2025--2026学年江苏苏州大学附属中学高二下册期中检测数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏苏州大学附属中学高二下册期中检测数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，6，8，12，16中任意一个数作分母，可构成（ ）个不同的分数
A. 10种B. 18种C. 20种D. 40种
4. 已知曲线在点处的切线方程为，则
A. B. C. D.
5. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A. 30种B. 60种C. 120种D. 240种
6. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（ ）
A. 取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种
B. 取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种
C. 取出的3个球中至多有2个蓝球的取法有种
D. 取出的3个球中至少有1个红球的取法有种
10. 设函数，则（ ）
A. 是的极大值点
B. 曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为
C. 当时，
D. 当时，
11. 在直三棱柱中，，是底边上一点，且，则（ ）
A. 直三棱柱外接球的表面积为
B. 当时，平面平面
C. 直线与所成角的余弦的最大值为
D. 点是的中点，点是线段上的一个动点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______．
13. 从0，1，2，3，4中任取4个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数（用数字作答）．
14. 已知，.当时，函数的单调递减区间为________；若与的图象在交点处的切线重合，则________.
四、解答题：本题共5小圈，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，，且.
（1）求的值及曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
16. 如图，在正方体中，，，分别是，的中点．
（1）与平面所成角的正切值为________；（本小题直接写出答案即可）
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
17. （1）解关于的不等式：3Ax3≤2Ax+12+6Ax2x≥3,x∈Z；
（2）已知，求的值（用数字作答）；
（3）为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有多少种?（用数字作答）
18. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面.，，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：直线平面；
（3）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值.
19. 已知函数.
（1）当时，求证：；
（2）当时，求证：对于任意，恒成立；
（3）若存在，，使得，求证.
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据空间向量垂直转化为数量积为计算即可.
解答过程：因为，可得，
即，解之可得.
故选：D
2. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：将题目给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解.
解答过程：因为，即，
即，则.
故选：A.
3. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，6，8，12，16中任意一个数作分母，可构成（ ）个不同的分数
A. 10种B. 18种C. 20种D. 40种
答案：C
解析：
思路：由分子、分母的选择个数及分步乘法计数原理可得分数的个数；
解答过程：从1，5，9，13中的任选一个数作分子，4，6，8，12，16中任选一个数作分母，
可构成个不同的分数；
4. 已知曲线在点处的切线方程为，则
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
解答过程：详解：
，
将代入得，故选D．
方法提示：本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
5. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A. 30种B. 60种C. 120种D. 240种
答案：C
解析：
思路：相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
解答过程：首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，
故选：C.
6. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：求出，分、、、讨论，根据是函数的极大值点可得答案.
解答过程：f′x=2x−2x+axx>0，
当时，令可得，令可得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以是函数的极小值点，不满足题意；
当时，令得，或，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，不满足题意；
当时，在上恒成立，此时单调递增，无极大值，不满足题意；
当时，令得，或，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以是函数的极大值点，满足题意.
综上所述，实数的取值范围是.
7. 在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：根据空间向量的线性运算即可求解.
解答过程：
.
故选：C.
8. 若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容易得到答案.
解答过程：由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示：
若使得函数有3个零点，则.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（ ）
A. 取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种
B. 取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种
C. 取出的3个球中至多有2个蓝球的取法有种
D. 取出的3个球中至少有1个红球的取法有种
答案：AD
解析：
思路：根据组合数的计算方式，分类和分步求出各选项给定条件的不同取法数目.
解答过程：对于A，取出的3个球中恰好有1个蓝球，则还有个红球，故有种，故A正确；
对于B，取出的3个球中至少有2个蓝球，包含2个蓝球1个红球和3个蓝球两种情况，故有，故B错误；
对于C，取出的3个球中至多有2个蓝球的对立事件为个蓝球，则有C50C153+C51C152+C52C151种，故C错误；
对于D，取出的3个球中至少有1个红球的对立事件为个都是蓝球，有种，故D正确.
10. 设函数，则（ ）
A. 是的极大值点
B. 曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为
C. 当时，
D. 当时，
答案：ABD
解析：
思路：求出函数的导数，求出函数的单调区间，再结合极值、对称性逐项判断得解.
解答过程：函数的定义域为，求导得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
对于A，是的极大值点，A正确；
对于B，令，，函数是奇函数，
函数的图象关于原点对称，则函数的图象关于点对称，
若函数的图象还有一个对称中心，
则，
而不为常数，
因此点不是函数图象的对称中心，即函数的图象有且只有一个对称中心，
则曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为，B选项正确；
对于C，在上单调递减，，则，C错误；
对于D，当时，，，，故−40 ，
因此在存在唯一的零点，且，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
设，则在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为fx2,f'x2=0 ，
注意到，
故在上存在唯一的零点.
注意到，且在上单调递增.
要证明，只需证，
因为，所以只需证，
即证.
因为，即，
所以，只需证，
只需证（*）
由（1）得，
因此，
设，
则，所以在上单调递增，
所以，
从而，即，因此（*）得证，
从而.