2025-2026学年天津市河北区高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年天津市河北区高一（下）期末数学试卷（含答案），共5页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.i是虚数单位，则(2−i)(1+i)的虚部为( )
A. 3B. 1C. iD. −i
2.抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A={至少1枚正面朝上}，事件B={至多2枚正面朝上}，事件C={没有硬币正面朝上}，则下列正确的是( )
A. C=A∩BB. C=A∪BC. C⊆AD. C⊆B
3.设向量a=(1,x−1)，b=(x+1,3)，则“a与b同向”的充要条件是( )
A. x=2B. x=−2C. x=±2D. x=12
4.已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的表面积为( )
A. 9πB. 12πC. 16πD. 24π
5.甲、乙两名射击运动员进行比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人各射击一次恰有一人中靶的概率为( )
A. 0.26B. 0.28C. 0.72D. 0.98
6.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若m//α，n//α，则m//n
B. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
C. 若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β
D. 若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥β
7.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则异面直线EF与AD1所成角的正切值为( )
A. 2
B. 22
C. 33
D. 3
8.如图所示，平行四边形ABCD中，BE=2EC，点F为线段AE的中点，则AC=( )
A. 34AE+12BFB. 34AE+BFC. 54AE+12BFD. 54AE+BF
9.已知三个不共线的向量OA，OB，OC满足OA⋅(AB|AB|+CA|CA|)=OB⋅(BA|BA|+CB|CB|)=OC⋅(CA|CA|+BC|BC|)=0，则O为△ABC的( )
A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心
10.如图，两个正交的全等正四面体(每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点)，若正四面体棱长为2，则这两个正交四面体公共部分的体积为( )
A. 26
B. 23
C. 2 23
D. 63
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.某环境监测部门收集了当地一周内的空气质量指数(AQI)，分别为65，71，67，89，78，91，102，则这组数据的第70百分位数为______．
12.一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队全体运动员中抽出一个容量为14的样本.如果样本按比例分配，那么应抽取的男运动员人数为 ．
13.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E是B1C1的中点，则点A1到平面BD1E的距离为 ．
14.天津是一个历史悠久的文化古都，五大道、石家大院、古文化街、鼓楼这四个景点是天津十分有名的旅游胜地.已知某游客游览五大道的概率为23，游览石家大院、古文化街、鼓楼的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客至少游览三个景点的概率为 ．
15.如图，在菱形ABCD中，BC=2，∠ABC=60°，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则BM⋅BD= ；BP⋅BD的最大值是 ．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
将一个红球和一个黑球任意放入标号为1，2，3的三个盒子里面．
(Ⅰ)用集合的形式写出试验的样本空间；
(Ⅱ)用集合的形式表示下列事件并求出事件的概率．
(i)A=“1号盒子不空”；
(ii)B=“每盒至多一个球”．
17.(本小题10分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足csB=13，bsinC=2 2．
(1)求sinB及边c的值；
(2)若△ABC的面积为4 2，求b．
18.(本小题10分)
为优化假期安排，调整学生学习节奏，某中学调查“五一”小长假学生外出体验的情况.随机选取了该校高一及高二共100名学生并对其进行了问卷调查.将外出时间(单位：小时)数据按照[5,7)，[7,9)，[9,11)，[11,13)，[13,15]依次分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值；
(Ⅱ)已知该校高一及高二共有2000名学生，估计这两个年级“五一”小长假外出时间不少于9小时的人数，说明理由；
(Ⅲ)估计学生“五一”小长假外出时间的众数、中位数，说明理由．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是边长为 2的正方形，平面AEC⊥平面CDE，∠AEC=90°，F为DE中点，且DE=1．
(1)求证：BE//平面ACF；
(2)求证：CD⊥DE；
(3)求FC与平面ABCD所成角的正弦值．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】89
12.【答案】8
13.【答案】2 63
14.【答案】38
15.【答案】3
3+2 3

16.【答案】样本空间为Ω={(R1,B1)，(R1,B2)，(R1,B3)，(R2,B1)，(R2,B2)，(R2,B3)，(R3,B1)，(R3,B2)，(R2,B3)} (i)A={(R1,B1)，(R1,B3)，(R1,B3)，(R2,B1)，(R3,B1)}，P(A)=59．
(ii)B={(R1,B2)，(R1,B3)，(R2,B1)，(R2,B3)，(R3,B1)，(R3,B2)}，P(B)=n(B)n(Ω)=23
17.【答案】sinB的值为2 23，边c的值为3 17
18.【答案】0.105 1120人 众数为8，中位数为9.4
19.【答案】(1)证明：连接BD和AC交于O，连接OF，
∵ABCD为正方形，∴O为BD中点，
∵F为DE中点，∴OF/​/BE，
又BE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，
∴BE/​/平面ACF．
(2)证明：∵平面AEC⊥平面CDE，∠AEC=90°，平面AEC∩平面CDE=CE，AE⊂平面AEC，
∴AE⊥平面CDE，
又CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，
∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD，
又∵AE∩AD=A，AD、AE⊂平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，
∵DE⊂平面DAE，∴CD⊥DE．
(3)解：过F作FM⊥AD于M，连接CM．
由(2)得CD⊥平面DAE，CD⊂平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面DAE，
又∴平面ABCD∩平面DAE=AD，FM⊥AD，FM⊂平面DAE，
∴FM⊥平面ABCD，
∴∠FCM为FC与平面ABCD所成角，
由平面几何的知识可知：△DFM∽△DAE，
因为AD=CD= 2，DF=12，DE=1，
∴FC=32，AE=1，FMAE=DFAD，
∴FM=AE⋅DFAD= 24，
∴sin∠FCM=FMFC= 26，
所以FC与平面ABCD所成角的正弦值为 26．