2025--2026学年山西省临汾市古县第一中学高二下册期中数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山西省临汾市古县第一中学高二下册期中数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的值为（ ）
A. 0B. 1C. 99D. 100
2. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知离散型随机变量的分布列为，则（ ）
A. B. C. D. 1
4. 为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
5. 在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则不同的安排方法共有（ ）
A. 40种B. 60种C. 80种D. 100种
6. 用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域A、B、C、D涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）
A. 14种B. 16种C. 20种D. 18种
7. 已知，则（ ）
A. 8B. C. 40D.
8. 设事件为两个随机事件，已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（ ）
A. B.
C. ，D. ，
10. 小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，事件为“只有小张去甲景点”，则（ ）
A. 这四人不同的旅游方案共有64种B. “每个景点都有人去”的方案共有72种
C. D. “四个人只去了两个景点”的概率是
11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A. B. 第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
C. 记第n行的第i个数为，则D. 第20行中第12个数与第13个数之比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量的概率分布密度函数，若.则________.
13. 的展开式中，常数项为_________.（用数字作答）
14. 甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是__________.
①事件，相互独立；②；③；④；⑤．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附，
16. 甲、乙两名运动员互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们的射击成绩均不低于8环（成绩环数以整数计），且甲、乙射击成绩（环数）的分布列如下：
（1）求p，q的值；
（2）若甲、乙两名运动员各射击两次，求四次射击中恰有三次命中9环的概率；
（3）若两名运动员各射击1次，记两人所得环数的差的绝对值为，求的分布列．
17. 从包含甲、乙2人的7人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答，否则无分）
（1）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；
（2）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；
（3）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．
18. 端午假期即将到来，某超市举办“高考高粽”有奖促销活动，凡持高考准考证考生及家长在端年节期间消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖箱里有10个形状､大小完全相同的小球（其中红球有3个，黑球有7个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从抽奖箱中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若小清､小北均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求他们至多一人享受免单优惠的概率；
（2）若小杰消费恰好满1000元，试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算？
19. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(单位：千元)对年销售量(单位：吨)的影响，对近年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中：，
（1）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（3）根据（2）中的回归方程，求当年宣传费千元时，年销售预报值是多少？
附：对于一组数据，，…，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的值为（ ）
A. 0B. 1C. 99D. 100
答案：D
解析：
解答过程：由组合数公式Cnm=Cnn−m，可得C10099=C100100−99=100
2. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据散点图和相关性的关系，判断结果.
解答过程：由散点图知，相关系数对应的散点图呈负相关，
且线性相关性比较强.
故选：B.
3. 已知离散型随机变量的分布列为，则（ ）
A. B. C. D. 1
答案：C
解析：
思路：根据已知分布列，结合互斥事件的概率加法公式求解即可得出答案.
解答过程：由已知可得，.
故选：C.
4. 为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
答案：C
解析：
解答过程：由题意可得，，
所以样本中心点为，又与的线性回归方程，
所以，解得.
5. 在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则不同的安排方法共有（ ）
A. 40种B. 60种C. 80种D. 100种
答案：C
解析：
思路：由题干限制条件得到值班的人数为2或3，据此应用分类加法计数原理，分别计算两种情况.
解答过程：根据题意可知，值班的人数为2或3，若人数为2，则需要一个人值班首尾两天，一个人值中间的那一天，安排方法种数为，若人数为3，则每人值一天班，安排方法种数为.
由分类加法计数原理知不同的安排方法共有（种）.
故选C.
6. 用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域A、B、C、D涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）
A. 14种B. 16种C. 20种D. 18种
答案：D
解析：
思路：分A与C同色与不同色两类，每一类中利用分步计数原理求解，可得总的方法数.
解答过程：先涂A，有3种涂法，再涂B有2种涂法，涂C时，与A同色，有1种涂法，此时D有2种涂法，
当C与A异色时有1种涂法，这是D有1种涂法，
所以共有3×2×（1×2＋1×1）＝18种.
故选：D.
7. 已知，则（ ）
A. 8B. C. 40D.
答案：D
解析：
解答过程：二项式的通项公式为，
，
，
所以.
8. 设事件为两个随机事件，已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据条件概率公式及对立事件概率公式计算求解即可.
解答过程：，
因，
故．
故选:A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（ ）
A. B.
C. ，D. ，
答案：ABD
解析：
解答过程：因为0.1+0.4+x+0.2+0.2=1 ，所以，A正确；
E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2 ，
D(X)=0−22×0.1+1−22×0.4+2−22×0.1
+3−22×0.2+4−22×0.2=1.8 ，B正确，C错误；
，则EY=2EX−1=3,DY=4DX=7.2 ，D正确.
10. 小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，事件为“只有小张去甲景点”，则（ ）
A. 这四人不同的旅游方案共有64种B. “每个景点都有人去”的方案共有72种
C. D. “四个人只去了两个景点”的概率是
答案：CD
解析：
思路：A选项，根据分步乘法计数原理求出答案；B选项，根据部分平均分组方法计算出答案；C选项，利用排列组合知识得到，，利用条件概率公式求出答案；D选项，求出四个人只去了两个景点的方案数，结合A中所求，求出概率.
解答过程：A选项，每个人都有3种选择，故共有种旅游方案，A错误；
B选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
故有种方案，B错误；
C选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
由B选项可知，，
又事件，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，
故，
所以，C正确；
D选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，
第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有种方案，
第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有种方案，
由A选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，
故“四个人只去了两个景点”的概率为，D正确.
故选：CD
11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A. B. 第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
C. 记第n行的第i个数为，则D. 第20行中第12个数与第13个数之比为
答案：CD
解析：
思路：A：利用组合数的性质求解判断；B：由第行中的数为的展开式的二项式系数判断；C：由第n行的第i个数为代入求解判断；D：根据第20行中的数为的展开式的二项式系数求解判断.
解答过程：对于A：，
，A错误；
对于B：第2023行中的数为的展开式的二项式系数，
则从左往右第1011个数为，第1012个数为，，B错误；
对于C：第n行的第i个数为，
则i=1n+1 3i−1ai=i=1n+1 3i−1Cni−1=30Cn0+31Cn1+32Cn2+⋯+3nCnn=1+3n=4n，C正确；
对于D：第20行中的数为的展开式的二项式系数，
则从左往右第12个数为，第13个数为，
则，D正确．
故选：CD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量的概率分布密度函数，若.则________.
答案：##
解析：
思路：根据题意可得，再根据正态分布的对称性即可得解.
解答过程：因为随机变量的概率分布密度函数，
所以，
所以.
故答案为.
13. 的展开式中，常数项为_________.（用数字作答）
答案：
解析：
思路：根据题意，，所以只需求的展开式中含的项和常数项即可.
解答过程：由题意得，
因为的展开式的通项为，
令，，
令，，
所以的常数项为，
故
14. 甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是__________.
①事件，相互独立；②；③；④；⑤．
答案：③④⑤
解析：
思路：首先判断出，和是两两互斥事件，再判断与是否相等，可确定①；求出可判断②；利用全概率判断③；再利用条件概率判断④⑤.
解答过程：依题意，，和是两两互斥事件，
，，
又，①②错误；
又，，
，③④正确；
，⑤正确；
故③④⑤.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附，
答案：（1）
（2）有关
解析：
思路：（1）根据古典概型的概率公式即可求出；
（2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断.
（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为；
（2）零假设为：超声波检查结果与患病无关，
根据表中数据可得，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过.
16. 甲、乙两名运动员互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们的射击成绩均不低于8环（成绩环数以整数计），且甲、乙射击成绩（环数）的分布列如下：
（1）求p，q的值；
（2）若甲、乙两名运动员各射击两次，求四次射击中恰有三次命中9环的概率；
（3）若两名运动员各射击1次，记两人所得环数的差的绝对值为，求的分布列．
答案：（1），.
（2） （3）的分布列为
解析：
（1）由分布列的性质，得12+p+14=116+q+13=1，解得，.
（2）甲、乙两名运动员各射击两次，四次射击中恰有三次命中9环，则有甲命中1次9环、乙命中2次9环或甲命中2次9环、乙命中1次9环.
因此，所求事件的概率．
（3）由题意可知，随机变量的可能取值有0，1，2．
，，．
所以随机变量的分布列为
17. 从包含甲、乙2人的7人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答，否则无分）
（1）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；
（2）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；
（3）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．
答案：（1）120 （2）120
（3）140
解析：
思路：（1）元素相邻用捆绑法；
（2）元素不相邻用插空法；
（3）由间接法求解即可.
（1）第一步：甲乙捆绑看做一个整体，从3个位置安排一个位置有，
第二步：从剩下5人中，需两人排在两个位置，有,
所有共有：；
（2）第一步，先从剩下5人中选2人排序，有，
第二步，甲乙两人从3个空中选2个空排序，有，
所以共有：；
（3）从5人中选2人加上甲乙4人的全排列有：，
其中甲跑第一棒的有：，乙跑第四棒的有：，
甲跑第一棒，乙跑第四棒有：，
所以共有.
18. 端午假期即将到来，某超市举办“高考高粽”有奖促销活动，凡持高考准考证考生及家长在端年节期间消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖箱里有10个形状､大小完全相同的小球（其中红球有3个，黑球有7个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从抽奖箱中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若小清､小北均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求他们至多一人享受免单优惠的概率；
（2）若小杰消费恰好满1000元，试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算？
答案：（1）
（2）小杰选择第一种抽奖方案更合算
解析：
思路：（1）首先求出每位顾客享受到免单优惠的概率，再利用相互独立事件与对立事件的概率公式计算可得；
（2）分别求出小杰选择方案一、方案二付款的期望值，即可判断.
（1）解：方案一若享受到免单优惠，则需摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件，则.
所以小清､小北二人至多一人享受到免单的概率为
.
（2）解：若小杰选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为0､600､700､1000，
所以，，
，.
故的分布列为
所以（元）.
若小杰选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则.
由已知可得，故.
所以（元）.
因为，
所以小杰选择第一种抽奖方案更合算.
19. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(单位：千元)对年销售量(单位：吨)的影响，对近年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中：，
（1）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（3）根据（2）中的回归方程，求当年宣传费千元时，年销售预报值是多少？
附：对于一组数据，，…，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
答案：（1）由散点图可判断适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；（2）；（3）吨．
解析：
思路：（1）由散点图可以知,关系是非线性的即可判断；
（2）令，则，利用根据题中数据可计算，的值，即可得关于的线性回归方程，再将代入即可求解；
（3）将代入关于的回归方程即可求解.
解答过程：（1）由散点图可以判断：适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；
（2）令，先建立关于的线性回归方程，
由于，
，
所以关于的线性回归方程为，
所以关于的回归方程为；
（3）由（2）知：当时，年销售量的预报值
故年宣传费千元时，年销售预报值是吨．3
4
6
7
2
2.5
4.5
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.4
x
0.2
0.2
超声波检查结果
组别
正常
不正常
合计
患该疾病
20
180
200
未患该疾病
780
20
800
合计
800
200
1000
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
甲
乙
环数
8
9
10
8
9
10
概率
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
3
4
6
7
2
2.5
4.5
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.4
x
0.2
0.2
超声波检查结果
组别
正常
不正常
合计
患该疾病
20
180
200
未患该疾病
780
20
800
合计
800
200
1000
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
甲
乙
环数
8
9
10
8
9
10
概率
0
1
2
P
0
1
2
0
600
700
1000
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8