广东深圳市南山区2025-2026学年第二学期期末检测高一数学试卷

这是一份广东深圳市南山区2025-2026学年第二学期期末检测高一数学试卷，文件包含32透镜同步练习江苏专用原卷版docx、32透镜同步练习江苏专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
1.复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2.样本数据2，4，2，12，11的中位数和极差分别为（）
A. 2和9B. 2和10C. 4和9D. 4和10
3.已知在平面直角坐标系中,点A,B,C,D如图所示,则2+=( )
A. (7,5)B. (1,5)C. (5,7)D. (5,1)
4.已知两点到平面的距离分别为2和4，则线段的中点到的距离为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 1或3
5.已知的直观图是等腰直角三角形，如图所示，其中，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 3
6.在中，角所对的边分别为，则“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.在正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.从0，1，2，3，4这5个数字中选3个不同的数字组成三位数，则该三位数能被3整除的概率为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，的夹角为，且，，则（ ）
A. B. C. D.
10.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件“两次投掷的点数之和为偶数”为，事件“两次投掷的点数之和为3的倍数”为，事件“第一次投掷的点数不超过4”为，则（ ）
A. 与互斥B. C. D. 与相互独立
11.已知正方体的棱长为分别是的中点，点在正方体表面运动，且，设点均在动球的球面上，则（ ）
A. 四面体的体积为B. 存在点，使得平面
C. 点的轨迹长度为D. 球的表面积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某班级女生和男生人数之比为，若某次考试的班级平均分为80，且男生平均分为78，则女生平均分为 ．
13.已知圆锥的母线长为其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为 ．
14.已知正三角形的边长为3，且，过点且垂直于的直线交的外接圆于两点，若点为边上的动点，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知在中，．
(1)求；
(2)设为的中点，求．
16.(本小题15分)
如图，在正三棱柱中，为的中点．
(1)证明：// 平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
某学校开展了数学建模比赛活动，从全体参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分成6组：，制作出如图所示数据不完整的频率分布直方图，并计算出：成绩在内的学生的平均成绩为分．
(1)求a的值（保留三位小数）；
(2)由频率分布直方图估算全体参赛者成绩的第80百分位数；
(3)先按成绩进行分层，通过分层随机抽样的方法，从区间抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求恰有1人测试成绩位于区间的概率．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥中，平面，，，．

(1)证明：平面平面；
(2)若，求点到平面的距离；
(3)若，求二面角的正切值的取值范围．
19.(本小题17分)
以法国数学家布洛卡命名的布洛卡点是三角形内部的特殊点，其定义如下：设是内一点，若，则称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角．如图，在中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．
(1)若，且，求的大小；
(2)证明：；
(3)若，求的最大值．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】BCD
11.【答案】AB
12.【答案】82.5
13.【答案】
14.【答案】5
15.【答案】解：（1）在中，，由，得.
由余弦定理可知，
故，于是，，所以.
（2）为中点，则，.
在 中，解得.
在中，由正弦定理，
.

16.【答案】解：(1)连接交于点，连接，
在矩形中，为的中点，
又因为为的中点，所以，
又平面，平面，所以// 平面；
​​​​​​​
（2）在正三棱柱中，底面，
因为底面，所以，
又因为为正三角形，为的中点，
所以，
因为，平面，
所以平面，
所以直线与平面所成角为，
在中，，
在中，，
所以在中，

17.【答案】解：（1）由频率分布直方图知，成绩在内的频率分别如下，
为，，，，
对应的频数分别为.
所以成绩在内的学生的平均成绩为，
整理得，解得.
（2）因为成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，
所以全体参赛者成绩的第80百分位数在内.
设全体参赛者成绩的第80百分位数为，
则，解得.
（3）成绩在区间内的频率分别如下，
为，
所以频率比为.
所以按分层抽样的方法，从区间抽取的5人，
来自区间内的有1人，记为；
来自区间内的有3人，分别记为；
来自区间内的有1人，记为，从这抽取的5人中随机抽取2人，
样本空间为，
记恰有1人测试成绩位于区间为事件，
则，所以.
即恰有1人测试成绩位于区间的概率为.

18.【答案】解：(1)因为，，则，故，
因为平面，平面，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
​​​​​​（2）因为平面，平面，所以，
因为，，所以，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，所以，
因为，，所以，则，
设点到平面的距离为，
则由，平面可得，，
则，
则点到平面的距离为
（3）过点作，垂足分别为，连接，

因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，则是二面角的平面角，
设，在中，，
因为，所以，
则，
因为，所以，则，
故二面角的正切值的取值范围为.

19.【答案】解：（1）由，故，
又，故，
则与相似，
又，，即，，
故，
又，故；
(2)在中，由正弦定理可得，
又，，
故，
同理可得，，
则，
在中，由正弦定理可得，
即有，又，
故，
则，
则，
即有
，
故，
即有；
（3）由（2）知，
即
，
要使得取最大值，则需取最小值，
即需取最大值，
由
，
故，当且仅当时，取等，
故.