2025--2026学年江苏徐州市睢宁县高二下册期中学情调研数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏徐州市睢宁县高二下册期中学情调研数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了 已知，，且，则， 不等式的解集是， 的展开式中的常数项为， 下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 已知，，且，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
2. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
3. 的展开式中的常数项为（ ）
A. 112B. 56C. D.
4. 从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数，则这两个数为一奇一偶的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 在正方体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（ ）
A. 320B. 630C. 720D. 1560
7. 在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，的展开式中含的项的系数为15，则的展开式中含的项的系数是（ ）
A. 6或7B. 6C. 8或9D. 9
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若随机变量，满足，，则
B. 若，，，则
C. 若，则
D. 若分布，，则
10. 甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在棱长为3的正方体中，为对角线上的动点，，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 点到直线的距离的最小值为
C. 过，N，A三点的平面截正方体所得截面的周长为
D. 当时，三棱锥外接球的体积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）.
13. 随机变量的分布列如表所示，若，则__________．
14. 在棱长为10的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为_______.
四､解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展.若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画、素描画六件艺术作品的展出顺序.
（1）若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？
（2）若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？
16. 如图，在四棱锥中，为的中点，，，，，，.

（1）求平面与平面所成角的正弦值；
（2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
17. 某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动．本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀．为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示．
（1）求该样本中学生分数为优秀的人数；
（2）从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值；
18. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为．
（1）求的值；
（2）求展开式中所有的有理项；
（3）设，则当时，求除以15所得余数．
19. 如图平面，，是线段上的动点，是的中点，已知.
（1）证明：平面；
（2）若，.
①求点到平面的距离；
②试探究：在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
数学
满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 已知，，且，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
答案：D
解析：
思路：利用空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.
解答过程：因为，所以，
所以，解得.
故选：D
2. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用排列数公式化简并求解不等式.
解答过程：不等式中，，化为，
整理得，解得，因此，
所以不等式的解集是.
故选：A
3. 的展开式中的常数项为（ ）
A. 112B. 56C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由二项式，得，
令，得，
于是展开式中的常数项为.
4. 从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数，则这两个数为一奇一偶的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：设事件为至少有一个为奇数，事件为这两个数为一奇一偶，
由题意可得，，
所以.
5. 在正方体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先建立空间直角坐标系，然后根据已知条件列出各个点的坐标，然后求出的坐标，然后根据四点共面列出方程组，进而求出结果.
解答过程：如图所示，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，因为为的中点，，，
所以.
所以.
因为，，，四点共面，所以，
得到，解得.
故选：A.

6. 给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（ ）
A. 320B. 630C. 720D. 1560
答案：B
解析：
解答过程：现有6种不同的花可供选择，要求每个区域只种1种花且相邻区域的花不同，
则四块区域最少种2种花，最多种4种花，所以分三类：
若种2种花，则A和C相同，B和D相同，有种方法；
若种3种花，则需要其中两块区域种同一种花，A和C相同或B和D相同，有种；
若种4种花，有种，
则不同的种法总数为．
7. 在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系.求平面的一个法向量，以及直线的方向向量，则即为所求.
解答过程：如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系.
则平面的一个法向量为，
设正三棱柱中，，则，，
所以，所以,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：A
8. 已知，的展开式中含的项的系数为15，则的展开式中含的项的系数是（ ）
A. 6或7B. 6C. 8或9D. 9
答案：C
解析：
思路：写出、展开式的通项，再对、分类讨论，分别确定、的值，再利用通项计算可得.
解答过程：因为展开式的通项为（且），
展开式的通项为（且），
若，且，时，
则展开式中含的项为，
依题意可得，
若，则，不存在这样的正整数使得方程成立，故舍去；
若，则，不存在这样的正整数使得方程成立，故舍去；
若，满足题意，此时，则展开式中含的项的系数为；
若，此时，，则无解，故舍去；
若，，则展开式中含的项为，则，解得（负值已舍去），
此时，则展开式中含的项的系数为；
若，时，展开式中含的项的系数为为，显然为偶数，
由，不存在这样的正整数使得方程成立无解，故舍去；
综上可得的展开式中含的项的系数是或.
故选：C
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若随机变量，满足，，则
B. 若，，，则
C. 若，则
D. 若分布，，则
答案：BC
解析：
思路：根据方差的性质判断A选项；利用贝叶斯公式判断B选项；根据超几何分布判断C选项；根据两点分布的期望与方差判断D选项．
解答过程：对于A：，故A错误；
对于B：因为，所以，
所以，故B正确；
对于C：若，则，故C正确；
对于D：若分布，，则，故D错误．
故选：BC.
10. 甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）
A. B. C. D.
答案：ABC
解析：
思路：根据条件写出和 ，，再根据全概率公式和贝叶斯公式判断选项.
解答过程：由条件可知，，，故AC正确；，
，故B正确；
，故D错误.
11. 如图，在棱长为3的正方体中，为对角线上的动点，，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 点到直线的距离的最小值为
C. 过，N，A三点的平面截正方体所得截面的周长为
D. 当时，三棱锥外接球的体积为
答案：ABD
解析：
思路：以​为坐标原点，​为轴，​为轴，为轴，建立空间直角坐标系，对于A，表示出各点坐标，利用向量数量积运算即可判断；
对于选项B，利用空间中点到直线的距离公式结合二次函数的性质即可求解；
对于C，取，连接，可得过，N，A三点的平面截正方体所得截面为梯形，求出各边长即可判断；
对于D,有条件可得，由​是直角三角形，可得外接圆半径​​，外心为​中点，设外接球球心，由即可得到球心坐标，从而求得外接圆的半径结合球的体积公式即可求解.
解答过程：以​为坐标原点，​为轴，​为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
由，得，
由为对角线上的动点，设
对于A，，，
所以
则，故A正确；
对于B，由于，，
所以，
，，
则点到直线的距离，
即
所以当​时，，B正确;
对于C，取，连接，
因为，，所以，
因为，，所以四边形为平行四边形，
则，所以，且
故过，N，A三点的平面截正方体所得截面为梯形，
由于，，，
所以过，N，A三点的平面截正方体所得截面的周长为，故C不正确；
对于D，由，，得，则，
由​是直角三角形，其外接圆半径​​，外心为​中点，
设外接球球心，由：
则，解得：，
则外接球半径：，
所以三棱锥外接球的体积：，故D正确；
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）.
答案：
解析：
思路：利用分组分配法与古典概型概率公式计算即得.
解答过程：4个不同的小球依次随机投入3个篮子，每个小球均有3种投法，故总投法数为种；
要求每个篮子不空，需使其中一个篮子放2个球，另两个篮子各放1个球，故有投法数为种.
由古典概型概率公式，可得概率为.
13. 随机变量的分布列如表所示，若，则__________．
答案：
解析：
思路：根据随机变量的分布表计算出，代入方差的计算公式即可求得.
解答过程：由题设及，解得，
.
故
14. 在棱长为10的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为_______.
答案：
解析：
解答过程：以为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为，
则，，，
，设，，
由，得，即，化简得.
正方体内切球球心为正方体中心，半径，
点满足.
设球心在平面的投影为，
则在平面上到直线的距离.
即球心到轨迹所在平面距离为,则轨迹圆半径.
轨迹长度为.
四､解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展.若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画、素描画六件艺术作品的展出顺序.
（1）若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？
（2）若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用间接法以及排列知识求出；
（2）利用捆绑法以及排列的知识解决.
（1）将六件艺术作品展出，则展出顺序共有种，
若第一件展出的艺术作品是国画，则展出顺序共有种，
则第一件展出的艺术作品不是国画，共有种不同的安排方案；
（2）因油画和插画的展出顺序相邻，则将其捆绑为一个整体，再将其与剩下的四件艺术作品一起排序，共有种不同的安排方案.
16. 如图，在四棱锥中，为的中点，，，，，，.

（1）求平面与平面所成角的正弦值；
（2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
答案：（1）
（2）存在，点为线段的中点
解析：
思路：（1）由题意，根据线面垂直性质与判定，建立空间直角坐标系，求得平面法向量，利用面面角的向量公式，可得答案；
（2）利用空间向量的位置关系，根据向量坐标，建立方程，可得答案.
（1）因为，
所以，又因为为的中点，
所以与均为等腰直角三角形，所以
又因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，又，平面，所以平面，
在平面内，过点作，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，设平面的一个法向量为
则，即，令，则，
平面的一个法向量为.
又因为平面的一个法向量为，所以.
设平面与平面所成角为，则.
（2）假设线段上存在点，使得平面
设，
所以.
因为平面，所以，
所以，即点是线段的中点，
所以存在点，点为线段的中点.
17. 某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动．本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀．为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示．
（1）求该样本中学生分数为优秀的人数；
（2）从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值；
答案：（1）
（2）分布列见解析；期望为
解析：
（1）该样本中学生分数为优秀的频率，故优秀的人数为人；
（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，
其中分数在的人数为．
若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为．
则的分布列为：
所以．
18. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为．
（1）求的值；
（2）求展开式中所有的有理项；
（3）设，则当时，求除以15所得余数．
答案：（1）；
（2），，；
（3）0
解析：
思路：（1）根据二项式系数的定义得到方程，求出答案；
（2）由二项式定理得到展开式通项公式，得到有理项；
（3）根据二项式定理变形，从而得到余数.
（1）根据题意，，即，又，故；
（2）由题意得，
其展开式的通项公式，
要想求解展开式中的有理项，需满足为整数，故，
当时，，
当时，，
当时，；当为其他值时，均为无理项，
故有理项为，，；
（3）而，
当时，
，
而能够被15整除，
故除以15所得余数为0．
19. 如图平面，，是线段上的动点，是的中点，已知.
（1）证明：平面；
（2）若，.
①求点到平面的距离；
②试探究：在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案：（1）证明见解析；
（2）①点到平面的距离为；②存在，或.
解析：
思路：（1）由线面垂直可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理得出线面垂直即可得证；
（2）①建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面距离；②设存在，根据向量法由平面的夹角公式求出即可得解.
（1），是的中点，，
平面，平面，，
又，又，平面，平面，
平面，
又平面，，
又，平面，平面，
平面；
（2） ①以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系：
，，，，，
，，
设平面的法向量为
则，即，取，可得，
所以，即点到平面的距离为；
②，
设，则，
，
设平面的法向量为
则，即，
令，可得，
设平面与平面夹角，
所以，
又平面与平面夹角的正弦值为，所以，又，
所以，所以，
化简得，解得或，
所以或，
所以或.0
1
0
1
0
1
2