2025--2026学年江苏扬州市高邮市高二下册期中学情调研测试数学试题 [含解析]

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1. 设，向量，且，则（ ）
A. 5B. 1C. -1D. -5
2. 若，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
3. 已知函数，则（ ）
A. 2B. 0C. -1D. 1
4. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ）
A. B. C. D.
5. 有五名同学排成一排，其中甲、乙两人不能在一起的排法数是（ ）
A. 120B. 72C. 36D. 12
6. 设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知为定义在上的奇函数，为其导函数，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为正整数，且，则下列等式正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 已知函数，则（ ）
A. 当时，的单调减区间为
B. 当时，对任意，都有
C. 当时，在上的值域为
D. 若有三个不同的零点，则
11. 如图，在长方体中，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，且平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 点到棱中点的距离为定值
C. 与平面所成角的正切值为4时，
D. 的最小值为14
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知，则在上的投影向量为__________.（用坐标表示）.
13. 已知函数在处取得极大值，则实数的值为__________.
14. 若存在使得成立，则的最大值为__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点.
（1）设，试用向量表示；
（2）求线段的长度.
16. 某植物园大门有编号共5个检票口，现有一行6人需进园游玩.
（1）若每人随机选择一个检票口进园，则6人共有多少种不同的选择方法？（用数字作答）
（2）若6人中有一老人需由家人A陪同进园，所有人随机选择检票口，且每个检票口均有人选择，则6人共有多少种不同的选择方法？（用数字作答）
（3）若6人均在1号检票口排队依次进园，其中两个小孩既不能排在队首，也不能排在队尾，则6人共有多少种不同的进园方法？（用数字作答）
17. 已知函数，曲线在处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）函数的导函数为，求函数在区间上的最小值.
18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面.
（1）求证：；
（2）已知点为线段上的动点（不与重合），
①当点为线段的中点时，求直线与平面所成角的余弦值；
②当平面与平面的夹角最小时，试确定点的位置.
19. 已知.
（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）讨论函数是否存在极值点？若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；
（3）当时，求证.
数学
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，向量，且，则（ ）
A. 5B. 1C. -1D. -5
答案：A
解析：
解答过程：因为，所以，解得
2. 若，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
答案：C
解析：
思路：根据排列数公式计算即可.
解答过程：由，得，
解得（舍去）.
故选：C.
3. 已知函数，则（ ）
A. 2B. 0C. -1D. 1
答案：D
解析：
解答过程：因为，所以，
所以.
4. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：空间中三个向量不能构成基底的充要条件是三个向量共面，
即存在实数使得，代入坐标得方程组：
，代入第二个方程：，
代入第一个方程得.
5. 有五名同学排成一排，其中甲、乙两人不能在一起的排法数是（ ）
A. 120B. 72C. 36D. 12
答案：B
解析：
思路：先求出五名同学排成一排的所有排列情况，再求出甲、乙两人排在一起的排列情况，最后用总的排列情况减去甲、乙两人排在一起的排列情况，可得甲、乙两人不能在一起的排法数.
解答过程：五名同学排成一排的所有排列情况为种，
甲、乙两人排在一起的排列情况为种，
所以甲、乙两人不能在一起的排法数为.
6. 设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值.
解答过程：令，即，解得，代入曲线方程求得，
故切点为，斜率为1的切线方程为，
两平行直线和的距离为，
所以的最小值为.
7. 如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据 四点共面，求得；再建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离的求解公式，计算即可.
解答过程：根据题意，因为平面，且满足，
故 ，解得；
以为坐标原点，建立如下空间直角坐标系：
故，
则，
则在上的投影为，又，
故点到直线的距离.
8. 已知为定义在上的奇函数，为其导函数，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：构造函数，通过研究的奇偶性与单调性求解不等式.
解答过程：令，因为为定义在上的奇函数，
则， 所以为定义在上的偶函数.
当时，，，由已知，
所以，
则在上单调递减，则对于不等式，
当时，，不等式可化为，即，
又在上单调递减，解得；
当时，，不等式可化为，即，
由为偶函数，则在上单调递增，解得，
所以不等式的解集为．
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为正整数，且，则下列等式正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：BC
解析：
解答过程：因为，所以A错误；
因为，所以B正确；
因为，所以C正确；
因为，而
即，所以D错误.
10. 已知函数，则（ ）
A. 当时，的单调减区间为
B. 当时，对任意，都有
C. 当时，在上的值域为
D. 若有三个不同的零点，则
答案：ACD
解析：
思路：求出具体函数，利用导数求解单调性判断A，举反例判断B，利用导数求解函数值域判断C，将零点问题转化为交点问题，再利用导数求解函数的单调性与最值，最后求解参数范围判断D即可.
解答过程：对于A，当时，，
可得，令，得到，
则的单调减区间为，故A正确，
对于B，由题意得，则，
令，则，
与不符，故B错误，
对于C，当时，由题意得，
而，令，
而， 当时，，
此时在上单调递增，且，则，
即，则在上单调递增，
且，，则，
可得在上的值域为，故C正确，
对于D，由题意得，
若有三个不同的零点，则有三个不同的解，
即有三个不同的解，即与有三个不同的交点，
而，令，，
令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
而，，可得，故D正确.
11. 如图，在长方体中，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，且平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 点到棱中点的距离为定值
C. 与平面所成角的正切值为4时，
D. 的最小值为14
答案：ABD
解析：
思路：建立空间直角坐标系，选项A根据异面直线所成角的空间向量坐标公式求解；根据已知条件求出点坐标的表达式，代入空间两点间距离公式求解选项B；选项C根据线面角的正切值得出点坐标，验证等式；选项D根据空间向量的数量积公式求出，结合点的坐标求出最值.
解答过程：以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
，选项A正确；
设点，
因为平面，又平面，所以，，
，，
，则，即，
的中点为，
，选项B正确；
与平面所成角即为，，
所以，，
点为四边形内部，所以，
，选项C错误；
，
因为，，
因为，的最小值为，选项D正确
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知，则在上的投影向量为__________.（用坐标表示）.
答案：
解析：
解答过程：向量，则，，
所以在上的投影向量为
13. 已知函数在处取得极大值，则实数的值为__________.
答案：2
解析：
思路：函数在处取得极大值，先由导数等于，求出参数的可能值，利用求极值的方法分别判断哪一个值符合题意，从而得到的值.
解答过程：由题意可知，，
函数的定义域为，
求导得，
因为函数在处取得极大值，所以有，
即，整理得，解得或，
当时，，
当时，，解得或，
则在和上是单调递增函数；
当时，，解得，
则在上是单调递减函数；
故在处取得极小值，不满足题意；
当时，，
当时，，解得或，
则在和上是单调递增函数；
当时，，解得，
则在上是单调递减函数；
故在处取得极大值，满足题意；
因此.
14. 若存在使得成立，则的最大值为__________.
答案：
解析：
思路：同构变形，构造函数，得到，代入变形，构造函数，求出最值，得到答案.
解答过程：，
设，则，
因为，所以，
在上恒成立，
故在上单调递增，故，，
所以，令，，
故，令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，最大值为，
所以的最大值为
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点.
（1）设，试用向量表示；
（2）求线段的长度.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据空间向量的加减运算求解即可；
（2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解，
（1）.
（2）依题意，，
则
.
16. 某植物园大门有编号共5个检票口，现有一行6人需进园游玩.
（1）若每人随机选择一个检票口进园，则6人共有多少种不同的选择方法？（用数字作答）
（2）若6人中有一老人需由家人A陪同进园，所有人随机选择检票口，且每个检票口均有人选择，则6人共有多少种不同的选择方法？（用数字作答）
（3）若6人均在1号检票口排队依次进园，其中两个小孩既不能排在队首，也不能排在队尾，则6人共有多少种不同的进园方法？（用数字作答）
答案：（1）15625
（2）120 （3）288
解析：
思路：（1）利用分步乘法计数原理列式计算.
（2）利用相邻问题捆绑法列式计算.
（3）利用特殊元素法，结合分步乘法计数原理列式计算.
（1）依题意，每人均有5种选法，由分步乘法计数原理知，共种选法.
（2）依题意，将老人和家人A视为一个整体与另外4人排列，共有种选法.
（3）依题意，将两个小孩先排在中间任意两个位置上，有种；
再将剩余4人任意排在其余4个位置上，有种，
由分步乘法计数原理知，共有种排法.
17. 已知函数，曲线在处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）函数的导函数为，求函数在区间上的最小值.
答案：（1）
（2）当时，的最小值为；当时，的最小值为
解析：
思路：（1）利用导数求切线斜率，并代入切点求参数；
（2）对函数求导并令导数为零，以求得的根对进行分类讨论.
（1）由题知，
则，得，
，将点代入切线方程得，
故.
（2）由（1）知，令，
令，得或，
①当时，若，，单调递减，
故函数在区间上的最小值为；
②当时，若，，单调递减，
若，单调递增，
故函数在区间上的最小值为；
综上，当时，的最小值为；
当时，的最小值为.
18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面.
（1）求证：；
（2）已知点为线段上的动点（不与重合），
①当点为线段的中点时，求直线与平面所成角的余弦值；
②当平面与平面的夹角最小时，试确定点的位置.
答案：（1）证明见解析
（2）①；②为的中点
解析：
思路：（1）建立空间直角坐标系，利用数量积为得到线线垂直；
（2）①求出平面的一个法向量为，利用数量积公式求出，从而得到直线与平面所成角的正弦值，利用同角关系式求出直线与平面所成角的余弦值.②设，求出平面的一个法向量，利用数量积公式求出，设平面与平面的夹角为，则，要使夹角最小，即最大，需要分母最小，从而得到平面与平面的夹角余弦值最大，即平面与平面的夹角最小，此时为的中点.
（1）平面平面，四边形为正方形，
，
如图，以为正交基底建立空间直角坐标系，
则，
，
.
（2）①为的中点，，
，
∵平面的一个法向量为，
，
∴直线与平面所成角的正弦值为，
∴直线与平面所成角的余弦值为.
②设，
，
设平面的一个法向量为，
，
，，，
，取，则，
∴平面的一个法向量为，
，
设平面与平面的夹角为，
则，
要使夹角最小，即最大，需要分母最小，当，
即时，平面与平面的夹角余弦值最大，
即平面与平面的夹角最小，此时为的中点.
19. 已知.
（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）讨论函数是否存在极值点？若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；
（3）当时，求证.
答案：（1）
（2）当时，无极值点；当时，函数的极小值点为，无极大值点
（3）证明见解析
解析：
思路：（1）利用导数的性质求解函数的最值，进而结合函数的单调性得到不等式，最后求出取值范围即可.
（2）对参数范围分类讨论，先得到单调性，最后求解极值点即可.
（3）法一利用放缩法转化为证明，再构造函数并利用导数证明不等式即可，法二利用放缩法转化为证明，再构造函数并利用导数证明不等式即可，法三利用放缩法转化为证明，再构造函数并利用导数证明不等式即可.
（1）由题意知：对恒成立，
即，由于在区间上为增函数，
则，故解得.
（2）由（1）知，
①当时，恒成立，在上单调递增，无极值；
②当时，令，得，
此时，函数在处取得极小值，无极大值
综上所述，当时，无极值点；
当时，函数的极小值点为，无极大值点.
（3）法一：由（2）知，当时，，则，
即，即，，
所以要证，只要证，
也即证，设，
则在区间恒成立，
所以在区间上为增函数，则，故原不等式成立.
法二：当时，，命题成立；
当时，要证，
只要证，也即证，
由（2）知，当时，，
则，即，得，
也即证，则，
令，当时，
可得恒成立，
则在区间上为减函数，所以，即，
所以在区间上为减函数，
则，故原不等式成立.
法三：由（1）知，当时，在区间上单调递增，
则，即，
所以要证，只要证，也即证，
设，则，
因为函数在上均为增函数，故函数在是增函数，
因为，
由零点存在性定理可知存在，使.
故时，，则在上为减函数，
当时，，则在上为增函数，
因为，
所以时，，故原不等式成立.
0
单调递减
极小值
单调递增