2027届高三数学一轮复习练习课件：第7章　7.1　空间几何体的结构特征、表面积与体积(含解析)

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7.1　空间几何体的结构特征、表面积与体积
目 录 CONTENTS
考点1 空间几何体的结构特征考点2 空间几何体的表面积与体积
考点1　空间几何体的结构特征
1.★(2021新高考Ⅰ,3,5分)已知圆锥的底面半径为 ,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )A.2　　    B.2 　　    C.4　　    D.4 
2.★★★★(多选)(2023新课标Ⅰ,12,5分)下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有 ( )A.直径为0.99 m的球体B.所有棱长均为1.4 m的四面体C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体
    ABD    
解析　对于A,正方体内切球直径为1 m>0.99 m,故A符合题意.对于B,如图1,正方体内最大的内接正四面体D-BA1C1的棱长为A1C1=  m>1.4 m,故B符合题意.如图2,假设放入最大的圆柱的上、下底面圆心为P,Q,设圆柱底面半径为r m,底面直径为d m,连接CA1,如图3,在平面A1DCB1中,过Q作QE⊥A1C,交A1D于点E,则QE=r m,A1Q= r m,PQ= -2 r=( - d)m.对于C,PQ=1.8 m>  m,故C不符合题意.对于D,PQ= - ×1.2≈1.732-1.414×1.2≈0.04 m>0.01 m,故D符合题意.
1.★(2026届广东惠州调研,4)已知圆锥的侧面积为2π,它的侧面展开图是一个半圆,则此圆锥的高为 ( )A. 　　    B. 　　    C.2　　    D.3
2.★★(2025届湖南长沙南雅中学三模,3)如图所示,梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图,A'D'=2,B'C'=A'B'=1,则平面图形ABCD中对角线AC的长度为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.2
解析　由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD,如图,由斜二测画法可知AB=2A'B'=2,BC=B'C'=1, 所以AC= = = .故选A.
3.★★★(2026届广东深圳聚龙科学中学开学调研,8)圆台的上底面半径为2,下底面半径为6,母线长为16.已知P为该圆台某条母线的中点,若一质点从点P出发,绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P,则该质点运动的最短路径长为 ( ) A.16　　    B.16 　　    C.8π　　    D.16π
解析　将圆台沿着点P所在母线剪开并展开后得到的平面图形如图,PP'即为该质点运动的最短路径.分别设小扇形和大扇形的半径为r,R,∠O=α,则由题意可知,弧AC长为2π×2=4π,弧BD长为2π×6=12π,R-r=16,则αr=4π,αR=12π,得R=3r,则R=24,r=8,α= ,因为P是AB中点,所以OP= +r=16,所以△OPP'为等腰直角三角形,且腰长为16,则PP'=16 ,故该质点运动的最短路径长为16 .故选B.
4.★★★(2026届湖南长沙长郡中学开学考,8)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为线段AD1上一动点,则MB+MD的最小值为 ( )A.2 　　    B.2 C.2 　　    D.2 
解析　连接BD1,如图1, 由正方体的性质可得△ABD1为直角三角形,∠BAD1= ,△ADD1为等腰直角三角形,∠DAD1= ,将图1中△ADD1绕AD1所在直线翻折至与△ABD1共面,如图2,
 当B,M,D三点共线时,MB+MD最小,此时∠BAD= + = ,AB=AD=2,由余弦定理可得BD= = =2 ,
所以MB+MD的最小值为2 .故选B.
5.★★(多选)(2026届湖南常德开学考,9)下列说法中不正确的是 ( )A.以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴,其余边旋转一周形成的几何体是圆台B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥D.棱台的各侧棱延长后必交于一点
    ABC    
解析　对于A,以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴,其余边旋转一周形成的几何体是圆台,否则不是,A说法错误;对于B,下面的几何体有两个面平行,其余各面都是平行四边形,但它不是棱柱,B说法错误;对于C,底面是正多边形,且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥才是正棱锥,C说法错误;对于D,棱台可以看作用平行于棱锥的底面的平面截棱锥所得,因此它的各侧棱延长后
必交于一点,D说法正确.故选ABC.
6.★★★★(多选)(2026届四川绵阳南山中学一模,11)若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,则下列结论正确的是 ( )A.四面体ABCD每组对棱相互垂直B.四面体ABCD每个面的面积相等C.连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分D.从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°且小于180°
解析　易知,四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥,如图所示. 对于A,当四面体棱长都相等时,四面体的每组对棱互相垂直,故A错误;对于B,由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等,它们的面积相等,故B正确;对于C,由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心,由对称性知,连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分,故C正确;对于D,当四面体的所有棱长相等时,过任意一个顶点的两条棱的夹角均为60°,则从每个顶点出发的三条棱两两夹角之和为180°,故D错误.故选BC.
7.★★(2025届山东德州夏津第一中学三模,13)《九章算术》中,称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,若阳马以该长方体的顶点为顶点,则这样的阳马的个数是__________(用数字作答).
解析　长方体ABCD-A1B1C1D1有6个面.以其中一个面为底面,如底面ABCD.此时,从顶点A1,B1,C1,D1中任选一个顶点作为垂直于底面ABCD的侧棱的顶点,都可以构成1个阳马,这样就有4个阳马.因为长方体有6个面,所以阳马的总个数为6×4=24.
8.★★★(2026届江苏镇江一中、镇江中学联考,13)如图,已知正四棱锥P-ABCD中,PA=2,∠APB=18°,点S为侧棱PA的中点,则在此棱锥侧面上,从点S出发绕其一圈到点B的路径中,最短路径的长度为_________. 
解析　如图,SB'即为最短路径. 由题意可知PA=PB'=2,PS= PA=1,∠SPB'=5×18°=90°,故最短路径的长度为SB'= = .
考点2　空间几何体的表面积与体积
1.★★(2024新课标Ⅰ,5,5分)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为 ,则圆锥的体积为 ( )A.2 π　　    B.3 π　　    C.6 π　　    D.9 π
2.★★(2021新高考Ⅱ,5,5分)正四棱台的上、下底面的边长为2,4,侧棱长为2,则四棱台的体积为 ( )A.56　　    B.28 　　    C. 　　    D. 
3.★★(2022新高考Ⅰ,4,5分)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为( ≈2.65)( )A.1.0×109 m3　　    B.1.2×109 m3C.1.4×109 m3　　    D.1.6×109 m3
解析　将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,增加的水量即为棱台的体积.140 km2=140×106 m2,180 km2=180×106 m2,由棱台的体积公式V= (S+ +S')h,可得V增加水量= ×(157.5-148.5)= ×9≈(320+60×2.65)×106×3=1 437×106≈1.4×109 m3.故选C.
名师点睛　水库上升的水位即为棱台的高.
4.★★★(2023全国甲文,10,5分)在三棱锥P-ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,PC= ,则该棱锥的体积为 ( )A.1　　    B. 　　    C.2　　    D.3
又∵CD∩AB=D,CD,AB⊂平面ABC,∴PD⊥平面ABC,∴PD为三棱锥P-ABC的高,∴VP-ABC= S△ABC·PD= × ×2× × =1,故选A.
一题多解    (分割求和法)取AB的中点D,连接CD,PD,∵△ABC,△PAB为等边三角形,∴CD⊥AB,PD⊥AB.又∵CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD,∴AB⊥平面PCD,∵△ABC的边长为2,PA=PB=2,∴PD=CD= ,又∵PC= ,∴PD2+CD2=PC2,∴PD⊥CD,∴S△PCD= PD·CD= ×( )2= ,∴VP-ABC=VA-PCD+VB-PCD
= S△PCD·(AD+BD)= × ×2=1,故选A.
5.★★★(2023全国乙理,8,5分)已知圆锥PO的底面半径为 ,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,∠AOB=120°,若△PAB的面积等于 ,则该圆锥的体积为 ( )A.π　　    B. π　　    C.3π　　    D.3 π
6.★★★(跨学科·物理)(2021新高考Ⅱ,4,5分)卫星导航系统中,地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36 000 km(轨道高度指卫星到地球表面的最短距离),把地球看成一个球心为O,半径r为6 400 km的球,其上点A的纬度是指OA与赤道所在平面所成角的度数,地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α,该卫星信号覆盖的地球表面面积S=2πr2(1-cs α)(单位：km2),则S占地球表面积的百分比约为 ( ) A.26%　　    B.34%　　    C.42%　　    D.50%
解析　如图, 由题意知OB=36 000+6 400=42 400(km),OA=6 400 km,当AB与过O点的竖截面相切时,纬度最大,此时OA⊥AB,即∠AOB为α.则cs α= = = .又∵卫星信号覆盖的地球表面面积为S=2πr2·(1-cs α) km2,地球表面积为4πr2 km2,∴S占地球表面积的百分比为 = ≈0.42=42%,故选C.
7.★★★★(2022新高考Ⅰ,8,5分)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π,且3≤l≤3 ,则该正四棱锥体积的取值范围是 ( )A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.[18,27]
解析　因为球的体积为36π,所以球的半径R=3,设正四棱锥的底面边长为2a,高为h,则l2=2a2+h2,32=2a2+(h-3)2,所以正四棱锥的体积V= Sh= ×4a2×h= × × =  ,所以V'=  = l3 ,当3≤l0,当