2027届高三数学一轮复习练习课件：第6章　高考热点6　数列的综合(含解析)

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高考热点6　数列的综合
目 录 CONTENTS
类型1 数列与不等式的综合类型2 数列与函数的综合类型3 数列的创新题
类型1　数列与不等式的综合
1.★★★(2023新课标Ⅱ,18,12分)已知{an}为等差数列,bn= 记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16.(1)求{an}的通项公式;(2)证明:当n>5时,Tn>Sn.
解析    (1)设数列{an}的首项为a1,公差为d,∵bn= ∴b1=a1-6,b2=2a2,b3=a3-6,又T3=16,且b1+b2+b3=a1+2a2+a3-12=4a2-12,∴4a2-12=16,∴a2=7,即a1+d=7,①又S4=32,∴4a1+6d=32,②由①②得a1=5,d=2,∴an=5+2(n-1)=2n+3.(2)证明:T2n=b1+b3+…+b2n-1+b2+b4+…+b2n
=a1+a3+…+a2n-1-6n+2a2+2a4+…+2a2n=S2n+a2+…+a2n-6n=S2n+ -6n=S2n+2n2-n.T2n+1=T2n+b2n+1=S2n+2n2-n+a2n+1-6=S2n+1+2n2-n-6.当n≥1时,T2n-S2n=2n2-n>0,故T2n>S2n,当n>2时,T2n+1-S2n+1=2n2-n-6>0,故T2n+1>S2n+1.综上,当n>5时,Tn>Sn.
2.★★★★(2026届河北衡水中学三调,18)设{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=3,a4=b2,S3=15.(1)求{an}与{bn}的通项公式;(2)设cn= 求数列{cn}的前2n项和T2n;(3)若对于任意的n∈N*,不等式n(an+1)-λ(an-1)(n+2)-120,∴f(n)=1- 0),所以a5+16a2=a3q2+ =q2+ ,令f(x)=x2+ (x>0),则f '(x)=2x- = = ,因为x2+2x+4=(x+1)2+3>0,所以当00,所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(2)=12,所以当q=2时,q2+ ,即a5+16a2取得最小值,最小值为12.故选B.
2.★★★★★(2025届山西部分学校三模,19)已知函数f(x)= (x>-1),从点P1(0,0)作x轴的垂线,交f(x)的图象于点Q1,过点Q1作曲线y=f(x)的切线交x轴于点P2,再过点P2作x轴的垂线,交f(x)的图象于点Q2,重复这一过程,得到两个点列,P1,P2,…,Pn,Q1,Q2,…,Qn,点Pn的坐标记作Pn(xn,0).(1)求数列{xn}的通项公式;(2)已知bn=2nxn,求数列{bn}的前n项和Sn;(3)证明:ln(2n+1)2n+1-2=2(2n-1),所以2ak> 成立.(2)当pn+qn=1时,an=pnan-1+(1-pn),an-1=pn(an-1-1).(i)a3-1=p1p2p3(a0-1)=p1p2p3>0,则a3>1,因此不存在满足条件的p1,p2,p3.(ii)an-1=p1p2…pn(a0-1)=p1p2…pn.当s=7时,spn-1=5pn-1+2pn-1,又5pn-1∈Z.因此s=7的情况与s=2相同.当s=2时,设pn= (i=1,2,3,4),则spn= ·s,spn=k+pn+1(k∈Z),s2pn=sk+spn+1,故s2pn的小数部分与spn+1的小数部分相等.
因此pn+4与s4pn的小数部分相等.而s4pn= =3i+ ,故pn+4= =pn(∀n∈N*).因此{pn}是周期数列,周期为4.a2 028-1=p1p2…p2 028=(p1p2p3p4)507.不妨设p1= ,则p2= ,p3= ,p4= ,则p1p2p3p4= = .因此a2 028= +1.当s=3时,有s4pn= =16i+ ,故pn+4= =pn(∀n∈N*).