2027届高三数学一轮复习练习课件：第11章　11.2　成对数据的统计分析(含解析)

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11.2　成对数据的统计分析
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考点1 变量间的相关关系考点2 独立性检验
考点1　变量间的相关关系
1.★★(2023天津,7,5分)鸢是鹰科的一种鸟,《诗经·大雅·旱麓》曰“鸢飞戾天,鱼跃于渊”.鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名(图1),寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样,收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度(单位:cm),绘制对应散点图(图2).
计算得样本相关系数为0.864 2,利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为 =0.750 1x +0.610 5.根据以上信息,如下判断正确的为 ( )A.花萼长度与花瓣长度不存在相关关系B.花萼长度与花瓣长度负相关C.花萼长度为7 cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.861 2 cmD.若选取其他品种鸢尾花进行抽样,所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.864 2
解析　题图2中的散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近,这说明成对样本数据之间存在正相关关系,故A、B错误;把x=7代入经验回归方程 =0.750 1x+0.610 5,得 =5.861 2,故C正确;由于样本发生变化,所以样本相关系数不一定相同,故D错误.
2.★★(2024天津,3,5分)下列散点图中,样本相关性系数最大的是 ( ) 　　      　　     
解析　观察各选项可知,A选项图中散点分布比较集中,且大体接近一条直线,呈现明显的正相关,线性回归模型的拟合效果比较好,|r|相比于其他三个选项的图更接近1.故选A.
3.★★(跨学科·生物)(2020课标Ⅰ,文5,理5,5分)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度
x的回归方程类型的是 ( )A.y=a+bx　　    B.y=a+bx2C.y=a+bex　　    D.y=a+bln x
解析　由散点图可知,发芽率随温度增长的速度越来越慢,符合对数曲线增长的变化规律,故选D.
4.★★★(2025上海,17,14分)2024年东京奥运会,中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌.以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位:秒),数据按照升序排列:206.78,207.46,207.95,209.34,209.35,210.68,213.73,214.84,216.93,216.93.(1)求这组数据的极差与中位数;(2)从这10个数据中任选3个,求恰有2个数据在211以上的概率;(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为 =-0.311x+ ,年份x的平均数为2 006,预测2028年冠军队的成绩(精确到0.01秒).
解析    (1)由题意,数据的最大值为216.93,最小值为206.78,则极差为216.93-206.78=10.15;数据中间两数为209.35与210.68,则中位数为 =210.015.故极差为10.15,中位数为210.015.(2)由题意,数据共10个,211以上数据有4个,设事件A=“恰有2个数据在211以上”,则P(A)= = ,
故恰有2个数据在211以上的概率为 .(3)由题意,成绩的平均数为 ×(206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93)=211.399,由直线 =-0.311x+ 过点(2 006,211.399),得 =211.399+0.311×2 006=835.265,故回归直线方程为 =-0.311x+835.265.当x=2 028时,y=-0.311×2 028+835.265=204.557≈204.56.故预测2 028年冠军队的成绩为204.56秒.
5.★★★(2022全国乙理,19,12分)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:
并计算得  =0.038,  =1.615 8, xiyi=0.247 4.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附:相关系数r= , ≈1.377.
解析    (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 = =0.06(m2),平均一棵的材积量为 = =0.39(m3).(2)样本相关系数r= = 
= = = ≈ ≈0.97.【计算r= 时,需要将分子、分母稍加变换,采用题设中给出的数据求解】即该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数约为0.97.(3)设这种树木的根部横截总面积为X m2,总材积量为Y m3,则 = ,则Y= = =1 209,
所以该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3.
1.★(2025届福建龙岩一中开学考,1)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y= x+1上,则这组样本数据的相关系数为 ( )A.-1　　    B.0　　    C. 　　    D.1
2.★★(2026届广东毕业班第一次调研,3)已知样本点数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5)大致呈线性分布,且yi≤yi+1,其经验回归方程为 =2x- ,若y3=5,y5=8,数据yi的80%分位数为7,则当i=4时,随机误差的残差为 ( )A.-0.5　　    B.0.5　　    C.-1.5　　    D.1.5
3.★★(2026届湖南部分学校大联考,4)为了研究y关于x的线性相关关系,收集了5组样本数据(见下表).若已求得一元线性回归方程 = x+0.34,则下列选项中正确的是 ( )
A. =0.22B.x与y呈现负相关C.当x=8时,y的预估值为2.2D.去掉样本点(3,1)后,x与y的样本相关系数r必会改变
解析     = =3, = =1,则样本点的中心为(3,1).对于A,由3 +0.34=1,得 =0.22,因此A正确;对于B,由 >0,得x与y呈现正相关,因此B错误;对于C,当x=8时,y的预估值为 =0.22×8+0.34=2.1,因此C错误;对于D,因为(3,1)是样本点的中心,由相关系数公式知,去掉该点后,x与y的样本相关系数r不会改变,因此D错误.故选A.
4.★★(2026届浙江Z20第一次联考,2)将收集到的6对样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)制作成如图所示的散点图(点旁数据为该点坐标),由最小二乘法计算得回归直线l1的方程: = x+ ,相关系数为r1,决定系数为 .残差分析后确定点E对应残差过大,把它去掉后,再用剩下的5对样本数据计算得回归直线l2的方程: = x+ ,相关系数为r2,决定系数为 .则以下结论中,不正确的是( )
A.r1>0,r2>0　　    B. >0, >0C. > 　　     D. > 
解析　从散点图可以看出,两个变量是正相关,因此A正确;从散点图可以看出,回归直线的斜率是正数,且l1的斜率大于l2的斜率,因此B和C正确;从散点图可以看出,去掉“离群点”E后,相关性更强,拟合的效果更好,又R2值越大,模型的拟合效果越好,所以