江苏南通市2025-2026学年高二下学期6月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份江苏南通市2025-2026学年高二下学期6月期末考试数学试卷（Word版附解析），共5页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位
置上，在其他位置作答一律无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合 后结合交集的定义可求 .
【详解】 ，故 ，
故选：D.
2. 若复数 为纯虚数，则实数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】复数 的实部为 ，虚部为 ，
根据纯虚数的条件，令实部为 0，可得 ，解得 ；
将 代入 ，得 ，满足条件， 因此实数 .
3. 向量 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. 4 D. 5
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【答案】D
【解析】
【分析】由 ，可得以 ，再根据空间向量数量积的坐标表示即可得解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，即 ，解得 .
故选：D.
4. 已知随机变量 ．若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布的性质计算可得.
【详解】由题可得 ，因此对称轴为 ，可得 ，已知 ，
因此： .
5. 已知圆锥的表面积为 ，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的底面半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，其中 ，
因为圆锥侧面展开图为半圆，所以半圆的弧长等于圆锥底面周长，
即 ，化简可得 ，
圆锥的表面积 ，
解得 ，因为 ，所以 ，即该圆锥的底面半径为 .
6. 已知 表示一条直线， ， 表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】B
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【解析】
【分析】结合空间线面、面面平行与垂直的判定及性质，逐一分析各选项的正误。
【详解】对选项 A：
若 ， ，则直线 的位置关系为 或 ，并非一定满足 ，故 A 错误；
对选项 B：
由面面平行的性质可知，若两个平行平面中的一个与一条直线垂直，则另一个平面也与该直线垂直，因此
当 ， 时， ，故 B 正确；
对选项 C：
若 ， ，则 与 的位置关系可能为平行、相交或 ，并非一定垂直 ，故 C 错误；
对选项 D：若
， ，则直线 的位置关系为 或 ，并非一定满足 ，故 D 错误。
7. 甲箱中有 2 个红球和 2 个黑球，乙箱中有 1 个红球和 3 个黑球．先从甲箱中等可能地取出 1 个球放入乙
箱，再从乙箱中等可能地取出 1 个球，记事件“从乙箱中取出的球是黑球”为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】设事件 为“从甲箱中取出的 1 个球为红球”，事件 为“从甲箱中取出的 1 个球为黑球”.
由题意，甲箱共 4 个球，2 红 2 黑，因此 ， .
当 发生时，乙箱共 5 个球，其中黑球 3 个，故 ；
当 发生时，乙箱共 5 个球，其中黑球 4 个，故 .
根据全概率公式， .
8. 已知 ，下列关系不可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】已知 ，故 AB 项可看作 与 的大小比较，CD 项可看作 与 的大小比较，据
此构造函数 和 ，求导得出其单调性及最值判断即可.
【详解】令 ，求导得 ，
当 时， ，故 在 上单调递增；
当 时， ，故 在 上单调递减.
若 时，则 ，即 ，可得 ，故 B 可能成立；
若 时，则 ，即 ，可得 ，故 A 可能成立；
令 ，求导得 恒成立，
故 在 上单调递增，故 ，
又因为 ，
所以 ， 恒成立，
因 ，则 ，整理得 ，即 D 可能成立；
而 一定不成立，故 C 不可能成立，
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 某实验小组为研究弹簧所受拉力 （单位： ）与伸长量 （单位： ）之间的关系，根据收集的实验
数据，计算得出线性回归方程为 ．已知 ， ，下列说法中，正确的有（ ）
A. 变量 与 呈负相关 B. 回归直线经过点
C. D. 当 时，
【答案】BCD
【解析】
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【详解】选项 A，线性回归方程的斜率为 ，说明 随 的增大而增大，
即变量 与 呈正相关，故 A 错误；
选项 B，线性回归直线一定经过样本中心点 ，
因为 ， ，所以回归直线经过点 ，故 B 正确；
选项 C，将点 代入回归直线方程可得 ，解得 ，故 C 正确；
选项 D，当 时， ，故 D 正确.
10. 设函数 ，则（ ）
A. 在区间 上单调递增
B. 直线 是曲线 的对称轴
C. 直线 是曲线 的切线
D. 有三个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用导数求解单调性判断 A，利用函数对称性的性质判断 B，利用斜率的几何意义并结合导数判断
C，求解出零点判断 D 即可.
【详解】对于 A，因为 ，所以 ，
当 时， 恒成立，则 在区间 上单调递增，故 A 正确，
对于 B，由题意得 ， ，
得到 ，则直线 不是曲线 的对称轴，故 B 错误，
对于 C，设切点为 ，令 ，
得到 ，解得 ，则切点为 ，
可得切线方程为 ，化简得 ，
得到直线 是曲线 的切线，故 C 正确，
对于 D，令 ，则 ，
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因式分解得 ，解得 或 或 ，
则 有三个零点，故 D 正确.
11. 在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ， ， 为线
段 的中点， 为线段 上的动点，则（ ）
A. 二面角 为直二面角
B. 三棱锥 的体积为
C. 当 为 的中点时，
D. 三棱锥 的外接球表面积的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项 A：运用线面垂直的判定与性质，结合直二面角的定义，判断两个半平面的位置关系，推导
二面角的类型；选项 B：利用等体积转换法更换三棱锥的顶点与底面，结合棱锥体积公式，依托已知线面
垂直的条件计算体积并判断正误；选项 C：通过空间坐标法计算线段长度或向量乘积，结合余弦定理判断
角的类型，确定角的取值范围；选项 D：先由三棱锥的线面垂直特征确定外接球的构造，推导外接球半径
的表达式，结合最值得到表面积的最值后进行判断.
【详解】由已知，以 为原点，分别以 为 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系：
各点坐标为： ，
为 中点，故 ，设 ，逐个分析选项：
选项 A： 因为 底面 ， 底面 ，故 ；
又底面 为矩形，故 ，
由 ， 平面 ，得 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
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即二面角 为直二面角，A 选项正确；
选项 B： 由题可得 ，又 为直角三角形，
，
平面 在 平面， 横坐标恒为 ，故 到平面 的距离为 ，
因此： ，
体积与 位置无关，恒为 ，B 选项正确；
选项 C：当 为 中点时， ，
为 中点，故 ，即 ，
则 ， ，
，
故 为锐角，即 ，C 选项错误；
选项 D： 设外接球球心 ，半径为 ，
由 得： ，
由 ，代入 得： ，
故球心 ，由 得： ，
整理得 ，因此： ，
又 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
故 ，
所以，外接球表面积 ，D 选项正确.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
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12. 二项式 的展开式中的常数项为__________.
【答案】
【解析】
【详解】因为 ，所以由 得常数项为
13. 已知正四棱锥的体积为 ，则其侧棱长的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合正四棱锥中侧棱长 、高 、底面中心到底面顶点的距离构成直角三角形以及基本
不等式即可求解.
【详解】
如图所示，设正四棱锥的底面正方形的边长为 ，高为 ，侧棱长为 ，
由于正四棱锥的体积为 ，所以 ，化简得 ，即 ，
由于底面正方形的对角线长为 ，所以底面中心 到底面顶点 的距离 ，
在正四棱锥中，侧棱长 、高 、底面中心到底面顶点的距离 构成直角三角形，即
，
代入 ，可得 ，
由基本不等式可得， ，当且仅当 ，即 时等号
成立，此时 ，
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所以其侧棱长的最小值为 .
14. 甲、乙两位老师各自从 6 名学生中随机选 2 人调研，记 为被两位老师同时选中的学生人数，则
_________．
【答案】
【解析】
【详解】X 为同时被选中的人数，所有可能取值为 ，
总基本事件数为：甲乙各选 2 人，共 种，
即没有学生同时被同时选中，乙选的 2 人都从甲未选的 4 人中选，
即恰好 1 个学生同时被选中，先选同时选中的 1 人，甲再选 1 个剩余，乙再选 1 个剩余，
即两个学生都同时被选中，甲乙选的两人完全相同，
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性，并求其极值．
【答案】（1）
（2） 在 上单调递减，在 上单调递增，极小值为 ，无极大值
【解析】
【分析】（1）利用切线的几何意义求出斜率，再结合题意得到切点，最后得到切线方程即可.
（2）利用导数求解函数的单调性，再求解极值即可.
【小问 1 详解】
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因为 ，所以 ，
设切线的斜率为 ，由斜率的几何意义得 ，
而 ，得到切点为 ，则切线方程为 ，
化简得 ，故切线方程为 .
【小问 2 详解】
，令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
得到 极小值为 ，无极大值.
16. 相关部门为研究全市高三年级学生的性别和身高的关联性，对该市高三年级的学生进行抽样调查，调查
结果如下表．
身高
性别 合计
低于 不低于
女
男
合计
（1）依据小概率值 的独立性检验，能否认为学生的性别与身高有关联？
（2）以样本估计总体，以频率估计概率，现从全市高三年级男生中每次随机抽取 1 名学生，共抽取 4 次，
且每次抽取的结果相互独立．记被抽取的 4 名男生中身高不低于 的人数为 ，求 ．
附： ，其中 ．
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【答案】（1）能认为学生的性别与身高有关联
（2）
【解析】
【分析】（1）根据列联表数据，代入卡方检验公式计算统计量 ，将计算结果与 对应临界值比
较，进而得出结论；
（2）以频数估算概率求出男生中身高不低于 的概率，独立重复抽取符合二项分布的特征，结合二项
分布概率公式求解．
【小问 1 详解】
由列联表可知， ，样本容量 ，
代入 ，
已知小概率值 对应临界值 ，
故 ，由小概率值 的独立性检验，原假设不成立，
即可认为学生的性别与身高有关联．
【小问 2 详解】
由样本数据，男生中身高不低于 的频数为 ，频率为 ，
抽取 4 次且相互独立，故 ，由二项分布概率公式：
，
代入 ， ．
17. 已知函数 ， 是 的极大值点，
（1）求实数 的值；
（2）判断函数 在区间 上的零点个数，并说明理由；
（3）设 ，证明： ．
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【答案】（1）
（2）函数 在区间 上的零点个数为 1，理由如下：
由（1）知 ， 是 的极大值点， 是 的极小值点，
，
当 时， ，当 时， ，
且 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在区间 上有且仅有 1 个零点.
（3）设 ，
则 ，
由于 ，故 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
故 ，
故 恒成立，则 .
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，根据极值点处导数等于 0，即可求出答案；
（2）根据导数判断函数的单调性，结合零点存在定理，即可判断；
（3）设 ，求出其导数，判断函数单调性，求出其最小值，即可证明结论.
【小问 1 详解】
由 可知函数定义域为 ，
第 12页/共 19页
，
因为 是 的极大值点，故 ，
此时 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
故 是 的极大值点，故 ；
【小问 2 详解】
略
【小问 3 详解】
略
18. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ， 分别为 ，
的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）证明： 平面 ；
（3） 点在侧面 内，且到直线 的距离为 ，直线 与平面 所成角的正弦值为
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，求线段 的长度．
【答案】（1）取 的中点 F，连接 ，
因为 E 为 的中点，故 ，
又 为 的中点， ,得 ,
故四边形 为平行四边形，故 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 .
（2）以点 B 为坐标原点，以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，故 ，即 ，
故 平面 ；
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（3）
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面 的法向量，利用向量法即可证明；
（3）取 的中点 G，连接 ，确定 P 点在 上，设 ，根据直线
与平面 所成角的正弦值为 ，求出 m 的值，即可求得答案.
【小问 1 详解】
略
【小问 2 详解】
略
【小问 3 详解】
取 的中点 G，连接 ，则 ,且 ，
结合题意可知四边形 为矩形，此时 ，
即得 上任一点到 的距离均为 ，故 P 点在 上，
设 ， ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，
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直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
则 ，解得 ，（ 舍去），
故 .
19. 设集合 ， ， ．从 中一次取出 个不同的数，由小到大依次记作 ，
， ．定义随机变量 ：
（1）若 ，求 的分布列；
（2）求 ；
（3）若随机变量 ，证明： ．
【答案】（1）
的分布列为：
（2）
（3）
由于随机变量 ，所以 ， ，
因此 ，
由（2）可知 ，由于 ，所以
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，
要证明 ，即证明 ，即需证
，
①先证明 ：
令 ，
当 时， ；当 时， ，
令函数 ，则 ，当 时， ，所以 在 时单调递增
且 ，
所以随着 的增大， 也逐渐增大，
因此对于 ，有 ，即 ；
②再证明 ：
由于 ，且 ， 对任意 都成立，
所以 ；
综上所述， ，即 ．
【解析】
【分析】（1）根据题意，先计算总取法数，再依次统计符合 ， ， 的取法数
即可求解；
（2）根据题意，先计算总取法数，再依次计算符合 ， ， 的取法数即可求解；
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（3）根据题意，分别得出 ， ，两式相减
得出 ，再分别证明 和 即可求解.
【小问 1 详解】
当 时，集合 ，从 中一次取出 个不同的数，由小到大依次记作 ， ， ，
总的取法数为 ，
分别是 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
由于随机变量
当 时，即 且 ，满足的组合只有 ，所以 ；
当 时，即 且 ，满足的组合只有 ， ， ，所以
；
当 时， ；
所以，当 时，随机变量 的分布列为：
【小问 2 详解】
对于一般的 ，从集合 中一次取出 个不同的数 ，
总取法数为 ，
当 时，即 且 ，所以 且 ，
令 ，由于 ，且 ，则
,
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从 个数选出 个不同的数 的方法数为 ，因此满足条件的组合数为 ，
所以 ；
当 时，即 且 ，所以 是三个连续的整数，即 ，
可以取 ，共 种选择，所以 ；
当 时， ；
因此， .
【小问 3 详解】
略.