2025--2026学年江苏省阜宁中学高一下册期中学情调研数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏省阜宁中学高一下册期中学情调研数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若（i为虚数单位），则复数z的虚部为（ ）
A. B. 1C. D.
2. 下列命题
①“”是“复数a+i1−ia∈R为纯虚数”的充要条件
②四条首尾相连的线段确定一个平面
③一个平面可以将空间分成两部分
④直线绕定点运动形成锥面
⑤有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥
正确的有（ ）项
A. 0B. 1C. 2D. 3
3. 如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转一周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于方位角为，距离为km的海面处，并以km/h的速度沿北偏西的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为km的圆形区域.则（ ）小时后该城市开始受到台风侵袭.
A. 5B. 10C. 15D. 20
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为（ ）
A. B. C. D.
7. 八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点为该正八边形的中心，设，下列结论中正确的个数是（ ）

①；
②；
③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）；
④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4.
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
8. 若的三个内角的正弦值为，则（ ）
A. 一定能构成三角形的三条边
B. 一定能构成三角形的三条边
C. 一定能构成三角形的三条边
D. 一定能构成三角形的三条边
9. 如图，空间四边形中，分别是边，的中点，分别在线段上，且满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，四边形是矩形
B. 当时，四边形是梯形
C. 当时，四边形是空间四边形
D. 当时，直线相交于一点
10. 已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 函数在上单调递增
B. 函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到
C.
D. 若函数在上至少有11个零点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
11. 在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________．
12. 在正方体中，为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为_______.
13. 已知函数f(x)=sin2ωx2+12sinωx−12(ω>0) ，．若在区间内没有零点，则的取值范围是_____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤.
14. 已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）．
（1）求实数m的值；
（2）设复数，求；
（3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B；
（2）求的最小值．
16. 如图，已知在平面四边形中，，，．

（1）若平分，求的长；
（2）设，
①若，求四边形的面积；
②当四边形面积最大时，求证：．
17. 如图，已知三棱锥，三角形为等边三角形，，.
（1）若点为的中点，证明：；
（2）当时，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值.
18. 在三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
（1）在斜三角形
（i）若，，求的值．
（ii）若，求的值．
（2）若，求c的取值范围.
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若（i为虚数单位），则复数z的虚部为（ ）
A. B. 1C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为，
所以，
所以，
所以的虚部为．
2. 下列命题
①“”是“复数为纯虚数”的充要条件
②四条首尾相连的线段确定一个平面
③一个平面可以将空间分成两部分
④直线绕定点运动形成锥面
⑤有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥
正确的有（ ）项
A. 0B. 1C. 2D. 3
答案：D
解析：
思路：对于①，为纯虚数求得，再根据充要条件的概念判断；对于②，根据空间四边形判断；对于③，根据平面的性质判断；对于④，根据直线与旋转轴的关系判断；对于⑤，根据棱锥定义判断.
解答过程：对于①，a+i1−i=a+i1+i1−i1+i=a−1+a+1i2=a−12+a+12i 为纯虚数，则，解得，
故“”是“复数为纯虚数”的充要条件，正确；
对于②，四条首尾相连的线段可以构成空间四边形，四点不共面，不能确定一个平面，故错误；
对于③，一个平面将空间严格分成平面两侧的两部分，故正确；
对于④，过定点的一条直线绕经过该定点的另一条直线旋转形成锥面，故错误；
对于⑤，棱锥定义：有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥，故正确；
综上，正确的有3项.
3. 如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转一周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是的长，求解即可．
解答过程：解：依题意可得圆柱的底面半径，高
将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形，其中，，
问题转化为在上找一点，使最短，
作关于的对称点，连接，令与交于点，
则得的最小值就是为．
故选：A
4. 如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于方位角为，距离为km的海面处，并以km/h的速度沿北偏西的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为km的圆形区域.则（ ）小时后该城市开始受到台风侵袭.
A. 5B. 10C. 15D. 20
答案：B
解析：
思路：由题意km，根据方位角关系可得，利用余弦定理建立关于的方程求解即可.
解答过程：设小时后台风中心移动到点，此时城市开始受到台风侵袭，即km，
已知，台风速度为，因此；
根据方位角关系可得，
在中，由余弦定理：，
代入数值：
，
化简得：，解得或，
依题意开始受到侵袭的时间，取较小值.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：结合二倍角公式和两角和差公式化简即可求得.
解答过程：，.
，
，，
，，
又因为，所以，
则，所以
.
.
故选：A
6. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：借助余弦定理计算可得，借助三角恒等变化公式化简可得，代入计算即可得角的大小.
解答过程：因为，由余弦定理得，
所以，又，所以，
因为，
所以，
即，
又，所以，
所以或（舍），
所以，所以.
故选：B.
7. 八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点为该正八边形的中心，设，下列结论中正确的个数是（ ）

①；
②；
③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）；
④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4.
A. 4B. 3C. 2D. 1
答案：C
解析：
思路：由图可知对于线段长和夹角的值，由向量的相关计算分别得出对于命题的结果，从而得出结论.
解答过程：由题意可知：，
∴，故①不成立；
∵，
∴，故②成立；
∵在上的投影：
∴在上的投影向量为，成立；故③成立；
如图：

当点在线段上时，此时在上的投影最大，
在中，，∴
∴
，故④不正确.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
8. 若的三个内角的正弦值为，则（ ）
A. 一定能构成三角形的三条边
B. 一定能构成三角形的三条边
C. 一定能构成三角形的三条边
D. 一定能构成三角形的三条边
答案：AD
解析：
思路：根据正弦定理边角化，结合三角形三边满足的关系即可根据选项逐一求解.
解答过程：对于A，由正弦定理得，
所以，，作为三条线段的长一定能构成三角形，A正确，
对于B，由正弦定理得，
例如，则，
由于，，故不能构成三角形的三条边长，故B错误，
对于C, 由正弦定理得，
例如：、、，则、、，
则，，，作为三条线段的长不能构成三角形，C不正确；
对于D，由正弦定理可得，不妨设，则，故，且，
所以，故D正确，
故选：AD
9. 如图，空间四边形中，分别是边，的中点，分别在线段上，且满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，四边形是矩形
B. 当时，四边形是梯形
C. 当时，四边形是空间四边形
D. 当时，直线相交于一点
答案：BC
解析：
思路：利用三角形的中位线和相似比结合平行四边形和梯形的判定判断AB，利用异面直线的概念判断C，假设直线相交于一点，利用线面平行的性质定理判断D.
解答过程：选项A：在中，因为分别是边，的中点，所以且，
当时，分别为中点，所以在中可得且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
又分别为中点，所以，又，
当时有，平行四边形为矩形，
所以四边形不一定是矩形，A错误；
选项B：当时，，所以，且，
则由A可知且，所以四边形是梯形，B正确；
选项C：当时，不平行于，又因为平面，平面，
所以是异面直线，四边形是空间四边形，C正确；
选项D：不妨设直线相交于一点，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为直线相交于点，所以平面，
因为平面平面，所以，
所以可得，矛盾，D错误；
故选：BC
10. 已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 函数在上单调递增
B. 函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到
C.
D. 若函数在上至少有11个零点，则的最小值为
答案：ABD
解析：
思路：先化简函数，根据正弦函数的图像和性质逐项进行验证即可判断求解.
解答过程：因为
，
对A，令，则，即的单调增区间为，
则在上单调递增，故选项正确；
对B，图象向左平移个单位长度得到，
，故选项正确；
对C，由于，故选项错误；
对D，若函数在上至少有11个零点，
即与在上至少有11个交点，
令，则或，
即或，

由于函数一个周期由两个点函数值为，
则在正好由11个交点，故的最小值为，故选项正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
11. 在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________．
答案：
解析：
思路：根据三角恒等变换得，再根据余弦定理，正弦定理角化边得，最后根据已知条件即可求得答案.
解答过程：因为，所以
所以tanCtanA+tanCtanB=tanC1tanA+1tanB=sinCcsCcsAsinA+csBsinB
=sinCcsC⋅csAsinB+csBsinAsinAsinB=sinCcsC⋅sinA+BsinAsinB=sin2CcsCsinAsinB
因为，，为外接圆半径，
所以
因为，
所以，
12. 在正方体中，为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为_______.
答案：
解析：
思路：作辅助线，证明、，将问题转化为求的余弦值；再求出的三条边长，利用余弦定理即可得出答案.
解答过程：设正方体边长为1，
取的中点，连接、，
因为点、分别为、的中点，
所以且，
所以且，四边形为平行四边形，
所以，
连接、，交点记为点，连接，
因为点、分别为、的中点，
所以
所以直线与直线所成的角，即直线与直线所成的角，
即为或其补角，
在中，，
，
，
所以，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
故答案为.

13. 已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是_____________．
答案：
解析：
思路：利用三角恒等变换将函数化简为标准正弦型函数，将区间内无零点的条件转化为正弦函数对应相位区间内无整数倍的取值，结合正弦函数零点的周期性分布规律列不等式求解参数范围.
解答过程：∵ ，由降幂公式得 f(x)=1−csωx2+12sinωx−12=12sinωx−csωx.
由辅助角公式得f(x)=22sinωx−π4，.
令，得sinωx−π4=0 ，即，.
∵ ，
∴ ωx−π4∈ωπ2−π4,3ωπ2−π4.
由题意该区间内不存在满足的整数，即区间完全落在两个相邻的整数倍之间，
∴ 存在整数，满足kπ≤ωπ2−π43ωπ2−π4≤(k+1)π，
两边同除以化简得ω≥2k+12ω≤4k+56，.
∵ ，
当时，解得；
当时，解得；
当或时，不等式组无正实数解.
综上，的取值范围是0,16∪12,56.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤.
14. 已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）．
（1）求实数m的值；
（2）设复数，求；
（3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用复数的乘法法则化简复数，根据该复数为纯虚数可求得的值；
（2）利用复数的除法法则化简复数，利用复数的模长公式可求得的模；
（3）利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出关于实数a的不等式组，即可解得实数a的取值范围．
（1）因为，则，
所以，又为纯虚数，
所以，解得；
（2），
所以；
（3）因为，
所以，
因为复数在复平面内对应的点在第一象限，则，
解得，所以实数a的取值范围为．
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B；
（2）求的最小值．
答案：（1）；
（2）．
解析：
思路：（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解.
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
（1）方法一：直接法
可得，
则，即，
注意到，于是，
展开可得，则，
又，.
方法二：二倍角公式处理+直接法
因为，
即，
而，所以；
方法三：导数同构法
根据可知，，
设，，
则在上单调递减，，
故，结合，解得.
方法四：恒等变换化简
，
结合正切函数的单调性，，则，
结合，解得.
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以由正弦定理得
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
16. 如图，已知在平面四边形中，，，．

（1）若平分，求的长；
（2）设，
①若，求四边形的面积；
②当四边形面积最大时，求证：．
答案：（1）
（2）①；②证明见解析
解析：
思路：（1）因为平分，得到，利用余弦定理，列出方程，即可求得的长；
（2）①在中，利用余弦定理，求得，再在中，求得，得到，结合四边形面积，即可求解；
②分别在和中，利用余弦定理，得到表达式，求得，设四边形的面积为，结合，求得，再由，得到，进而得到结论.
（1）因为平分，可得，
由余弦定理，可得，
所以，解得，
所以.
（2）①在中，余弦定理得，
所以，解得，
在中，可得，所以，
因为，所以，
由四边形面积，
所以；
②在中，可得，
在中，可得，
所以，
所以，
设四边形的面积为，
则
所以，
又因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
当且仅当时，，此时取最大值12，
此时有最大值，所以当四边形面积最大时．
17. 如图，已知三棱锥，三角形为等边三角形，，.
（1）若点为的中点，证明：；
（2）当时，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值.
答案：（1）证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：（1）通过直角三角形和等边三角形的性质，求出，即可证明.
（2）取中点，连接,将异面直线与所成角变为与所成的角，利用余弦定理即可求解.
（3）根据第二问的求解过程，表示出EF，即可求解.
（1）设，取中点，连接，，
为等边三角形，为中点，
，
在中，为中点，，
在中，，
，
在中，，
.
（2）设，取中点，连接，，
取中点，连接，由（1）得，，
在中，为中点，
且，
故异面直线与所成角为与所成的角，
在中，,
,
在中，，
故异面直线与所成角的余弦值为.
（3）设,，
异面直线与所成角的余弦值为
由（2）可知，
，故，
在中，，
，故.
18. 在三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
（1）在斜三角形
（i）若，，求的值．
（ii）若，求的值．
（2）若，求c的取值范围.
答案：（1）(i); （ii）;
（2） ;
解析：
思路：（1）(i)先利用两式相除、相减，结合三角形内角和与正切恒等式，化简求出，再运用斜三角形中的恒等式，最后代入恒等式得结果即可；
(ii) 先用正弦定理将正弦关系式转化为边的关系，再代入余弦定理，整理出含的式子；接着通过换元法，将式子转化为均值不等式的形式，利用均值不等式“左边大于等于”和三角函数最值“右边小于等于”的特点，判断等号必须成立，从而确定角的值，最终求出即可；
（2）先对已知等式用平方差公式展开化简，结合 的取值范围，推出；再根据 ，确定的两种可能取值；最后分情况利用正弦定理，将表示为关于角的函数，结合角的取值范围，分析得出的取值范围.
（1）(i) 因为 ， ，
则两式相除，得，即，
两式相减，得 ，
即csA−sinA=2026cs(B+C)=2026csπ−A=−2026csA ，
整理 ，故 ，
在斜三角形中，由tan(B+C)=tanB+tanC1−tanBtanC=tanπ−A=−tanA 可得恒等式，
将代入 ，
因此.
(ii)由正弦定理，得，
代入原式得，
化简得2b2+3c2=abcR+a2，
又因为三角形面积公式 ，且 abcR=2bcsinA ，
所以2b2+3c2=2bcsinA+a2，
因为，代入，
整理 ，
两边同除以，得bc+2⋅cb=2(sinA−csA)=22sinA−π4，
令 ，则t+2t=22sinA−π4，
由均值不等式得，当且仅当时取等号；
又因为22sinA−π4≤22，故等号必须同时成立，
即时sinA−π4=1 ，
因为 ，得，所以，
因此 .
（2）因为 ，
所以 ，
整理得 ，即 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，故，
此时 ，即 ，
因，故或，即或，
当时，，由正弦定理，
所以c=sin3π4−AsinA=22(sinA+csA)sinA，
当 时 ，
当时，c=22(sinA+csA)sinA=221+1tanA
若 时，tanA∈0,+∞，此时c=221+1tanA>22，
若π2