2024~2025学年广东省深圳市南山区高三上学期1月期末数学试卷

这是一份2024~2025学年广东省深圳市南山区高三上学期1月期末数学试卷，共5页。试卷主要包含了考试结束后，考生上交答题卡，032B， 设复数，等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.
3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.
4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.
5.考试结束后，考生上交答题卡.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“存在无理数，使得是有理数”的否定为（ ）
A. 任意一个无理数，都不是有理数B. 存在无理数，使得不是有理数
C. 任意一个无理数，都是有理数D. 不存在无理数，使得是有理数
3. 若的展开式的各项系数和为8，则（ ）
A 1B. C. 2D.
4. 已知随机变量的分布列如下：
若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C D.
6. 在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为（ ）
A. 0.032B. 0.048C. 0.05D. 0.15
7. 若函数在区间上的最小值为，最大值为，则下列结论正确的为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知交于点的直线，相互垂直，且均与椭圆相切，若为的上顶点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（ ）
A. 是纯虚数B. 对应的点位于第二象限
C. D.
10. 下列等式能够成立的为（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 在平面直角坐标系中，已知点在双曲线的右支上运动，平行四边形的顶点，分别在的两条渐近线上，则下列结论正确的为（ ）
A. 直线，的斜率之积为B. 的离心率为2
C. 的最小值为D. 四边形的面积可能为
12. 如图，正方体的棱长为2，若点在线段上（不含端点）运动，则下列结论正确的为（ ）
A. 直线可能与平交
B. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值
C. 当时，与平面所成角最大
D. 当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，若，则______.
14. 已知正实数，满足，则的最小值为________．
15. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为，，，，则______.
16. 若关于的方程在区间上有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 设数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，记前项和为，证明.
18. 某学校有学生1000人，其中男生600人，女生400人.为了解学生的体质健康状况，按照性别采用分层抽样的方法抽取100人进行体质测试.其中男生有50人测试成绩为优良，其余非优良；女生有10人测试成绩为非优良，其余优良.
（1）请完成下表，并依据小概率值的独立性检验，分析抽样数据，能否据此推断全校学生体质测试的优良率与性别有关.
（2）100米短跑为体质测试的项目之一，已知男生该项成绩（单位：秒）的均值为14，方差为1.6；女生该项成绩的均值为16，方差为4.2，求样本中所有学生100米短跑成绩的均值和方差.
附：，其中.
参考公式：
19. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，，且为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，且，求平面与平面的夹角的余弦值.
20. 在中，，，为边上一点.
（1）若，求的值；
（2）若，且，求的面积.
21. 已知直线与抛物线C:y2=4x交于，两点，且与轴交于点Ma,0a>0，过点，分别作直线的垂线，垂足依次为，，动点在上.
（1）当，且为线段的中点时，证明：；
（2）若为线段中点，记直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
22. 已知定义在上的函数.
（1）若a∈R，讨论单调性；
（2）若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
1
2
性别
体质测试
合计
优良
非优良
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828