面直角坐标系中，给定三角形三个顶点坐标，要求画出关于 y 轴对称的图形、平移后的线段以及旋转后的线段，并写出对应点坐标。
问题设计：通过网格作图考查学生对三种图形变换性质的理解与操作能力。
考查目标：考查几何直观、空间观念和动手作图能力。
答案与解析
【答案】(1)解：下图 △ 1 1 1为所求：
(2)解：下图线段 2 2为所求：
(3)
下图线段 2为所求，点 2 的坐标为(3,1)
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据平移的性质作图即可；
（3）根据旋转的性质作图即可，再结合图形写出点的坐标．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
知识总结
① 核心性质：关于 y 轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数；平移只改变位置不改变形状大小；旋转要找准旋转中心、方向和角度。② 解题要点：先确定对应点坐标，再连线成图。③ 易错提醒：旋转方向（顺时针/逆时针）和旋转中心不要看错。
17 ．广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由 A ，B ，C，D 四个小矩形组成，如图所示．C 的面积比 A
的面积的 2 倍多2m2，D 的面积比 B 的面积的 3 倍少3m2 ．设 A 的面积为m2 ，B 的面积为m2．
C 的面积为m2（用含 的代数式表示），D 的面积为m2（用含的代数式表示）；
若 A 的面积与 B 的面积之和为10m2 ，C 的面积比 D 的面积少5m2，求和．
命题透视
核心考点： 列二元一次方程组解决实际问题
命题分析：
情境创设：广告公司设计由四个小矩形组成的海报，已知 C、D 面积与 A、B 面积的关系，以及 A 与 B 面积之和、C 与 D 面积之差，求 A、B 的面积。
问题设计：第（1）问用代数式表示 C、D 面积；第（2）问根据两个等量关系列二元一次方程组求解。
考查目标：考查模型观念、运算能力和应用意识。
答案与解析
【答案】(1)(2 + 2)；(3 −3)；
(2) 和 的值分别为 4 和 6
【分析】（1）根据题意进行求解即可；
（2）根据题意可得 += 10和(3 −3)−(2 + 2) = 5，再进行求解即可．
【详解】（1）解：∵C 的面积比 A 的面积的 2 倍多2m2，A 的面积为 m2 ，
∴C 的面积为(2 + 2)m2；
∵D 的面积比 B 的面积的 3 倍少3m2 ，B 的面积为 m2，
∴D 的面积为(3 −3)m2；
（2）解：∵A 的面积与 B 的面积之和为10m2，
∴ += 10，
∵C 的面积比 D 的面积少5 m2，
∴(3 −3)−(2 + 2) = 5
3 −3−2 −2 = 5
−2 + 3 = 10，
+= 10
∴ −2 + 3 = 10 ，
解得
= 4 ．
= 6
知识总结
① 核心方法：设未知数→用代数式表示相关量→找等量关系→列方程组→求解→检验。② 解题要点：准确理解‘ 比……的几倍多/少’的语言，正确列出两个方程。③ 易错提醒：注意‘多’与‘少’对应的加减方向，以及单位是否一致。
18 ．某校为了解七年级学生体能训练情况，对七年级全体学生进行一次体能测试，测试结果分为 A，B ，C， D ，E 五个等级．现随机抽取 n 位学生的测试结果作为样本，整理数据，并绘制扇形统计图，部分信息如图所示．
已知抽取的样本中，E 等级的人数为 2．请根据以上信息，完成下列问题：
扇形统计图中 = ；
= ；
每位学生的测试结果按下表进行评分：
若七年级学生本次测试结果的平均分不低于3.5 ，则认定七年级学生体能训练整体情况良好．根据样本数据，推断该校七年级学生体能训练整体情况是否良好，并说明理由．
命题透视
核心考点： 扇形统计图 、样本容量与加权平均数
命题分析：
情境创设：对七年级学生体能测试等级进行抽样调查，给出扇形统计图和部分信息，求未知百分比、样本容量，并用样本加权平均数推断总体情况。
问题设计：第（1）问求扇形图中未知百分比；第（2）问求样本容量；第（3）问计算加权平均数并与标准比较作出判断。
考查目标：考查数据观念、运算能力和应用意识，要求学生用样本估计总体。
答案与解析
【答案】(1)4 (2)50
(3)解：5 × 18% +4 × 40% +3 × 32% +2 × 6% +1 × 4% = 3.62（分），
∵3.62 > 3.5，
∴该校七年级学生体能训练整体情况良好．
【分析】（1）用 1 减去其他四个等级的百分数即可求解；
用 E 等级的人数除以所占百分比即可求得 的值；
根据加权平均数的公式求得平均分，与3.5作比较即可．
【详解】（1）解：1−18%−40%−32%−6% = 4%，
∴ = 4；
（2）解：E 等级的人数为 2，
等级
A
B
C
D
E
分值
5
4
3
2
1
∴ = 2 ÷ 4% = 50；
解：略．
知识总结
① 核心公式：扇形统计图中各部分百分比之和为 1；样本容量=某部分频数/该部分百分比；加权平均数=各数据乘权重之和/权重总和。② 解题要点：从统计图中提取有效信息，注意权重即各等级人数或百分比。③ 拓展关联：统计题常与条形图、折线图、频数分布表综合考查。
19 ．湖中有两个小岛，分别用点 ，表示，在的北偏东37°方向上．为了测量 ，间的距离，综合实践小组在观测点处测得在的正北方向，沿着北偏东56°方向行走至另一观测点，测得在的正西方向，
在的北偏西53°方向上，平面示意图如图所示．已知 ，间的距离为660m，求 ，间的距离（精确到0.1 m）．参考数据：sin56° ≈ 0.83 ，cs56° ≈ 0.56 ，sin53° ≈ 0.80，cs53° ≈ 0.60 ，sin37° ≈ 0.60，cs
37° ≈ 0.80．
命题透视
核心考点： 解直角三角形的实际应用（ 方位角）
命题分析：
情境创设：测量湖中小岛 A、B 之间的距离，通过观测点 C、D 及方位角、已知距离建立三角形模型求解。
问题设计：将实际测距问题抽象为解直角三角形问题，利用三角函数和角度关系计算未知距离。
考查目标：考查模型观念、运算能力和应用意识，要求学生能将方位角语言转化为几何图形。
答案与解析
【答案】 ， 间的距离约为328.7m
中，∠
∴≈ 0.60 ×= 0.60 × 547.8 = 328.68(m) ≈ 328.7(m)，
∴ ,间的距离约为328.7m．
= 56°, sin56° ≈ 0.83，
∴ sin∠
==≈ 0.83，
∴≈ 0.83 × 660 = 547.8(m)，
在Rt △
中，∠
= 37°, sin37° ≈ 0.60，
∴ sin∠
=≈ 0.60，
在Rt △
∴ ∠= 180°−37°−53° = 90°,
= 660m，
= 90°−53° = 37°,
= 90°−37° = 53°, ∠
= 90°, ∠
【详解】解：由题意可得∠
可得 的长．
解Rt △
= 90°,解Rt △可得的长，
【分析】由题意可得∠= 90°,结合三角形的内角和定理可得∠
知识总结
① 核心方法：根据方位角画出方向线，构造直角三角形或普通三角形，利用正弦、余弦、正切及内角和定理求解。② 解题要点：准确标注各角度，选择合适三角函数列方程。③ 易错提醒：精确度要求‘精确到 0.1m’时，中间计算保留足够小数位，最后按要求四舍五入。
20 ．如图，为 ⊙ 的直径，点在 ⊙ 上，点 ，分别在▱的边 ，上， ，分别与 ⊙
相切于点 ，．
求证：四边形为正方形；
若 = 9， = 10，求的长．
命题透视
核心考点： 圆的切线 、 圆周角定理与正方形的判定
命题分析：
情境创设：AB 为圆的直径，点 C 在圆上，点 E、F 分别在平行四边形的边上，CE、CF 分别与
圆相切，证明四边形为正方形并求线段长。
问题设计：第（1）问通过直径所对圆周角为直角、平行四边形性质和切线性质证明正方形；第（2）问结合垂径定理、勾股定理求线段长度。
考查目标：考查推理能力、几何直观和运算能力。
答案与解析
【答案】(1)证明：∵为 ⊙ 的直径，
∴∠ = 90°,
∵四边形是平行四边形，
∴∠ = ∠ = 90°,
∵ , 分别与 ⊙ 相切于点 ，，
∴∠ = ∠ = 90°,
∴∠ = ∠ = ∠ = 90°,
∴四边形为矩形，
∵ = ，
∴四边形为正方形；
(2)8
【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角得到∠ = 90°, 然后根据平行四边形的性质得到∠ = ∠ = 90°,再由圆的切线的性质证明即可；
（2）过点作 ⊥ 于点 ，由垂径定理得 = ，然后求出 = = == 5 ， 再证明四边形
是矩形，则 = = 5， = = − = 9−5 = 4，再由勾股定理求解，最后由 = +
求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：过点作 ⊥ 于点，则∠ = 90°,
∵经过圆心，
= 90°,
∴∠ = ∠
= ∠
= 90°,
∴四边形
是矩形，
∴== 5，==−= 9−5 = 4，
∴=
2 −2 =
52−42 = 3，
∴= 3，
∴=+= 3 + 5 = 8．
= 180°−∠
∴∠
= 90°,
∵∠
= 5，
∴===
为正方形，
∴∠ = 90°,
∵= 10，四边形
是矩形，== 9，
∴四边形
∴=，
∵在▱中，∠ = 90°,
知识总结
① 核心定理：直径所对圆周角是直角；切线垂直于过切点的半径；邻边相等的矩形是正方形。② 解题要点：先证直角，再证矩形，最后证邻边相等。③ 辅助线技巧：求线段长时常作垂线，构造直角三角形或矩形，利用勾股定理求解。
21 ．项目式学习
【项目主题】
一类勾股数有序表示的探究
【预备知识】
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足2 + 2 = 2 的正整数 ， ，是勾股数，记为( , , )．
设 ，为正整数，且 > ，因为(2 −2)2 + (2)2 = (2 + 2)2，所以(2 −2,2, 2 + 2)为勾股
数．本项目只研究形如(2 −2,2, 2 + 2)的勾股数．
【规律探究】
分别对 ，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：
【规律应用】
根据上表规律，请完成下列问题：
= 5 ， = 1对应的勾股数是（，，），序号为；
勾股数(35,12,37)对应的 = ， = ；
序号为 15 的勾股数是（，，）．
【项目拓展】
项目组某成员观察上表发现：在序号从 1 依次增大到 6 的过程中，勾股数中2 + 2 的值随着序号的增大
而增大．他猜想：在序号从 6 依次增大到 16 的过程中，2 + 2 的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．
命题透视
核心考点： 勾股数的有序表示 、序号规律与反例验证
命题分析：
情境创设：以‘一类勾股数有序表示’为项目主题，给出形如(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)的勾股数排序表，要求完成规律应用与猜想判断。
问题设计：通过表格规律探究勾股数的序号与 m、n 的关系，第（4）问要求举反例说明猜想的错误性。
考查目标：考查抽象能力、推理能力、创新意识和数学文化素养。
勾股数
(2 −
2,2
,
2 +
2)
序号
2
1
(3,4,5)
1
3
1
(8,6,10)
2
2
(5,12,13)
3
4
1
(15,8,17)
4
2
(12,16,20)
5
3
(7,24,25)
6
…
…
…
…
答案与解析
【答案】(1)24，10 ，26 ，7
(2)6 ，1
11 ，60，61
不正确，
理由：当 = 5 ， = 4时， 2 + 2 = 52 + 42 = 41，序号为+4 = 10；当 = 6， = 1时， 2 + 2 = 62 + 12 = 37，序号为+1 = 11；
∵41 > 37，10 < 11，
∴序号从 10 增加到 11 时， 2 + 2 的值减小，
∴他的猜想不正确．
【分析】（1）根据表格中的规律求解即可；
根据题干中勾股数的定义可得2− 2 = 35 ，2= 12 ， 2 + 2 = 37，把 2− 2 = 35、 2 + 2 = 37
两式相加并结合已知条件则求出 m 的值，然后把 m 的值代入2= 12求解即可；
根据表格中的规律发现：每一个 m 对应的勾股数组数为( −1)组，从得出 m 值从 2 取到 k 时，勾股数的总组数为组，然后根据题意得出= 15 ，求出 k 的值，即可求解；
举反例说明即可．
【详解】（1）解∶当 = 5， = 1时， 2− 2 = 52−12 = 24，2= 2 × 5 × 1 = 10， 2 + 2 = 52 + 12 = 26，
∴= 5， = 1对应的勾股数是(24,10,26)，序号为 7；
（2）解：根据题意，得 2 − 2 = 35 ，2= 12 ， 2 + 2 = 37，
∴ 2− 2 +2 + 2 = 35 + 37，即2 2 = 72，
又 > 0，
∴= 6，
把 = 6代入2= 12，得2 × 6 = 12，解得 = 1，
∴勾股数(35,12,37)对应的 = 6 ， = 1；
（3）解：由表格知，当 = 2时，符合题意的勾股数有2−1 = 1组；当 = 3时，符合题意的勾股数有3−1 = 2组；
当 = 4时，符合题意的勾股数有4−1 = 3组；
……
当=( ≥ 2的整数）时，符合题意的勾股数有( −1)组；
此时一共有1 + 2 + 3 + ⋯ + ( −1) =
组勾股数，
当
= 15时，解得 = 6或 = −5（舍去），
∴序号为 15 时， == 6， = −1 = 5，
∴ 2− 2 = 62−52 = 11，2= 2 × 6 × 5 = 60，
2 +
2 = 62 + 52 = 61，
序号为 15 的勾股数是(11,60,61)；
（4）略
知识总结
① 核心知识：勾股数满足 a^2+b^2=c^2；本题中 a=m^2-n^2，b=2mn，c=m^2+n^2。② 解题要点：观察 m 固定时 n 从 1 递增的排列规律，计算累计组数确定序号；举反例时要具体给出 m、n 值并验证。③ 方法总结：规律探究题常用‘特殊值→猜想→验证’的路径，证明猜想错误只需一个反例。
22 ．如图 1，在▱中， = 2，边的中点为，连接．
求证：∠ = 2∠ ;
如图 2 ， ⊥ ,垂足为 ．点在线段上， ⊥ , ⊥ ,垂足分别为、．
求证： − = ；
若 = 4，求的值．
命题透视
核心考点： 全等三角形 、相似三角形与线段关系证明
命题分析：
情境创设：在三角形 ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，连接 AD；第（2）问添加垂线，点在线段上，作垂线，证明线段相等并求比值。
问题设计：第（1）问证明线段相等；第（2）( ⅰ )问证明两条线段相等；第（2）( ⅱ )问
在复杂图形中求线段比值。
考查目标：考查推理能力、几何直观和运算能力，强调辅助线构造与模型转化。
答案与解析
【答案】(1)证明：∵在▱中，
∴∥, ∠ = ∠,
∴∠= ∠,
∵= 2，边 的中点为 ，
∴==，
∴∠= ∠,
∴∠= ∠+ ∠= 2∠,
∴∠ = 2∠;
(2) (ⅰ)证明：作⊥于 ，
∵⊥,⊥,
∴∠= ∠= ∠= 90°,
∴四边形为矩形，
∴=,∠= 90°,
∴∠+ ∠ = 90°, ∠+ ∠= 90°,
∴∠ = ∠,
∴∠= 2∠,
∴∠= ∠,
∵⊥,
∴∠= ∠= 90°,
∵=，
∴ △≌ △(AAS)，
∴=，
形为矩形，得 = ，则题目可证；
(ⅱ)作 ⊥ 于并延长交于，过作 ⊥ 交于，因为 = 4，设 = ，则
∵−=，
∴− = ；
(ⅱ) 2
【分析】（1）由题意，
= ，
∥
,则可证∠
= ∠
= ∠,则∠
= ∠
= 2∠ ;
（2）(ⅰ) 作 ⊥ 于
，可证∠
= ∠
, 则可证明
△
≌ △ , 所以
=
，通过证明四边
,
=
= 4
= = 3,，可证明 △ ≌ △ ,所以 = = 3，且可证 ∥ ,则所以
,
△ ∽△ ,所以 = = = ，则题目可证．
【详解】（1）证明：略；
（2）(ⅰ)证明：略；
(ⅱ)解：作 ⊥ 于并延长交于，过作 ⊥ 交于，由(ⅰ)知， ∥ ,
∴四边形为平行四边形，
∴ = ，
∵为边的中点，
∴ = = ，
又∵∠ = ∠ = 90°,
∴ △ ≌ △ (AAS)，
∴ = ，
,
∵ = 4，
∵在▱
中，
∴
∥ ,
∥
, ∠ =∠ ,
∴
∥ ,
∴∠
= ∠
,
∴∠
∵
= ∠
∥ ,
,
∥
,
,
设 = ，则 = 4
∴ = = 3，
=
= = 3,，
∵⊥,⊥,
∴∥,
∴ △∽△,
1
∴=== ，
33
1
∴= ，
2
即= 2．
知识总结
① 核心思路：利用等腰三角形‘三线合一’性质，构造全等或相似三角形实现线段转化。② 常用方法： ‘截长补短’、作平行线或垂线构造基本图形。③ 应试策略：几何压轴题要分步得分，先拿下可直接证明的小问，再集中精力突破比值计算。
23 ．已知抛物线 = (2−)( > 0)．
求抛物线顶点的纵坐标；
点1, ，2, ，（ 1 < 2）都在抛物线上．
（i）求的值；
设为正整数，线段上横坐标为整数的点的个数为，请比较与2−2的大小，并说明理由．
命题透视
核心考点： 二次函数综合（ 顶点坐标 、参数求解与整数点分类讨论）
命题分析：
情境创设：已知抛物线 y=ax^2+bx+c，第（1）问求顶点纵坐标；第（2）问已知抛物线上三点纵坐标关系求参数；第（2）( ⅱ ) 问比较线段上整数点个数 n 与参数m 的大小。
问题设计：抛物线压轴题由易到难，最后一问需要对 m 取不同正整数时进行分类讨论，比较整数点个数。
= 3时， = 3−3 2 ≈ 0.879,
1
2
2
= 3 + 3 2 ≈ 5.121，故整数点有 = 1, = 2, = 3, = 4, = 5，
2
∴= 5,2 −2 = 4， ∴> 2 −2；
= 4时， 1 = 4−2 2 ≈ 1.172, 2 = 4 + 2 2 ≈ 6.828，故整数点有 = 2, = 3, = 4, = 5, = 6，
∴= 5,2 −2 = 6， ∴< 2 −2；
= 5时， = 5−5 2 ≈ 1.465,= 5 + 5 2 ≈ 8.535，故整数点有 = 2, = 3, = 4, = 5, = 6, = 7, = 8，
1
2
22
∴= 7,2 −2 = 8， ∴< 2 −2；
综上所述，当 = 1,2,3时， > 2 −2；当 ≥ 4时， < 2 −2．
【分析】（1）根据抛物线解析式求出抛物线与 轴的两个交点，再根据对称性代入对称轴横坐标，即可求出顶点纵坐标；
（2）（i）根据点 , 的纵坐标，令 = 求出 1, 2 ，即可求出(ⅱ) 根据（i）求出= 2− 1 = 2 ，那么
不可能超过 2 + 1，令 2 + 1 < 2 −2，可知 ≥ 6时， < 2 −2恒成立，故只用对 = 1,2,3,4,5依次分类讨论即可．
【详解】（1）解：令 = 0，求得抛物线与 轴的两个交点为(0,0),(2 ,0)，
则抛物线的对称轴为 =
= ，
把 = 代入抛物线解析式得 =× (2 − )
解得 = 3，即为抛物线顶点的纵坐标．
（2）解：（i）令 = ，可得 (2 − ) =，
考查目标：考查运算能力、推理能力、创新意识和分类讨论思想，是整卷的区分度核心。
答案与解析
得 > 3 + ≈ 5.121，也就是说，当 ≥ 6时， < 2 −2恒成立，故只用讨论 = 1,2,3,4,5的情形：
= 1时， 1 = 1−≈ 0.293, 2 = 1 +≈ 1.707，故整数点只有 = 1， ∴= 1,2 −2 = 0， ∴> 2 −2；
= 2时， 1 = 2− 2 ≈ 0.586, 2 = 2 + 2 ≈ 3.414，故整数点有 = 1, = 2, = 3， ∴= 3,2 −2 = 2，
∴> 2 −2；
【答案】(1)3
(2)（i）；(ⅱ)当 = 1,2,3时， > 2−2；当 ≥ 4时， < 2−2．
理由如下：由（i）得
=
2−
1 =
2 ，已知
2 ≈ 1.414，显然成立
<
2
+ 1，令
2
+ 1 < 2 −2，解
即 2−2+= 0，
∵ 1 < 2，
故解得 1 =
, 2 =
，
∴=
；
( ⅱ) 略
知识总结
① 核心方法：求抛物线顶点可配方或利用对称轴；求参数可代入已知点坐标建立方程；整数点问题需结合抛物线开口方向、对称轴和区间端点分类讨论。② 解题要点：第（2）( ⅱ )问要准确写出线段上横坐标为整数的点的纵坐标范围，再与 m 比较。③ 应试策略：压轴题注意分步得分，写清分类标准和结论，避免遗漏m 的某些取值。