2025_2026学年山西省临汾市第一中学高二下册期末数学试题 [含答案]

这是一份2025_2026学年山西省临汾市第一中学高二下册期末数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间120分钟 满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知向量的夹角为，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，已知，，，则（ ）
A. 36B. 18C. D.
5. 已知函数是定义上的奇函数，满足，且当时，，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
6. 已知等比数列的前n项和为，，，则其公比（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 甲､乙､丙､丁4人站到共有4级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（ ）
A 204B. 84C. 66D. 60
8. 已知，若有唯一解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. (多选)若函数对任意有，则 等于（ ）
A －3B. －1C. 0D. 3
10. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 不等式的解集为
B. 函数在单调递减，在单调递增
C. 函数在定义域上有且仅有一个零点
D. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是
11. 如图，点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A. 若点满足，则动点的轨迹长度为
B. 当直线与所成角为时，点的轨迹长度为
C. 三棱锥体积的最大值为
D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，若，则__________.
13. 已知件次品和件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）．
14. 已知实数满足，则的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
16. 如图，已知平面平面，，，．
（1）求证：；
（2）若，点在线段上，且三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．
17. 等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比.北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.
单位：次
（1）根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；
（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元.试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001）
附：，其中.
18. 已知函数.
（1）求函数在上的最大值；
（2）若函数的最小值为1，求实数的值；
（3）求证：.
19. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值．
（3）在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值．
2025-2026学年度高二年级第二学期期末考试
数学试题（卷）
（考试时间120分钟 满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解一元二次不等式，再求交集.
【详解】因为，所以．
故选：C
2. 若，则在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的四则运算求出复数，再由复数的几何意义即可判断.
详解】由题意得，
则在复平面内对应的点在第一象限.
故选：A.
3. 已知向量的夹角为，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画图，设向量，则，根据平面向量的夹角的定义求与的夹角.
【详解】如图，设向量，则，
因为，所以是顶角为的等腰三角形，底角为，故与的夹角为.
故选：D.
4. 在中，已知，，，则（ ）
A. 36B. 18C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由余弦定理求出，然后由向量数量积的定义求解即可.
【详解】在中，已知，，，
由余弦定理得
.
故选：D．
5. 已知函数是定义上的奇函数，满足，且当时，，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得的周期为，且，利用函数的周期将转化为求，即可得答案；
【详解】，∴，∴的周期为，
，
函数是定义上的奇函数，，
，
故选：A.
【点睛】本题考查函数的周期性和奇函数的性质，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
6. 已知等比数列的前n项和为，，，则其公比（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】首先可以得出，其次利用等比数列通项公式以及它的前n项和为的基本量的运算即可求解.
【详解】注意到，，首先，（否则，矛盾），
其次，，
两式相比得，解得.
故选：C.
7. 甲､乙､丙､丁4人站到共有4级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（ ）
A. 204B. 84C. 66D. 60
【答案】A
【解析】
【分析】分三种情况讨论，第一类，甲､乙､丙､丁各自站在一个台阶上，第二类，有2人站在同一台阶上，剩余2人站在另一个台阶上，第三类，有2人站在同一台阶上，剩余2人各自站在一个台阶上，按照分步乘法计数原理及分类加法计数原理计算可得；
【详解】解：因为甲､乙､丙､丁4人站到共有4级的台阶上，且每级台阶最多站2人，所以分为3类：
第一类，甲､乙､丙､丁各自站在一个台阶上，共有：种站法；
第二类，有2人站在同一台阶上，剩余2人站在另一个台阶上，共有：种站法；
第三类，有2人站在同一台阶上，剩余2人各自站在一个台阶上，共有：
所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是.
故选：A
8. 已知，若有唯一解，则取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用偶函数性质，只需要研究的零点个数，然后用换元法构造新函数进行求导证明单调性，借助端点值效应，，所以可证明存在唯一零点的参数取值范围.
【详解】，，
为偶函数，
，设，，
则在有唯一零点．，当且仅当取等号．
若,时，，则在单调递增，
又因为，所以在有唯一零点
若,时，令得，即，
解得或，
其中，满足要求，
，
其中，故在时恒成立，
所以，即，不合要求，
当时，，则在单调递减，
所以，时，，
故在有1个零点．
又，所以在上有两个零点，不满足题意，
故的取值范围为．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. (多选)若函数对任意有，则 等于（ ）
A. －3B. －1C. 0D. 3
【答案】AD
【解析】
【分析】由，得到函数的图象关于直线对称，结合三角函数对称轴的性质，即可求解.
【详解】由函数对任意x都有，
可得函数的图象关于直线对称，
所以当时，函数取值最大值或最小值，即.
故选：AD
10. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 不等式的解集为
B. 函数在单调递减，在单调递增
C. 函数在定义域上有且仅有一个零点
D. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】解分式不等式验证选项A；利用导数求函数单调区间验证选项B；解方程得函数的零点验证选项C；通过函数值域求实数的取值范围验证选项D.
【详解】对于A，由，得，因为，
所以，解得，所以不等式的解集为，所以A正确；
对于B，的定义域为，由，得，
令，得或，令，得或，
所以在和上递增，在和上递减，所以B错误；
对于C，令，得，所以在定义域内有且只有一个零点，所以C正确；
对于D，由选项B可知在和上递增，在和上递减，
因，且当从1的左侧趋近于1时，，当从1的右侧趋近于1时，，所以的值域为，
所以若关于的方程有解，则实数的取值范围是，所以D错误.
故选：AC
11. 如图，点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A. 若点满足，则动点的轨迹长度为
B. 当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为
C. 三棱锥体积的最大值为
D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形，求其周长判断A；连接，以为圆心，为半径画弧，易知当在，上时直线与所成的角为，求其轨迹长判断B；取特殊位置排除C；取的中点分别为，根据面面平行的判定定理可求出点在底面上的轨迹为线段，进而求长度的最大值判断D.
【详解】选项A：因为在正方体中，平面，又平面，
所以动点的轨迹为矩形，动点的轨迹长度为矩形的周长，即为，A说法错误；
选项B：连接，以为圆心，为半径画弧，如图所示，
当点在弧上时，因为直角三角形中，所以与所成的角为，
则当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，
又，，，
所以点的轨迹长度为，B说法正确；
选项C：当点在平面时，，
易知此时面积最大值为，所以此时三棱锥体积的最大值为，C说法错误；
选项D：取的中点分别为，
连接，如图所示，
因为，平面，平面，所以平面，
，平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又因为，，，
所以平面和平面是同一个平面，则点的轨迹为线段，
在中，，，
则，
所以是以为直角的直角三角形，
所以，即线段长度最大值为，D说法正确；
故选：BD
【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题经常利用不动点的位置和动点位置关系，利用线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理，找出动点的轨迹进而计算出其轨迹长度.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，若，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式分类讨论求解即可.
【详解】由题意知，当时，，解得；
当时，，解得，与矛盾，此时无解.
所以
故答案为：2
13. 已知件次品和件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）．
【答案】
【解析】
【详解】由题意可知，2次检测结束的概率为，
3次检测结束的概率为，
则恰好检测四次停止的概率为.
14. 已知实数满足，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】讨论范围得到图象，根据图象考虑直线与椭圆相切和直线与渐近线重合两种情况，分别计算得到范围.
【详解】因为实数满足，
所以当时，，
其图象是位于第一象限，焦点在轴上的双曲线的一部分（含点，
当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的椭圆的一部分，
当时，其图象不存在，
当时，，
其图象是位于第三象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，
作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：

任意一点到直线的距离
所以，
结合图象知的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，
双曲线其中一条渐近线与直线平行，
通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，
小于两平行线与之间的距离3的2倍，
设与其图像在第三象限相切于点，
联立，得，
因为或（舍去），
所以直线与直线的距离为，
此时，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和双曲线的综合应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出图像，根据图像解决最值问题是解题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差、等比数列公式法求出通项；
（2）利用等比数列前项和公式以及裂项相消法求出结果.
【小问1详解】
设数列的公差为，
则解得
所以，.
【小问2详解】
，
则
.
16. 如图，已知平面平面，，，．
（1）求证：；
（2）若，点在线段上，且三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题，根据直角梯形的结构特征，结合勾股定理逆定理可得，再根据面面垂直的性质可得平面，进而得到
（2）先证明平面，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合三棱锥的体积为得到相关点的坐标，进而得到相关向量的坐标，再根据向量的夹角公式可得二面角的余弦值
【小问1详解】
∵，，∴四边形为直角梯形，
又，，易得，．
∴，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，∴．
【小问2详解】
∵，平面平面，平面平面，∴平面，故可以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵三棱锥的体积为，∴，
即，解得．∴，，，，
∴，，，设平面的法向量为，
则，得，令，得，∴，
易知平面的一个法向量为，
∴，
故二面角的余弦值为．
17. 等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比.北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.
单位：次
（1）根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；
（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元.试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001）
附：，其中.
【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为试验的结果与材料有关
（2）石墨烯发热膜的定价至少为2.233万元/吨，才能实现预期的利润目标.
【解析】
【分析】（1）根据所给等高堆积条形图，得到列联表，计算出卡方，即可判断；
（2）依题意可得的可能取值为，，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，即可得解.
【小问1详解】
根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下：
计算可得，
依据的独立性检验，有的把握认为试验的结果与材料有关.
【小问2详解】
设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为万元，
易知的可能取值为，，，，，
，，
，，
则的分布列为
修复费用的期望，
所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标.
18. 已知函数.
（1）求函数在上的最大值；
（2）若函数的最小值为1，求实数的值；
（3）求证：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得，得出函数的单调区间，进而求得函数的最大值；
（2）根据题意，得到，求得，分类讨论，得到函数的单调性和最小值；
（3）根据题意，转化证明成立，由（2）知，当时，求得，令，求得，得到单调递增，得出，求得，即可得证.
【小问1详解】
解：由，可得，
令，可得，因为，所以或，
当时，，当上，；
当 上，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最大值为.
【小问2详解】
解：由函数，可得，
则，
当时，，所以在上单调递减，没有最小值；
当时，令，可得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，则.
【小问3详解】
证明：根据题意，要证成立，即证成立，
由（2）知当时，，
所以，即，所以，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，即成立，所以原不等式成立.
19. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值．
（3）在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值．
【答案】（1）
（2）时，为定值
（3）
【解析】
分析】（1）由题意，得，进而解出即可求解；
（2）设直线l的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出，进而求解即可；
（3）结合（2）求得，，，表示出的周长，再结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
由题意，得，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设直线l的方程为，，，
联立，消去y整理得，
则，
且，，
又，，
则
，
则，即时，此时为定值.
【小问3详解】
由（2）知，，，直线l的方程为，
且，，，，
则，，
则直线的方程为，
令，得
，
即，则，，，
则周长为，
当且仅当，即时等号成立，
则周长的最小值为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
材料
材料
合计
试验成功
试验失败
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10828
材料
材料
合计
试验成功
试验失败
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
材料
材料
合计
试验成功
45
30
75
试验失败
5
20
25
合计
50
50
100
0
0.2
0.4
0.6
08