2023-2024学年天津市河北区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年天津市河北区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a>0，则 a13 a12 a化为( )
A. a712B. a512C. a56D. a13
2.命题：“对任意的x∈R，x3−x2+1≤0”的否定是( )
A. 不存在x∈R，x3−x2+1≤0B. 存在x∈R，x3−x2+1≥0
C. 存在x∈R，x3−x2+1>0D. 对任意的x∈R，x3−x2+1>0
3.下列等式成立的是( )
A. lg2(8−4)=lg28−lg24B. lg28lg24=lg284
C. lg223=3lg22D. lg2(8+4)=lg28+lg24
4.如果角θ的终边经过点(− 32,12)，则csθ=( )
A. − 33B. − 32C. 12D. 3
5.若实数a，b满足a+b=2，则ab的最大值是( )
A. 1B. 2 2C. 2D. 4
6.已知函数f(x)=lga(x−b)(a>0且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是( )
A. a>0，b<−1
B. a>0，−1C. 0D. 07.已知f(x)在R上是偶函数，且满足f(x+4)=f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)=2x2，则f(7)=( )
A. 2B. −2C. −98D. 98
8.已知函数f(x)=2x+x，g(x)=lg2x+x，h(x)=x3+x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
A. ab>cD. c>a>b
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. f(x+π6)为偶函数
B. f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到y=Asin2x的图象
C. f(x)图象的对称中心为(−π12+kπ,0)，k∈Z
D. f(x)在区间[0,π2]上的最小值为− 3
10.已知函数f(x)=12x+1,x≤0lgx,x>0，若存在不相等的实数a，b，c，d满足|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=|f(d)|，则a+b+c+d的取值范围为( )
A. (0,+∞)B. (−2,8110]C. (−2,6110]D. (0,8110]
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤10}，A∩(∁UB)={1,3,5,7}，则B=______.
12.已知某扇形的圆心角是240∘，半径是3，则该扇形的面积是______.
13.已知α是第四象限角，且csα= 55，则cs(π2−α)⋅sin(π+α)⋅tan(2π−α)=______.
14.已知函数y=12sin(3x−π3)，该函数的初相是______；要得到函数y=12sin3x的图象，只需将函数y=12sin(3x−π3)的图像______.
15.已知函数f(x)=sin2x+ 3sinxcsx−12，将f(x)化成f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式为f(x)=______；函数f(x)在区间[0,23π]上的最小值是______.
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知tanα=−13.
(Ⅰ)求tan(π4+α)的值；
(Ⅱ)求sin2α−cs2α1+cs2α的值.
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=lga(ax−1)(a>0,且a≠1).
(1)当a=12时，求函数f(x)的定义域；
(2)当a=2时，若不等式f(x)−lg2(1+2x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立，求实数m的取值范围．
18.(本小题10分)
已知函数f(x)=sin(2x−π4)，x∈R.
(Ⅰ)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数f(x)在区间[0,π]内的图象；
(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期；
(Ⅲ)求函数f(x)的单调递增区间.
(Ⅰ)列表：
画图：
19.(本小题12分)
给定函数f(x)=x+1，g(x)=(x−1)2，x∈R.
(Ⅰ)求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(Ⅱ)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}，用解析法表示函数M(x)；
(Ⅲ)设函数M(x)在[t,t+1]上的最小值为h(t)，求函数h(t)的表达式.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了根式的化简，属于基础题．
利用根式的运算性质即可得出．
【解答】
解：原式= a13 a12⋅a12= a13⋅a12=a12×56=a512.
故选：B.
2.【答案】C
【解析】解：命题为全称命题，
则命题的否定为：存在x∈R，x3−x2+1>0，
故选：C.
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3.【答案】C
【解析】解：A.等式的左边=lg2(8−4)=lg24=2，右边=lg28−lg24=3−2=1，∴A不成立．
B.等式的左边=lg28lg24=3232，右边=lg22=1，∴B不成立．
C.等式的左边=3，右边=3，∴C成立．
D.等式的左边=lg2(8+4)=lg212，右边=lg28+lg24=3+2=5，∴D不成立．
故选：C.
分别根据对数的运算法则进行判断即可．
本题主要考查对数值的计算，要求熟练掌握对数的运算法则，比较基础．
4.【答案】B
【解析】解：因为角θ的终边经过点(− 32,12)，
由三角函数的定义可知，csθ=− 32.
故选B.
直接利用三角函数的定义，求出csθ.
本题考查三角函数的定义，基本知识的应用．
5.【答案】A
【解析】解：由基本不等式，可得 ab≤a+b2=1，所以ab≤1，
当且仅当a=b=1时，ab的最大值为1.
故选：A.
根据基本不等式，可得 ab≤a+b2，算出 ab的最大值，进而可得答案．
本题主要考查不等式的性质、利用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：∵函数f(x)=lga(x−b)为减函数，∴0当lga(x−b)=0，x−b=1，∴x=b+1，
又∵函数图象与x轴的交点在正半轴上，
∴x=1+b>0，即b>−1，
又∵函数图象与y轴有交点，∴b<0，
∴−1故选：D.
利用对数函数的单调性得到0本题考查了对数函数图象的应用，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：f(x)在R上是偶函数，且满足f(x+4)=f(x)，
当x∈(0,2)时，f(x)=2x2，
则f(7)=f(−1)=f(1)=2.
故选：A.
利用函数的周期性和奇偶性得到f(7)=f(−1)=f(1)，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．
把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，画出图形，数形结合得答案．
【解答】
解：函数f(x)=2x+x的零点为函数y=2x与y=−x的图象交点的横坐标，
函数g(x)=lg2x+x的零点为函数y=lg2x与y=−x的图象交点的横坐标，
函数h(x)=x3+x的零点为函数y=x3与y=−x的图象交点的横坐标．
在同一直角坐标系内作出函数y=2x、y=lg2x、y=x3与y=−x的图象如图：
由图可知，a<0，b>0，c=0.
∴a故选：B.
9.【答案】A
【解析】解：∵f(x)max=2，A>0，
∴A=2；
由图象可知：f(x)最小正周期T=4×(5π12−π6)=π，
∴ω=2πT=2，
又f(π6)=2sin(2×π6+φ)=2，
∴π3+φ=π2+2kπ(k∈Z)，解得：φ=π6+2kπ(k∈Z)，
又|φ|<π2，
∴φ=π6，
∴f(x)=2sin(2x+π6)；
对于A，f(x+π6)=2sin(2(x+π6)+π6)=2sin(2x+π2)=2cs2x，
∵2cs(−2x)=2cs2x，
∴f(x+π6)为偶函数，A正确；
对于B，f(x−π6)=2sin(2(x−π6)+π6)=2sin(2x−π6)≠2sin2x，B错误；
对于C，令2x+π6=kπ(k∈Z)，解得：x=−π12+kπ2(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心为(−π12+kπ2,0)(k∈Z)，C错误；
对于D，当x∈[0,π2]时，2x+π6∈[π6,7π6]，
∴当2x+π6=7π6，即x=π2时，f(x)min=2sin7π6=−1，D错误．
故选：A.
根据函数最大值和最小正周期可得A，ω，由f(π6)=2可得φ，从而得到f(x)解析式；由f(x+π6)=2cs2x可确定奇偶性，知A正确；根据三角函数平移变换原则可得B错误；利用整体代换法，令2x+π6=kπ(k∈Z)可求得对称中心，知C错误；由2x+π6∈[π6,7π6]，结合正弦函数性质可确定最小值为2sin7π6=−1，知D错误．
本题考查正弦型函数的图象及性质，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查分段函数图象的应用，考查运算能力，考查转化思想、数形结合思想，属于中档题．
将问题转化为y=t与y=|f(x)|图象的四个交点横坐标之和的范围，通过作出函数图象，结合函数在y轴两边图象的性质求目标式的范围．
【解答】
解：由题意，将问题转化为y=t与y=|f(x)|的图象有四个交点，
y=|f(x)|=12x+1,x≤0lgx,x>0=−x2−1,x≤−2x2+1,−21，
则该分段函数在(−∞,−2]上递减且值域为[0,+∞)；在(−2,0]上递增且值域为(0,1]；
在(0,1]上递减且值域为[0,+∞)；在(1,+∞)上递增且值域为(0,+∞)；
y=|f(x)|的图象如下：
所以0由图象知：−4≤a<−2由x≤0，y=12x+1图象关于x=−2对称易知：a+b=−4,，
由x>0,y=|lg⁡x|=t,两个解互为倒数知:c+d=d+1d，
容易分析m=d+1d在(1,10]上单调递增，
则c+d=d+1d∈(2,10110],
所以a+b+c+d∈(−2,6110].
故选：C.
11.【答案】{0,2,4,6,8,9,10}
【解析】解：由题意，U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，
∵A∩(CUB)={1,3,5,7}，U=A∪B，
∴B={0,2,4,6,8,9,10}.
故答案为：{0,2,4,6,8,9,10}.
由全集U=A∪B，根据A∩(CUB)，应用韦恩图即可求集合B.
本题考查了集合的运算，是基础题．
12.【答案】6π
【解析】解：依题意知，扇形的圆心角为θ=240∘=4π3，半径为3，
所以扇形的弧长为l=θr=4π，
所以扇形的面积为S扇形=12lr=12×4π×3=6π.
故答案为：6π.
由题意求出扇形的弧长，再计算扇形的面积．
本题考查了扇形的弧长与面积计算问题，是基础题．
13.【答案】−85
【解析】解：因为α是第四象限角，且csα= 55，
所以sinα=− 1−cs2α=−2 55，
则cs(π2−α)⋅sin(π+α)⋅tan(2π−α)=sinα⋅(−sinα)⋅(−tanα)=sin3αcsα=−85.
故答案为：−85.
由题意利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可计算求解．
本题主要考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
14.【答案】−π3 向左平移π9个单位
【解析】解：函数y=12sin(3x−π3)，该函数的初相−π3；
要得到函数y=12sin3x的图象，只需将函数y=12sin(3x−π3)的图像向左平移π9个单位．
故答案为：−π3；向左平移π9个单位．
直接利用函数的图象的平移变换求出结果．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，函数的图象的平移变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
15.【答案】sin(2x−π6)−12
【解析】解；f(x)=sin2x+ 3sinxcsx−12=1−cs2x2+ 32sin2x−12
= 32sin2x−12cs2x=sin(2x−π6)；
因为x∈[0,23π]，所以−π6≤2x−π6≤7π6，
所以函数f(x)的最小值是f(0)=−12.
故答案为：sin(2x−π6)；−12.
利用降幂公式，二倍角公式和辅助角公式化简函数的解析式，进而根据已知利用正弦函数的性质即可求解．
本题考查三角恒等变换，三角函数最值，属中档题．
16.【答案】解：(I)∵tan(α+π4)=1+tanα1−tanα，tanα=−13，
∴tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=−13+11+13=12；
(II)sin2α−cs2α1+cs2α=2sinαcsα−cs2α2cs2α
=2sinα−csα2csα
=tanα−12
=−13−12=−56.
【解析】(I)利用两角和的正切公式，再把已知条件代入运算求出结果；
(II)利用二倍角公式，把要求的式子化为2sinαcsα−cs2α2cs2α，约分后再利用同角三角函数的基本关系化为tanα−12，把已知条件代入运算求出结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的恒等变换及化简求值，属于基础题．
17.【答案】解：(1)当a=12时，f(x)=lg12(12x−1)，
∵12x−1>0，∴x<0，
∴函数f(x)的定义域为(−∞,0)；
(2)令g(x)=f(x)−lg2(1+2x)=lg22x−12x+1，x∈[1,3]，
设t=2x−12x+1=1−22x+1，又x∈[1,3]，
∴2x+1∈[3,9]，∴t=1−22x+1∈[13,79]，
又g(x)=y=lg2t，且t∈[13,79]，
∴g(x)的最小值为lg213，
又∵f(x)−lg2(1+2x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立，
∴m即m∈(−∞,lg213).
【解析】(1)首先根据题意得到f(x)=lg12(12x−1)，从而得到12x−1>0，再解不等式即可得到答案．
(2)首先根据题意得到g(x)=lg22x−12x+1，设t=2x−12x+1=1−22x+1，根据x∈[1,3]得到t∈[13,79]，从而得到g(x)min=g(13)=lg213，即可得到答案．
本题考查对数的运算，换元法求解复合函数的最值，恒成立问题的求解，化归转化思想，属中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，函数f(x)=sin(2x−π4)，x∈[0,π]，列表如下：
在平面直角坐标系内，描出对应的点，再用平滑的曲线连接，得出函数的图象，
如图所示：
(Ⅱ)函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(Ⅲ)由2x−π4∈[2kπ−π2,2kπ+π2]，k∈Z，
解得x∈[kπ−π8,kπ+3π8]，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π8,kπ+3π8]，k∈Z.
【解析】(Ⅰ)根据列表、描点、连线的基本步骤，画出函数在[0,π]的大致图象即可；
(Ⅱ)由最小正周期公式求解即可；
(Ⅲ)由2x−π4∈[2kπ−π2,2kπ+π2]，k∈Z，可求得x的范围，进而可得函数的单调递增区间．
本题主要考查三角函数的图像和性质，利用五点作图法以及求出角的范围，是中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)f(x)≥g(x)⇔x+1≥(x−1)2⇔x2−3x≤0，
解得0≤x≤3，
所以不等式f(x)≥g(x)的解集为[0,3]；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，当x∈[0,3]时，x+1≥(x−1)2，
所以当x+1<(x−1)2时，解得x<0或x>3，
又因为M(x)=max{f(x),g(x)}，
所以M(x)={(x−1)2,x<0或x>3x+1,0⩽x⩽3；
(Ⅲ)作出M(x)的图象，如图所示：
由此可得，当t+1≤0，即t≤−1时，M(x)在(−∞,0]上单调递减，
此时h(t)=M(x)min=M(t+1)=t2；
当t<0此时h(t)=M(x)min=M(0)=1；
当3≥t≥0时，M(x)在[t,3]上单调递增，
此时h(t)=M(x)min=M(t)=t+1；
当t>3时，M(x)在(3,+∞)上单调递增，
此时h(t)=M(x)min=M(t)=(t−1)2；
综上，h(t)=t2,t≤−11,−13.
【解析】(Ⅰ)通过解一元二次不等式来求得正确答案；
(Ⅱ)根据f(x)和g(x)的图象来求得M(x)的解析式．
(Ⅲ)画出M(x)的图象，对t进行分类讨论，从而求得h(t).
本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论思想及数形结合思想，属于中档题．x
0
π8
3π8
5π8
7π8
π
X=2x−π4
−π4
0
π2
π
3π2
7π4
y
− 22
0
1
0
−1
− 22