2025--2026学年山西汾阳中学校高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山西汾阳中学校高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（其中i是虚数单位）的实部是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，若，则m等于（ ）
A. B. 4C. D.
3. 对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. “”是“且”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知a，b是两条异面直线，，那么c与b的位置关系（ ）
A. 一定是异面B. 一定是相交C. 不可能平行D. 不可能相交
6. 在中，若，则的形状一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 等腰或直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 不含的直角三角形
7. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCD-EFGH的边长为2，P是正八边形ABCD-EFGH八条边上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. 0C. D.
8. 在正四棱锥中，，，则平面截四棱锥外接球的截面面积是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 向量与的夹角的余弦值为D. 向量在上的投影向量为
10. 已知复数满足，复数（，i为虚数单位），则下列选项正确的是（ ）．
A. 若，则在复平面内对应的点位于第一象限
B. 复数在复平面内对应点的轨迹是圆心为，半径为1的圆
C. 的最大值为3
D. 若的实部与虚部互为相反数，则
11. 在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，则（ ）
A.
B. 过点的平面截该长方体，所得截面周长为
C. 以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为
D. 三棱锥外接球的体积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，，，，则________.
13. 若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径，满足，且圆台的侧面积为，则__________.
14. 抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑（简称“解放碑”）位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，也是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑，同时象征着中国人民反法西斯战争的胜利、重庆解放的历史意义.小西为测量解放碑的高度，选取了由西到东相距米的两个观测点A和B.在点A处测得解放碑的基座中心点C位于北偏东75°方向（A、B、C在同一水平面上），且楼顶D的仰角为30°；在点B处测得解放碑基座中心点C位于北偏西45°方向，则解放碑的高度为________米.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 已知平面内三个向量，，.
（1）若，求实数，的值；
（2）若a→+kc→//2b→−a→，求实数的值；
16. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，.
（1）求边；
（2）求的面积.
17. 如图所示，在中，，，与相交于点I，的延长线与边交于点P．
（1）用和分别表示和；
（2）如果，求实数和的值；
（3）在（2）的条件下，确定点P在边上的位置．
18. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，．
（1）求角A和边a；
（2）求的取值范围．
19. 复向量是指元素为复数的向量，即把有序复数对看作一个向量，记作．我们把两复向量，的数量积记作．对于，，，，，，满足如下运算法则：
① ②，
③ ④复向量的模
已知为虚数单位，，，，，．
（1）求复向量，的模；
（2）证明：若，，则；
（3）对两个复向量与，若，则称与平行．是否存在，使与平行，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
数学
考试时间120分钟，满分150分.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（其中i是虚数单位）的实部是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用复数的除法求出，进而求出其实部.
解答过程：复数，所以的实部为.
故选：C
2. 已知向量，若，则m等于（ ）
A. B. 4C. D.
答案：C
解析：
思路：根据题意，得到，结合，列出方程，即可求解.
解答过程：由向量，可得，
因为，可得，解得.
故选：C.
3. 对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用共线定理即可求解.
解答过程：由题意知.
若与共线，则存在实数使得，
因为向量，不共线，
所以解得，故的值为.
故选：C
4. “”是“且”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
思路：由相等向量与相反向量的概念，以及向量共线的概念，结合充分必要条件的判定即可求解.
解答过程：若“”则“且”成立，即充分性成立；
反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立，
故“”是“且”的充分不必要条件，
故选：A.
5. 已知a，b是两条异面直线，，那么c与b的位置关系（ ）
A. 一定是异面B. 一定是相交C. 不可能平行D. 不可能相交
答案：C
解析：
思路：根据空间直线的位置关系进行判断即可．
解答过程：、是两条异面直线，，
与可能相交，可能是异面直线，不可能平行，
若，，，与，是异面直线矛盾，
故选：C．
6. 在中，若，则的形状一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 等腰或直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 不含的直角三角形
答案：B
解析：
思路：利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得或，分类讨论可得结论.
解答过程：由和正弦定理，可得，
因，代入上式，化简得：，
即，故得或，
当时，，所以，此时是直角三角形；
当时，，又，，
则或（舍去），此时为等腰三角形.
综上：可得的形状一定是等腰或直角三角形.
故选：B.
7. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCD-EFGH的边长为2，P是正八边形ABCD-EFGH八条边上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. 0C. D.
答案：C
解析：
思路：根据的位置进行分类讨论，根据向量数量积运算求得正确答案.
解答过程：设，
当与重合时，；
当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时，
，所以，
当与重合时，，所以，
以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系，
根据正八边形的性质可知，，
则，
直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，
当在线段（除）上运动时，设，
所以，
当在线段上运动时，设，
所以，
当在线段（除）上运动时，设，
所以.
综上所述，的最小值为.
故选：C
8. 在正四棱锥中，，，则平面截四棱锥外接球的截面面积是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先作出辅助线，求出外接球半径，求出球心到截面的距离，从而得到截面圆的半径，求出截面的面积.
解答过程：如图，作平面，垂足为，则是正方形外接圆的圆心，从而正四棱锥外接球的球心在上，
取棱的中点，连接，作，垂足为.
由题中数据可得，
设四棱锥外接球的半径为，
则，
即，
解得.
由题意易证，
则，
故.
故所求截面圆的面积是.

故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 向量与的夹角的余弦值为D. 向量在上的投影向量为
答案：AD
解析：
思路：利用向量坐标运算求出的坐标，再利用向量坐标运算逐项判断.
解答过程：依题意，，
对于A，，因此，A正确；
对于B，，因此，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，向量在上的投影向量为，D正确.
故选：AD
10. 已知复数满足，复数（，i为虚数单位），则下列选项正确的是（ ）．
A. 若，则在复平面内对应的点位于第一象限
B. 复数在复平面内对应点的轨迹是圆心为，半径为1的圆
C. 的最大值为3
D. 若的实部与虚部互为相反数，则
答案：BCD
解析：
思路：根据复数的几何意义、复数的乘除计算逐项判断即可.
解答过程：因为时，复数，
所以在复平面内对应的点位于虚轴上，A错误；
因为复数满足，所以复数在复平面内对应点的轨迹是圆心为，半径为1的圆，B正确；
当复数的点位于时，取最大值为3，C正确；
由于，若的实部与虚部互为相反数，
则，即，D正确.
11. 在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，则（ ）
A.
B. 过点的平面截该长方体，所得截面周长为
C. 以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为
D. 三棱锥外接球的体积是
答案：ABD
解析：
解答过程：设，在直角中，根据勾股定理得，
在直角中，根据勾股定理得，解得，故，故A正确，
延长相交于点，连接交于点，则截面周长为，
在中，利用三角形相似可得，在中，利用三角形相似可得，
，又底面是边长为4的正方形，则，
故截面周长为，故B正确，
点到底面的距离为1，球的半径为，设球面与底面（正方形）的交线为半圆，
圆心在线段上且与距离为1，圆的半径，可得交线长为，故错误，
在中，，则的外接圆半径，显然平面，
因此三棱锥的外接球的球心在线段的中垂线上，球心到平面的距离为，
则球半径，故三棱锥的外接球体积为，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，，，，则________.
答案：2
解析：
解答过程：由余弦定理，
，，，
所以c2=232+22−2×23×2cs30∘=4 ，
解得.
13. 若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径，满足，且圆台的侧面积为，则__________.
答案：2
解析：
思路：根据圆台的侧面积公式计算．
解答过程：由题意，解得．
故2．
方法提示：本题考查圆台的侧面积公式，属于基础题．
14. 抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑（简称“解放碑”）位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，也是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑，同时象征着中国人民反法西斯战争的胜利、重庆解放的历史意义.小西为测量解放碑的高度，选取了由西到东相距米的两个观测点A和B.在点A处测得解放碑的基座中心点C位于北偏东75°方向（A、B、C在同一水平面上），且楼顶D的仰角为30°；在点B处测得解放碑基座中心点C位于北偏西45°方向，则解放碑的高度为________米.
答案：27.5##
解析：
思路：在中，利用正弦定理求出，在根据计算即可得出结果.
解答过程：因为在点处测得解放碑的基座中心点位于北偏东方向，在点处测得位于北偏西方向，、、在同一水平面上，
所以，，所以.
由正弦定理可得：，
米，，.
所以米.
在中，，根据正切函数，
所以米.
故27.5
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 已知平面内三个向量，，.
（1）若，求实数，的值；
（2）若，求实数的值；
答案：（1）；
（2）.
解析：
思路：（1）根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可；
（2）求出a→+kc→、的坐标，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
（1）因，又，，，
即1,3=m−1,2+n2,1，
，解得；
（2）因为a+kc=1+2k,3+k，2b−a=−3,1，
又a+kc//2b−a，
∴1×1+2k=−33+k ，解得.
16. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，.
（1）求边；
（2）求的面积.
答案：（1）或
（2）或
解析：
思路：（1）根据余弦定理求解即可.
（2）根据三角形面积公式求解即可.
（1）由余弦定理得，
整理得，解得.
所以边的值为或.
（2）当时，；
当时，.
所以的面积为或.
17. 如图所示，在中，，，与相交于点I，的延长线与边交于点P．
（1）用和分别表示和；
（2）如果，求实数和的值；
（3）在（2）的条件下，确定点P在边上的位置．
答案：（1），．
（2）.
（3）P为线段上靠近点C的三等分点．
解析：
思路：（1）利用向量减法的三角形法则求解；
（2）根据已知 将用进行表示，的方程组计算得到的值；
（3）设，．将用进行表示，得到的方程组，计算出的值，从而得到点P为线段上靠近点C的三等分点．
（1），．
（2）由（1）知，，
，
，
，不共线，，
解得.
（3）设，．
由（2）知，，
．
又，
，
，不共线，，
解得.
，即．
∴点P为线段上靠近点C的三等分点．
18. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，．
（1）求角A和边a；
（2）求的取值范围．
答案：（1），1
（2）解析：
思路：（1）利用正弦定理与和角的正弦公式求出角，再由条件求出边；
（2）利用正弦定理求出边，代入所求式，经过三角恒等变换化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得其范围.
（1）由和正弦定理可得，
化简得，
即
因，则，即，
因，故．
又由且，
可得．
（2）由正弦定理，，
可得，，
则，（*）
因，将其代入（*），可得：
．
因，则，故，
则的取值范围是．
19. 复向量是指元素为复数的向量，即把有序复数对看作一个向量，记作．我们把两复向量，的数量积记作．对于，，，，，，满足如下运算法则：
① ②，
③ ④复向量的模
已知为虚数单位，，，，，．
（1）求复向量，的模；
（2）证明：若，，则；
（3）对两个复向量与，若，则称与平行．是否存在，使与平行，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案：（1），
（2）证明见解析 （3）不存在，理由见解析
解析：
思路：（1）先根据复向量数量积的运算法则得出复向量，的坐标，进而得出， 的值；再根据复向量的模的计算公式可求解.
（2）先设出复向量的坐标，其中，， ，，，；再根据题目条件得出，得出即可证明.
（3）先根据复向量数量积的运算法则得出复向量，，；再假设与平行列出等式，得出
；最后根据，得出方程无解，假设错误，从而不存在实数，使得与平行.
（1），，
，
，
，
，.
（2）设，， ，，，；设.
，
，
.
（3），，
，
，
，，.
假设与平行，
则，即，
两端平方得：，即，
，
方程无解，
故不存在实数，使得与平行.